Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Категория теориясында, математиканың бір саласы, топтық объектілер – жиындардан гөрі күрделі құрылымдарда құрылған топтардың жалпылама түрі. Топтық объектінің классикалық мысалы – топологиялық топ, яғни топтық амалдар үздіксіз болатын топологиялық кеңістік жиыны.
In category theory, a branch of mathematics, group objects are certain generalizations of groups that are built on more complicated structures than sets. A typical example of a group object is a topological group, a group whose underlying set is a topological space such that the group operations are continuous.
Мысалдар
Әрбір G жиынтығы, үшін (G, m, u, −1) топтық құрылымын анықтауға болатын болса, жиынтықтар санатындағы топтық нысан деп қарастырылуы мүмкін. m картасы – топтық операция, ал e картасы (оның домені – жеке элемент) G-нің u сәйкестік элементін бөліп шығарады, ал inv картасы әрбір топтық элементке оның керісін сәйкестендіреді. eG: G → G – G-нің әрбір элементін сәйкестік элементке жіберетін карта. Топологиялық топ – үздіксіз функциялары бар топологиялық кеңістіктер санатындағы топтық нысан. Лай тобы – тегіс карталары бар тегіс көптүрліліктер санатындағы топтық нысан. Ли супертобы – суперкөптүрліліктер санатындағы топтық нысан. Алгебралық топ – алгебралық сорттар санатындағы топтық нысан. Қазіргі алгебралық геометрияда, көбінесе топтық схемаларды қарастырады, олар схемалар санатындағы топтық нысандар. Локалды топ – локальдер санатындағы топтық нысан. Топтар (немесе моноидтар) санатындағы топтық нысандар – абельдік топтар. Бұның себебі, егер inv гомоморфизм деп есептелсе, онда G абельдік болуы керек. Нақтырақ айтқанда: егер A абельдік топ болса және біз A-ның топтық көбейтуін m арқылы, бірлік элементін e арқылы, ал A-ның инверсиялық операциясын inv арқылы белгілесек, онда (A, m, e, inv) топтар (немесе моноидтар) санатындағы топтық нысан болады. Керісінше, егер (A, m, e, inv) осы санаттардың біріндегі топтық нысан болса, онда m міндетті түрде A-дағы берілген операциямен сәйкес келеді, e – A-дағы берілген сәйкестік элементтің енгізілуі, inv – инверсиялық операция, ал A берілген операциямен абельдік топ болады. Сондай-ақ, Экманн-Хилтон аргументін қараңыз. Қатаң 2-топ – кішкентай санаттар санатындағы топтық нысан. Егер C санатында шекті копродукттер болса, онда когруппалық нысан – бұл C-нің G нысаны, «қосымша көбейту» m: G → G ⊗ G, «қосымша бірлік» e: G → 0 және «қосымша инверсия» inv: G → G, топтық нысандар үшін аксиомалардың қосарланған нұсқаларын қанағаттандырады. Мұнда 0 – C санатының бастапқы нысаны. Когруппалық нысандар алгебралық топологияда табиғи түрде кездеседі.
Each set G for which a group structure (G, m, u, −1) can be defined can be considered a group object in the category of sets. The map m is the group operation, the map e (whose domain is a singleton) picks out the identity element u of G, and the map inv assigns to every group element its inverse. eG : G → G is the map that sends every element of G to the identity element. A topological group is a group object in the category of topological spaces with continuous functions. A Lie group is a group object in the category of smooth manifolds with smooth maps. A Lie supergroup is a group object in the category of supermanifolds. An algebraic group is a group object in the category of algebraic varieties. In modern algebraic geometry, one considers the more general group schemes, group objects in the category of schemes. A localic group is a group object in the category of locales. The group objects in the category of groups (or monoids) are the abelian groups. The reason for this is that, if inv is assumed to be a homomorphism, then G must be abelian. More precisely: if A is an abelian group and we denote by m the group multiplication of A, by e the inclusion of the identity element, and by inv the inversion operation on A, then (A, m, e, inv) is a group object in the category of groups (or monoids). Conversely, if (A, m, e, inv) is a group object in one of those categories, then m necessarily coincides with the given operation on A, e is the inclusion of the given identity element on A, inv is the inversion operation and A with the given operation is an abelian group. See also Eckmann–Hilton argument. The strict 2 group is the group object in the category of small categories. Given a category C with finite coproducts, a cogroup object is an object G of C together with a "comultiplication" m: G → G G, a "coidentity" e: G → 0, and a "coinversion" inv: G → G that satisfy the dual versions of the axioms for group objects. Here 0 is the initial object of C. Cogroup objects occur naturally in algebraic topology.