Джон Нэш: Математик және экономист, Нобель сыйлығының лауреаты

Кіріспе

Американдық математик және Нобель сыйлығының лауреаты (1928–2015)

Джон Форбс Нэш, кіші (13 маусым 1928 – 23 мамыр 2015), Джон Нэш ретінде танылып, жарияланған американдық математик, ол ойын теориясы, нақты алгебралық геометрия, дифференциалдық геометрия және бөлшектік дифференциалдық теңдеулерге маңызды үлес қосты. Нэш пен ойын теориясы бойынша әріптестері Джон Харсаньи мен Рейнхард Зельтен 1994 жылғы Экономика бойынша Нобельдік естелік сыйлығымен марапатталды. 2015 жылы ол Луи Ниренбергпен бірге бөлшектік дифференциалдық теңдеулер саласына қосқан үлесі үшін Абель сыйлығын алды. Принстон университетінің математика факультетінде аспирант ретінде Нэш қазір ойын теориясының және оның түрлі ғылымдардағы қолданылуының орталық ұғымдары болып саналатын бірқатар түсініктерді (оның ішінде Нэш тепе-теңдігі және Нэш келісімдік шешімі) енгізді. 1950 жылдары Нэш Риман геометриясында туындаған сызықтық емес бөлшектік дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешу арқылы Нэш енгізу теоремаларын ашты және дәлелдеді. Бұл жұмыста сондай-ақ Нэш-Мозер теоремасының бастапқы нысаны ұсынылды, кейіннен Америка математикалық қоғамы оны зерттеуге қосқан үлесі үшін Лерой П. Стил сыйлығымен марапаттады. Эннио Де Джорджи мен Нэш жеке әдістермен эллиптикалық және параболалық бөлшектік дифференциалдық теңдеулерді жүйелі түрде түсінуге жол ашатын нәтижелер жиынтығын тапты. Олардың мұндай теңдеулердің шешімдерінің тегісдігі туралы Де Джорджи-Нэш теоремасы, шамамен алпыс жыл бойы белгілі ашық мәселе болып келген, вариациялар есебіндегі тұрақтылық туралы Хилберттің он тоғызыншы мәселесін шешті. 1959 жылы Нэш психикалық аурудың айқын белгілерін көрсетуге бастады және шизофрениямен күресу үшін бірнеше жыл психиатриялық ауруханаларда емделді. 1970 жылдан кейін оның жағдайы біртіндеп жақсарды, бұл оған 1980 жылдардың ортасында академиялық жұмысына оралуға мүмкіндік берді.

Ерте өмір және білім

Джон Форбс Нэш кіші 1928 жылдың 13 маусымында Батыс Вирджиния штатының Блюфилд қаласында дүниеге келді. Оның әкесі және атымен аталатын Джон Форбс Нэш үлкені Аппалачиан электр қуаты компаниясында инженер-электрик болып жұмыс істеді. Оның анасы Маргарет Вирджиния (құрметті аты Мартин) Нэш үйленбес бұрын мектеп мұғалімі болған. Ол епископ шіркеуінде крещениеден өтті. Оның Марта деген кіші қарындасы болды (1930 жылдың 16 қарашасында туған). Нэш балабақшаға және мемлекеттік мектепке қатысты, сондай-ақ ата-анасы мен әже-шешесі берген кітаптардан білім алды. Нэш Гарвард университетіне де қабылданды. Бірақ, Принстон математика кафедрасының төрағасы Соломон Лефшец оған Джон С. Кеннеди стипендиясын ұсынды, осылайша Нэшті Принстон оны жоғары бағалайтынына көндірді. Бұған қоса, ол Блюфилдтегі отбасына жақындығы үшін Принстонды тиімдірек деп санады.

Ғылыми-зерттеуге арналған үлестер

Неш көп жариялаған жоқ, бірақ оның көптеген еңбектері өз салаларындағы маңызды жетістіктер саналады. Принстон университетінде аспирант ретінде ол ойын теориясы мен нақты алгебралық геометрияға негізгі үлес қосты. MIT-де докторантурадан кейінгі зерттеуші ретінде Нэш дифференциалдық геометрияға көшті. Нэштің дифференциалдық геометрия жөніндегі жұмысының нәтижелері геометриялық тілмен баяндалса да, бұл жұмыс негізінен жартылай дифференциалдық теңдеулердің математикалық талдауымен байланысты. Екі изометриялық енгізу теоремаларын дәлелдегеннен кейін Нэш тікелей жартылай дифференциалдық теңдеулерді зерттеуге кірісті, онда ол Де Джорджи-Нэш теоремасын ашты және дәлелдеді, осылайша Хилберттің он тоғызыншы мәселесінің бір түрін шешті. 2011 жылы Ұлттық қауіпсіздік агенттігі Нэштің 1950 жылдары жазған хаттарын құпиясынан ашты, онда ол жаңа шифрлау-дешифрлеу машинасына қатысты ұсыныстар жасаған. Хаттар Нэштің қазіргі заманғы криптографияның көптеген ұғымдарын болжағандығын көрсетеді, олар есептеу қиындығына негізделген.

Ойын теориясы

Нэш 1950 жылы кооперативтік емес ойындар туралы 28 беттік диссертация қорғап, философия докторы ғылымын алды. Докторлық кеңесшісі Альберт В. Таккердің жетекшілігімен жазылған диссертацияда кооперативтік емес ойындардағы маңызды ұғым – Нэш тепе-теңдігінің анықтамасы мен қасиеттері сипатталған. Оның диссертациясының бір нұсқасы бір жылдан кейін "Математика жылнамасында" жарияланды. 1950 жылдардың басында Нэш ойын теориясының бірнеше байланысты концепцияларын зерттеді, соның ішінде кооперативтік ойындар теориясын. Осы еңбегі үшін Нэш 1994 жылы Экономика ғылымдары саласындағы Нобельдік естелік сыйлығының иегері атанды.

Нақты алгебралық геометрия

1949 жылы, әлі аспирант болып оқығанда, Нэш нақты алгебралық геометрия математикалық саласында жаңа нәтиже тапты. Ол 1950 жылы Халықаралық математиктер конгресінде өз теоремасын баяндады, бірақ дәлелінің толық мәліметтерін әлі дамыта қоймаған еді. Нэш теоремасы 1951 жылдың қазанында Нэш өз жұмысын "Математика жылнамасына" ұсынғанда аяқталды. 1930 жылдардан бері әрбір жабық тегіс көптік Евклид кеңістігіндегі тегіс функциялардың бір жиынының нөлдік жиынымен диффеоморфты екені белгілі болған. Нэш өз еңбегінде осы тегіс функцияларды полиномдар ретінде алуға болатынын дәлелдеді. Бұл күтпеген нәтиже деп есептелді, себебі тегіс функциялар мен тегіс көптіктер класы полиномдар класынан әдетте гөрі әлдеқайда икемді болады. Нэштің дәлелі қазір Нэш функциясы және Нэш көптігі деп аталатын түсініктерді енгізді, олар нақты алгебралық геометрияда кеңінен зерттелді. Нэш теоремасы Майкл Артин мен Барри Мазур тарапынан динамикалық жүйелерді зерттеуде, Нэштің полиномдық жуықтауын Безу теоремасымен біріктіріп қолданылды.

Дифференциалдық геометрия

MIT-те докторантурадан кейінгі лауазымында Нэш жоғары беделді математикалық проблемаларды зерттеуге құштар болды. Дифференциалдық геометр Уоррен Амброздан ол кез келген Риман көптүрлілігі Евклид кеңістігінің субкөптүрлілігіне изометриялық деген болжам туралы білді. Нэштің осы болжамды дәлелдеген нәтижелері қазір Нэштің ендіру теоремалары деп аталады, оның екіншісі Михаил Громов «ХХ ғасырдағы математиканың маңызды жетістіктерінің бірі» деп атады. Нэштің бірінші ендіру теоремасы 1953 жылы табылды. Ол кез келген Риман көптүрлілігін үздіріссіз дифференциалданатын бейнелеу арқылы Евклид кеңістігіне изометриялық түрде ендіруге болатынын анықтады. Нэш құрылымы ендірудің кодименсиясын өте кіші болуға мүмкіндік береді, нәтижесінде көп жағдайда жоғары дифференциалданатын изометриялық ендірудің болуы логикалық тұрғыдан мүмкін емес. (Нэштің әдістері негізінде Николас Куйпер көп ұзамай тіпті кіші кодименсия тапты, жақсартылған нәтиже көбінесе Нэш–Куйпер теоремасы деп аталады.) Осылайша, Нэштің ендірулері төмен дифференциалдану деңгейімен шектеледі. Осы себепті Нэштің нәтижесі дифференциалдық геометрия саласындағы бағыттан тыс, онда жоғары дифференциалдану дәстүрлі талдаудың көп бөлігінде маңызды. Алайда, Нэш жұмысының логикасы математикалық талдаудың басқа көптеген контекстерінде пайдалы болды. Камилло Де Леллис пен Ласло Секелихидидің жұмысынан бастап Нэш дәлелінің идеялары сұйықтық механикасындағы Эйлер теңдеулерінің турбулентті шешімдерінің әртүрлі құрылымдары үшін қолданылды. 1970 жылдары Михаил Громов Нэштің идеяларын конвекс интеграцияның жалпы шеңберіне енгізді. Нэш тегіс дифференциалданатын изометриялық ендірулерді салу күтпеген жерден қиын деп тапты. Алайда, шамамен бір жарым жылдық қарқынды жұмыстан кейін оның күш-жігері сәтті аяқталды, осылайша екінші Нэштің ендіру теоремасын дәлелдеді. Бұл екінші теореманы дәлелдеуге қатысты идеялар бірінші теореманы дәлелдеуге қолданылғандардан едәуір бөлек. Дәлелдің негізгі аспектісі – изометриялық ендірулер үшін имплицитті функция теоремасы. Имплицитті функция теоремасының әдеттегі формулировкалары жүйелілік жоғалу құбылыстарына байланысты техникалық себептермен қолданылмайды. Нэштің осы мәселені шешуі, изометриялық ендіруді қосымша жүйелілік үнемі енгізілетін қарапайым дифференциалдық теңдеу бойымен деформациялау арқылы берілген, математикалық талдаудағы түбегейлі жаңа техника ретінде қарастырылады. Нэштің мақаласы 1999 жылы зерттеуге қосқан үлесі үшін Лерой П. Стил сыйлығымен марапатталды, онда оның «ең түпнұсқа идеясы» тұрақтылық жоғалту мәселесін шешуде «бұл ғасырдағы математикалық талдаудың ұлы жетістіктерінің бірі» деп аталды. Көп ұзамай Нэш Италиядан жаңа ғана оралған Пол Гарабедианнан сол кездегі белгісіз Эннио Де Джорджи эллипстік бөлшектік дифференциалдық теңдеулер үшін дерлік бірдей нәтиже тапқанын білді. Де Джорджи мен Нэш әдістерінің арасында көп байланыс болмады, бірақ Нэштің әдістері эллиптикалық және параболалық теңдеулерге қолдануда сәл күштірек болды. Бірнеше жылдан кейін, Де Джорджи әдісінен шабыттанған Юрген Мозер сол нәтижелерге басқаша көзқарас тапты, ал нәтижесінде шыққан жұмыс қазір Де Джорджи–Нэш теоремасы немесе Де Джорджи–Нэш–Мозер теориясы ретінде белгілі (Nash–Moser теоремасынан ерекшеленеді). Де Джорджи мен Мозердің әдістері келесі бірнеше жылда Ольга Ледиженская, Джеймс Серрин және Нил Трудингердің еңбектеріндегі дамулары арқылы ерекше ықпалға ие болды. Олардың жұмысы, негізінен, жартылай дифференциалдық теңдеулердің әлсіз тұжырымдалуындағы сынақ функцияларын тиімді таңдауға негізделген, бұл Нэш жұмысына қарама-қайшы келеді, ол жылу ядросын талдауға негізделген. Нэштің Де Джорджи–Нэш теориясына деген көзқарасын кейін Евгений Фабес пен Дэниел Строк қайта қарастырды, бұл Де Джорджи мен Мозердің әдістерінен алынған нәтижелерді қайта алу мен кеңейтуді бастады. Вариациялар есебіндегі көптеген функционалдарға минимизаторлар эллипстік бөлшектік дифференциалдық теңдеулерді шешеді деген фактіден, Хилберттің он тоғызыншы мәселесі (осы минимизаторлардың тегісдігі туралы), шамамен алпыс жыл бұрын болжамдалған, тікелей Де Джорджи–Нэш теориясына сәйкес келді. Нэш өзінің еңбегі үшін бірден танылды, Питер Лакс оны «генийдің соққысы» деп сипаттады. Нэш кейінірек Де Джорджидің бір мезгілдегі ашылуы болмаса, ол 1958 жылы беделді Филдс медалін алғанын болжады.

During his postdoctoral position at MIT, Nash was eager to find high profile mathematical problems to study. From Warren Ambrose, a differential geometer, he learned about the conjecture that any Riemannian manifold is isometric to a submanifold of Euclidean space. Nash's results proving the conjecture are now known as the Nash embedding theorems, the second of which Mikhael Gromov has called "one of the main achievements of mathematics of the twentieth century". Nash's first embedding theorem was found in 1953. He found that any Riemannian manifold can be isometrically embedded in a Euclidean space by a continuously differentiable mapping. Nash's construction allows the codimension of the embedding to be very small, with the effect that in many cases it is logically impossible that a highly differentiable isometric embedding exists. (Based on Nash's techniques, Nicolaas Kuiper soon found even smaller codimensions, with the improved result often known as the Nash–Kuiper theorem.) As such, Nash's embeddings are limited to the setting of low differentiability. For this reason, Nash's result is somewhat outside the mainstream in the field of differential geometry, where high differentiability is significant in much of the usual analysis. However, the logic of Nash's work has been found to be useful in many other contexts in mathematical analysis. Starting with work of Camillo De Lellis and László Székelyhidi, the ideas of Nash's proof were applied for various constructions of turbulent solutions of the Euler equations in fluid mechanics. In the 1970s, Mikhael Gromov developed Nash's ideas into the general framework of convex integration,

Nash found the construction of smoothly differentiable isometric embeddings to be unexpectedly difficult. However, after around a year and a half of intensive work, his efforts succeeded, thereby proving the second Nash embedding theorem. The ideas involved in proving this second theorem are largely separate from those used in proving the first. The fundamental aspect of the proof is an implicit function theorem for isometric embeddings. The usual formulations of the implicit function theorem are inapplicable, for technical reasons related to the loss of regularity phenomena. Nash's resolution of this issue, given by deforming an isometric embedding by an ordinary differential equation along which extra regularity is continually injected, is regarded as a fundamentally novel technique in mathematical analysis. Nash's paper was awarded the Leroy P. Steele Prize for Seminal Contribution to Research in 1999, where his "most original idea" in the resolution of the loss of regularity issue was cited as "one of the great achievements in mathematical analysis in this century". Soon after, Nash learned from Paul Garabedian, recently returned from Italy, that the then unknown Ennio De Giorgi had found nearly identical results for elliptic partial differential equations. De Giorgi and Nash's methods had little to do with one another, although Nash's were somewhat more powerful in applying to both elliptic and parabolic equations. A few years later, inspired by De Giorgi's method, Jürgen Moser found a different approach to the same results, and the resulting body of work is now known as the De Giorgi–Nash theorem or the De Giorgi–Nash–Moser theory (which is distinct from the Nash–Moser theorem). De Giorgi and Moser's methods became particularly influential over the next several years, through their developments in the works of Olga Ladyzhenskaya, James Serrin, and Neil Trudinger, among others. Their work, based primarily on the judicious choice of test functions in the weak formulation of partial differential equations, is in strong contrast to Nash's work, which is based on analysis of the heat kernel. Nash's approach to the De Giorgi–Nash theory was later revisited by Eugene Fabes and Daniel Stroock, initiating the re derivation and extension of the results originally obtained from De Giorgi and Moser's techniques. From the fact that minimizers to many functionals in the calculus of variations solve elliptic partial differential equations, Hilbert's nineteenth problem (on the smoothness of these minimizers), conjectured almost sixty years prior, was directly amenable to the De Giorgi–Nash theory. Nash received instant recognition for his work, with Peter Lax describing it as a "stroke of genius". Nash would later speculate that had it not been for De Giorgi's simultaneous discovery, he would have been a recipient of the prestigious Fields Medal in 1958.

Жеке өмір

1951 жылы Массачусетс технология институты (МТИ) Нэшті математика факультетінде К. Л. Э. Мур оқытушысы ретінде жұмысқа алды. Шамамен бір жылдан кейін Нэш Элеонор Стайермен қарым-қатынас бастады, ол емделуші ретінде түскен кезде танысқан медбике. Олардың Джон Дэвид Стайер есімді ұлы болды. Нэштің өміріне негізделген «А Beautiful Mind» фильмі 2002 жылғы «Оскар» марапатына дейін оның өмірінің осы тұсын көрсетпегені үшін сынға ұшырады. Ол оның әлеуметтік статусы өзінікінен төмен деп ойлағандықтан оны тастап кеткені айтылды. 1954 жылы Санта-Моникада, Калифорнияда, Нэш жиырма жасқа толғанда, гомосексуалдарды ұстау операциясы кезінде қоғамдық орында ұятты әрекет жасағаны үшін тұтқындалды. Айдар ақталып, бірақ оның жоғары құпиялықтағы қауіпсіздік рұқсаты алынып, RAND корпорациясынан жұмыстан босатылды, онда ол кеңесші ретінде жұмыс істеген. Стайерден ажырасқаннан кейін көп ұзамай Нэш Эль-Сальвадордан келген АҚШ азаматы Алисия Ларде Лопес Харрисонмен танысты. Ларде физика мамандығы бойынша МТИ-ді бітірген. Той шіркеуде өтті. 1958 жылы Нэш МТИ-де тұрақты қызметке тағайындалды, ал оның психикалық ауруының алғашқы белгілері көп ұзамай көріне бастады. 1959 жылғы көктемде МТИ-дегі лауазымынан кетті. Принстон университеті оған тыңдаушы болып сабаққа қатысуға рұқсат берді. Ол математикамен айналысуын жалғастырып, ақырында қайтадан сабақ беруге мүмкіндік алды. 1990 жылдары Ларде мен Нэш қарым-қатынастарын жаңартты және 2001 жылы қайтадан үйленді. Джон Чарльз Мартин Нэш математика ғылымы бойынша докторлық диссертациясын Ратгерс университетінде қорғады және ересек күнінде шизофрения диагнозы қойылды. Қайтыс болған кезде Нэш Нью-Джерси штатында тұрды. Ол екі ұлынан қалды: ата-анасымен бірге қайтыс болған Джон Чарльз Мартин Нэш және үлкен ұлы Джон Стайер. Оның қазасынан кейін дүние жүзіндегі ғылыми және танымал ақпарат құралдарында некрологтар жарияланды. «The New York Times» газеті Нэштің өлімі туралы хабардан басқа, БАҚ және басқа да жарияланған көздерден жиналған цитаталары бар мақала жариялады. Цитаталар Нэштің өмірі мен жетістіктері туралы ойларынан тұрады.

In 1951, the Massachusetts Institute of Technology (MIT) hired Nash as a C. L. E. Moore instructor in the mathematics faculty. About a year later, Nash began a relationship with Eleanor Stier, a nurse he met while admitted as a patient. They had a son, John David Stier, The film based on Nash's life, A Beautiful Mind, was criticized during the run up to the 2002 Oscars for omitting this aspect of his life. He was said to have abandoned her based on her social status, which he thought to have been beneath his. In Santa Monica, California, in 1954, while in his twenties, Nash was arrested for indecent exposure in a sting operation targeting gay men. Although the charges were dropped, he was stripped of his top secret security clearance and fired from RAND Corporation, where he had worked as a consultant. Not long after breaking up with Stier, Nash met Alicia Lardé Lopez Harrison, a naturalized U. S. citizen from El Salvador. Lardé graduated from MIT, having majored in physics. the ceremony was performed in an Episcopal church. In 1958, Nash was appointed to a tenured position at MIT, and his first signs of mental illness soon became evident. He resigned his position at MIT in the spring of 1959. Princeton allowed him to audit classes. He continued to work on mathematics and was eventually allowed to teach again. In the 1990s, Lardé and Nash resumed their relationship, remarrying in 2001. John Charles Martin Nash earned a PhD in mathematics from Rutgers University and was diagnosed with schizophrenia as an adult. At the time of his death, Nash was a longtime resident of New Jersey. He was survived by two sons, John Charles Martin Nash, who lived with his parents at the time of their death, and elder child John Stier. Following his death, obituaries appeared in scientific and popular media throughout the world. In addition to their obituary for Nash, The New York Times published an article containing quotes from Nash that had been assembled from media and other published sources. The quotes consisted of Nash's reflections on his life and achievements.

Мұра

1970 жылдары Принстонда Неш "Файн Холлдың көлеңкесі" (Принстонның математикалық орталығы) деп танылды, ол түн ортасында қара тақтаға түсініксіз теңдеулер жазатын сырлы тұлға еді. Ол Ребекка Голдштейннің 1983 жылы жарық көрген, Принстон қаласында өтетін "Ақыл-ой және дене мәселесі" романында еске алынады. Сильвия Насардың Нэш туралы "А Beautiful Mind" атты өмірбаяны 1998 жылы жарияланды. 2001 жылы Рон Ховард режиссерлік еткен, Рассел Кроу Нэш рөлін сомдаған осы аттас фильм шықты; ол төрт "Оскар" сыйлығын жеңіп алды, оның ішінде "Ең үздік фильм" номинациясын. Нэш рөлін ойнағаны үшін Кроу 59-шы "Алтын глобус" сыйлығында "Драмалық фильмдегі ең үздік актер" номинациясы бойынша "Алтын глобус" сыйлығын және 55-ші "Британ академиясының кино және телеарналарының сыйлығында" "Ең үздік актер" номинациясы бойынша BAFTA сыйлығын жеңіп алды. Кроу 74-ші "Оскар" сыйлығында "Ең үздік актер" номинациясына ұсынылды; Дензел Вашингтон "Оқу күні" фильміндегі рөлі үшін жеңісге жетті.