Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В теории категорий, области математики, групповые объекты — это обобщения групп, построенные на структурах, более сложных, чем множества. Типичным примером группового объекта является топологическая группа — группа, базовым множеством которой является топологическое пространство, а групповые операции непрерывны.
In category theory, a branch of mathematics, group objects are certain generalizations of groups that are built on more complicated structures than sets. A typical example of a group object is a topological group, a group whose underlying set is a topological space such that the group operations are continuous.
Примеры
Каждое множество G, для которого может быть определена структура группы (G, m, u, −1), может рассматриваться как объект группы в категории множеств. Отображение m — это групповая операция, отображение e (область определения которого является синглетон) выделяет единичный элемент u из G, а отображение inv сопоставляет каждому элементу группы его обратный элемент. eG : G → G — это отображение, которое переводит каждый элемент G в единичный элемент. Топологическая группа — это объект группы в категории топологических пространств с непрерывными функциями. Группа Ли — это объект группы в категории гладких многообразий с гладкими отображениями. Супергруппа Ли — это объект группы в категории супермногообразий. Алгебраическая группа — это объект группы в категории алгебраических многообразий. В современной алгебраической геометрии рассматриваются более общие групповые схемы, объекты группы в категории схем. Локальная группа — это объект группы в категории локалей. Объекты группы в категории групп (или моноидов) являются абелевыми группами. Причина этого в том, что если inv предполагается гомоморфизмом, то G должна быть абелевой. Более точно: если A — абелева группа, и мы обозначаем m — групповое умножение в A, e — включение единичного элемента, а inv — операцию инвертирования в A, то (A, m, e, inv) — объект группы в категории групп (или моноидов). И наоборот, если (A, m, e, inv) является объектом группы в одной из этих категорий, то m обязательно совпадает с заданной операцией в A, e — включение заданного единичного элемента в A, inv — операция инвертирования, а A с заданной операцией — абелева группа. См. также аргумент Экманна — Хилтона. Строгая 2-группа — это объект группы в категории малых категорий. Для категории C с конечными копроизведениями объект когруппы — это объект G из C вместе с «коумножением» m: G → G × G, «коединицей» e: G → 0 и «коинверсией» inv: G → G, удовлетворяющими двойственным версиям аксиом для объектов группы. Здесь 0 — начальный объект C. Объекты когруппы естественным образом возникают в алгебраической топологии.
Each set G for which a group structure (G, m, u, −1) can be defined can be considered a group object in the category of sets. The map m is the group operation, the map e (whose domain is a singleton) picks out the identity element u of G, and the map inv assigns to every group element its inverse. eG : G → G is the map that sends every element of G to the identity element. A topological group is a group object in the category of topological spaces with continuous functions. A Lie group is a group object in the category of smooth manifolds with smooth maps. A Lie supergroup is a group object in the category of supermanifolds. An algebraic group is a group object in the category of algebraic varieties. In modern algebraic geometry, one considers the more general group schemes, group objects in the category of schemes. A localic group is a group object in the category of locales. The group objects in the category of groups (or monoids) are the abelian groups. The reason for this is that, if inv is assumed to be a homomorphism, then G must be abelian. More precisely: if A is an abelian group and we denote by m the group multiplication of A, by e the inclusion of the identity element, and by inv the inversion operation on A, then (A, m, e, inv) is a group object in the category of groups (or monoids). Conversely, if (A, m, e, inv) is a group object in one of those categories, then m necessarily coincides with the given operation on A, e is the inclusion of the given identity element on A, inv is the inversion operation and A with the given operation is an abelian group. See also Eckmann–Hilton argument. The strict 2 group is the group object in the category of small categories. Given a category C with finite coproducts, a cogroup object is an object G of C together with a "comultiplication" m: G → G G, a "coidentity" e: G → 0, and a "coinversion" inv: G → G that satisfy the dual versions of the axioms for group objects. Here 0 is the initial object of C. Cogroup objects occur naturally in algebraic topology.