Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Итальяно-американский математик (1923–2023)
Italian born American mathematician (1923–2023)
Эухенио Калаби (11 мая 1923 – 25 сентября 2023) – итальяно-американский математик, профессор математики имени Томаса А. Скотта в Университете Пенсильвании, специализировавшийся на дифференциальной геометрии, уравнениях в частных производных и их приложениях.
Eugenio Calabi (May 11, 1923 – September 25, 2023) was an Italian born American mathematician and the Thomas A. Scott Professor of Mathematics at the University of Pennsylvania, specializing in differential geometry, partial differential equations and their applications.
Ранние годы и образование
Калаби родился в Милане, Италия, 11 мая 1923 года в еврейской семье. Его сестрой была журналистка Туллия Зеви Калаби. В 1938 году семья покинула Италию из-за расовых законов, а в 1939 году прибыла в Соединенные Штаты. Осенью 1939 года, в возрасте всего 16 лет, Калаби поступил в Массачусетский технологический институт, где изучал химическую инженерию. Его учёба была прервана призывом в армию США в 1943 году, после чего он служил во время Второй мировой войны. После демобилизации в 1946 году Калаби смог завершить бакалавриат по программе G.I. Bill и стал стипендиатом Путнама. В 1947 году он получил степень магистра математики в Университете Иллинойса в Урбане-Шампейне, а в 1950 году – докторскую степень по математике в Принстонском университете. Его докторская диссертация, озаглавленная «Изометрическое комплексное аналитическое вложение кэлеровых многообразий», была написана под руководством Соломона Бохнера.
Calabi was born in Milan, Italy on May 11, 1923, into a Jewish family. His sister was the journalist Tullia Zevi Calabi. In 1938, the family left Italy because of the racial laws, and in 1939 arrived in the United States. In the fall of 1939, aged only 16, Calabi enrolled at the Massachusetts Institute of Technology, studying chemical engineering. His studies were interrupted when he was drafted in the US military in 1943 and served during World War II. Upon his discharge in 1946, Calabi was able to finish his bachelor's degree under the G. I. Bill, and was a Putnam Fellow. He received a master's degree in mathematics from the University of Illinois Urbana Champaign in 1947 and his PhD in mathematics from Princeton University in 1950. His doctoral dissertation, titled "Isometric complex analytic imbedding of Kähler manifolds", was done under the supervision of Salomon Bochner.
Академическая карьера
С 1951 по 1955 год он был ассистент-профессором в Университете штата Луизиана, а в 1955 году перешел в Университет Миннесоты, где в 1960 году стал полным профессором. В 1964 году Калаби присоединился к математическому факультету Пенсильванского университета. После выхода на пенсию Ганса Радемахера в 1968 году он был назначен на должность профессора математики имени Томаса А. Скотта в Университете Пенсильвании. В 1994 году Калаби вышел на пенсию, а в 2014 году университет удостоил его почетной докторской степени по науке. В 1982 году Калаби был избран членом Национальной академии наук. В 1991 году он получил премию Лероя П. Стила от Американского математического общества, где его "фундаментальные работы по глобальной дифференциальной геометрии, особенно комплексной дифференциальной геометрии" были отмечены как "коренным образом изменившие облик этой области". В 2021 году он был награжден званием Командора ордена "За заслуги перед Итальянской Республикой".
From 1951 to 1955 he was an assistant professor at Louisiana State University, and he moved to the University of Minnesota in 1955, where he became a full professor in 1960. In 1964, Calabi joined the mathematics faculty at the University of Pennsylvania. Following the retirement of Hans Rademacher, he was appointed to the Thomas A. Scott Professorship of Mathematics at the University of Pennsylvania in 1968. In 1994, Calabi assumed emeritus status, and in 2014 the university awarded him an honorary doctorate of science. In 1982, Calabi was elected to the National Academy of Sciences. He won the Leroy P. Steele Prize from the American Mathematical Society in 1991, where his "fundamental work on global differential geometry, especially complex differential geometry" was cited as having "profoundly changed the landscape of the field". In 2021, he was awarded Commander of the Order of Merit of the Italian Republic.
Исследования
Калаби внес значительный вклад в область дифференциальной геометрии. Среди других его работ, не рассматриваемых здесь, – построение голоморфной версии длинной линии совместно с Максвелом Розенлихом, исследование модульного пространства пространств форм, определение условий, при которых можно найти метрику, делающую заданную дифференциальную форму гармоничной, и различные работы по аффинной геометрии. В комментариях к своим собранным трудам в 2021 году Калаби назвал свою статью "Несобственные аффинные гиперсферы выпуклого типа и обобщение теоремы К. Йоргенса" работой, которой он "гордится больше всего".
Calabi made a number of contributions to the field of differential geometry. Other contributions, not discussed here, include the construction of a holomorphic version of the long line with Maxwell Rosenlicht, a study of the moduli space of space forms, a characterization of when a metric can be found so that a given differential form is harmonic, and various works on affine geometry. In the comments on his collected works in 2021, Calabi cited his article "Improper affine hyperspheres of convex type and a generalization of a theorem by K. Jörgens" as that which he was "most proud of".
Геометрия Кэхлера
На Международном конгрессе математиков 1954 года Калаби объявил теорему о том, как можно задавать кривизну Риччи метрики Кэлера. Позже он обнаружил, что его доказательство, основанное на методе непрерывности, было ошибочным, и результат стал известен как гипотеза Калаби. В 1957 году Калаби опубликовал статью, в которой гипотеза была сформулирована как предложение, но с явно неполным доказательством. Он дал полное доказательство того, что любое решение проблемы должно быть единственным, но смог лишь свести проблему существования к проблеме установления априорных оценок для определенных частных дифференциальных уравнений. В 1970-х годах Шин Тун Яу начал работу над гипотезой Калаби, изначально пытаясь её опровергнуть. После нескольких лет работы он нашёл доказательство гипотезы и смог установить ряд замечательных алгебро-геометрических следствий её справедливости. В качестве частного случая гипотезы, метрики Кэлера с нулевой кривизной Риччи установлены на ряде комплексных многообразий; они теперь известны как метрики Калаби — Яу. Они приобрели большое значение в исследованиях теории струн с 1980-х годов. В 1982 году Калаби ввёл геометрический поток, ныне известный как поток Калаби, как предложение для нахождения метрик Кэлера постоянной скалярной кривизны. В более широком смысле, Калаби ввёл понятие экстремальной метрики Кэлера и установил (среди прочих результатов), что они обеспечивают строгие глобальные минимумы функционала Калаби и что любая метрика постоянной скалярной кривизны также является глобальным минимумом. Позже Калаби и Сюксионг Чен провели обширное исследование метрики, введённой Тошики Мабучи, и показали, что поток Калаби сжимает расстояние Мабучи между любыми двумя метриками Кэлера. Кроме того, они показали, что метрика Мабучи наделяет пространство метрик Кэлера структурой пространства Александрова неотрицательной кривизны. Техническая сложность их работы заключается в том, что геодезические в их бесконечномерном контексте могут иметь низкую дифференцируемость. Параллельно с классической проблемой Бернштейна для минимальных поверхностей, Калаби рассматривал аналогичную проблему для максимальных поверхностей, решив вопрос в малых размерностях. Позже Ченг и Яу нашли безусловное решение, используя трюк Калаби, который Калаби разработал для обхода недифференцируемости функции расстояния Римана. В аналогичной работе Калаби ранее рассматривал выпуклые решения уравнения Монжа — Ампера, определённые на всем евклидовом пространстве и с «правой частью», равной единице. Конрад Йоргенс ранее изучал эту проблему для функций двух переменных, доказав, что любое решение является квадратичным многочленом. Интерпретируя проблему с точки зрения аффинной геометрии, Калаби смог применить свою более раннюю работу по теореме сравнения Лапласа, чтобы расширить работу Йоргенса на некоторые более высокие размерности. Позже эта проблема была полностью решена Алексеем Погореловым, и результат обычно известен как теорема Йоргенса — Калаби — Погорелова. Позже Калаби рассмотрел проблему аффинных гиперсфер, сначала охарактеризовав такие поверхности как те, для которых преобразование Лежандра решает определённое уравнение Монжа — Ампера. Адаптируя свои более ранние методы, использованные при расширении теоремы Йоргенса, Калаби смог классифицировать полные аффинные эллиптические гиперсферы. Дальнейшие результаты были получены позднее Ченгом и Яу.
At the 1954 International Congress of Mathematicians, Calabi announced a theorem on how the Ricci curvature of a Kähler metric could be prescribed. He later found that his proof, via the method of continuity, was flawed, and the result became known as the Calabi conjecture. In 1957, Calabi published a paper in which the conjecture was stated as a proposition, but with an openly incomplete proof. He gave a complete proof that any solution of the problem must be uniquely defined, but was only able to reduce the problem of existence to the problem of establishing a priori estimates for certain partial differential equations. In the 1970s, Shing Tung Yau began working on the Calabi conjecture, initially attempting to disprove it. After several years of work, he found a proof of the conjecture, and was able to establish several striking algebro geometric consequences of its validity. As a particular case of the conjecture, Kähler metrics with zero Ricci curvature are established on a number of complex manifolds; these are now known as Calabi–Yau metrics. They have become significant in string theory research since the 1980s. In 1982, Calabi introduced a geometric flow, now known as the Calabi flow, as a proposal for finding Kähler metrics of constant scalar curvature. More broadly, Calabi introduced the notion of an extremal Kähler metric, and established (among other results) that they provide strict global minima of the Calabi functional and that any constant scalar curvature metric is also a global minimum. Later, Calabi and Xiuxiong Chen made an extensive study of the metric introduced by Toshiki Mabuchi, and showed that the Calabi flow contracts the Mabuchi distance between any two Kähler metrics. Furthermore, they showed that the Mabuchi metric endows the space of Kähler metrics with the structure of a Alexandrov space of nonpositive curvature. The technical difficulty of their work is that geodesics in their infinite dimensional context may have low differentiability. In parallel to the classical Bernstein problem for minimal surfaces, Calabi considered the analogous problem for maximal surfaces, settling the question in low dimensions. An unconditional answer was found later by Cheng and Yau, making use of the Calabi trick that Calabi had pioneered to circumvent the non differentiability of the Riemannian distance function. In analogous work, Calabi had earlier considered the convex solutions of the Monge–Ampère equation which are defined on all of Euclidean space and with 'right hand side' equal to one. Konrad Jörgens had earlier studied this problem for functions of two variables, proving that any solution is a quadratic polynomial. By interpreting the problem as one of affine geometry, Calabi was able to apply his earlier work on the Laplacian comparison theorem to extend Jörgens' work to some higher dimensions. The problem was completely resolved later by Aleksei Pogorelov, and the result is commonly known as the Jörgens–Calabi–Pogorelov theorem. Later, Calabi considered the problem of affine hyperspheres, first characterizing such surfaces as those for which the Legendre transform solves a certain Monge–Ampère equation. By adapting his earlier methods in extending Jörgens' theorem, Calabi was able to classify the complete affine elliptic hyperspheres. Further results were later obtained by Cheng and Yau.
Дифференциальная геометрия
Калаби и Бено Экман открыли многообразие Калаби — Экманна в 1953 году. Оно примечательно как односвязное комплексное многообразие, не допускающее метрик Кэлера. Вдохновлённые недавними работами Кунихико Кодайры, Калаби и Эдоардо Весентини рассмотрели инфинитезимальную жёсткость компактных голоморфных частных от делений областей Картана. Используя технику Бохнера и разработки Кодайры в области когомологий пучков, они доказали жёсткость в случае более высоких размерностей. Их работа оказала влияние на последующие работы Джорджа Мостоу и Григория Маргулиса, которые получили свои результаты глобальной жёсткости, стремясь понять результаты инфинитезимальной жёсткости, такие как работы Калаби и Весентини, а также связанные с ними работы Атле Сельберга и Андре Вейля. Калаби и Лоуренс Маркус исследовали проблему пространственных форм положительной кривизны в геометрии Лоренца. Их результаты, которые Джозеф А. Вольф назвал «очень удивительными», утверждают, что фундаментальная группа должна быть конечной, а соответствующая группа изометрий пространства де Ситтера (при условии ориентируемости) действует верно изометриями на экваториальной сфере. Таким образом, их задача о пространственных формах сводится к задаче о пространственных формах Римана с положительной кривизной. Работы Джона Нэша 1950-х годов были посвящены проблеме изометрических погружений. Его работы показали, что такие погружения очень гибкие и деформируемые. В своей диссертации Калаби ранее рассматривал частный случай голоморфных изометрических погружений в комплексные геометрические формы пространства. Замечательный результат его работы показывает, что такие погружения полностью определяются внутренней геометрией и кривизной рассматриваемой формы пространства. Более того, он смог исследовать вопрос о существовании, введя диастатическую функцию, которая является локально определённой функцией, построенной из потенциалов Кэлера и имитирующей функцию расстояния Римана. Калаби доказал, что голоморфное изометрическое погружение должно сохранять диастатическую функцию. Как следствие, он смог получить критерий локального существования голоморфных изометрических погружений.
Calabi and Beno Eckmann discovered the Calabi–Eckmann manifold in 1953. It is notable as a simply connected complex manifold which does not admit any Kähler metrics. Inspired by recent work of Kunihiko Kodaira, Calabi and Edoardo Vesentini considered the infinitesimal rigidity of compact holomorphic quotients of Cartan domains. Making use of the Bochner technique and Kodaira's developments of sheaf cohomology, they proved the rigidity of higher dimensional cases. Their work was an influence on the later work of George Mostow and Grigori Margulis, who established their global rigidity results out of attempts to understand infinitesimal rigidity results such as Calabi and Vesentini's, along with related works by Atle Selberg and André Weil. Calabi and Lawrence Markus considered the problem of space forms of positive curvature in Lorentzian geometry. Their results, which Joseph A. Wolf considered "very surprising", assert that the fundamental group must be finite, and that the corresponding group of isometries of de Sitter spacetime (under an orientability condition) will act faithfully by isometries on an equatorial sphere. As such, their space form problem reduces to the problem of Riemannian space forms of positive curvature. Work of John Nash in the 1950s considered the problem of isometric embeddings. His work showed that such embeddings are very flexible and deformable. In his PhD thesis, Calabi had previously considered the special case of holomorphic isometric embeddings into complex geometric space forms. A striking result of his shows that such embeddings are completely determined by the intrinsic geometry and the curvature of the space form in question. Moreover, he was able to study the problem of existence via his introduction of the diastatic function, which is a locally defined function built from Kähler potentials and which mimics the Riemannian distance function. Calabi proved that a holomorphic isometric embedding must preserve the diastatic function. As a consequence, he was able to obtain a criterion for local existence of holomorphic isometric embeddings.