Кіріспе
Көбейту арқылы масштабтау қасиетіне ие функция гомогенді сызықтық түрлендірулер. Математикада гомогенді функция – бірнеше айнымалыға тәуелді функция, егер функцияның әрбір аргументі бірдей скалярға көбейтілгенде, функцияның мәні осы скалярдың белгілі бір дәрежесіне көбейтілсе; бұл дәреже гомогенділік дәрежесі немесе жай ғана дәрежесі деп аталады. Яғни, егер k – бүтін сан болса, n айнымалыға тәуелді f функциясы k дәрежелі гомогенді болады, егер кез келген және үшін:
homogeneous linear maps
In mathematics, a homogeneous function is a function of several variables such that the following holds: If each of the function's arguments is multiplied by the same scalar, then the function's value is multiplied by some power of this scalar; the power is called the degree of homogeneity, or simply the degree. That is, if k is an integer, a function f of n variables is homogeneous of degree k if
for every and
For example, a homogeneous polynomial of degree k defines a homogeneous function of degree k.
The above definition extends to functions whose domain and codomain are vector spaces over a field F: a function between two F vector spaces is homogeneous of degree if
for all nonzero and This definition is often further generalized to functions whose domain is not V, but a cone in V, that is, a subset C of V such that implies for every nonzero scalar s.
In the case of functions of several real variables and real vector spaces, a slightly more general form of homogeneity called positive homogeneity is often considered, by requiring only that the above identities hold for and allowing any real number k as a degree of homogeneity. Every homogeneous real function is positively homogeneous. The converse is not true, but is locally true in the sense that (for integer degrees) the two kinds of homogeneity cannot be distinguished by considering the behavior of a function near a given point. A norm over a real vector space is an example of a positively homogeneous function that is not homogeneous. A special case is the absolute value of real numbers. The quotient of two homogeneous polynomials of the same degree gives an example of a homogeneous function of degree zero. This example is fundamental in the definition of projective schemes.
Мысалы, k дәрежелі гомогенді полином k дәрежелі гомогенді функцияны анықтайды.
homogeneous linear maps
In mathematics, a homogeneous function is a function of several variables such that the following holds: If each of the function's arguments is multiplied by the same scalar, then the function's value is multiplied by some power of this scalar; the power is called the degree of homogeneity, or simply the degree. That is, if k is an integer, a function f of n variables is homogeneous of degree k if
for every and
For example, a homogeneous polynomial of degree k defines a homogeneous function of degree k.
The above definition extends to functions whose domain and codomain are vector spaces over a field F: a function between two F vector spaces is homogeneous of degree if
for all nonzero and This definition is often further generalized to functions whose domain is not V, but a cone in V, that is, a subset C of V such that implies for every nonzero scalar s.
In the case of functions of several real variables and real vector spaces, a slightly more general form of homogeneity called positive homogeneity is often considered, by requiring only that the above identities hold for and allowing any real number k as a degree of homogeneity. Every homogeneous real function is positively homogeneous. The converse is not true, but is locally true in the sense that (for integer degrees) the two kinds of homogeneity cannot be distinguished by considering the behavior of a function near a given point. A norm over a real vector space is an example of a positively homogeneous function that is not homogeneous. A special case is the absolute value of real numbers. The quotient of two homogeneous polynomials of the same degree gives an example of a homogeneous function of degree zero. This example is fundamental in the definition of projective schemes.
Жоғарыдағы анықтама F өрісінде анықталған домені мен кодомені векторлық кеңістіктер болатын функцияларға да қолданылады: екі F векторлық кеңістігі арасындағы функциясы V дәрежелі гомогенді болады, егер барлық нөлдік емес және үшін:
homogeneous linear maps
In mathematics, a homogeneous function is a function of several variables such that the following holds: If each of the function's arguments is multiplied by the same scalar, then the function's value is multiplied by some power of this scalar; the power is called the degree of homogeneity, or simply the degree. That is, if k is an integer, a function f of n variables is homogeneous of degree k if
for every and
For example, a homogeneous polynomial of degree k defines a homogeneous function of degree k.
The above definition extends to functions whose domain and codomain are vector spaces over a field F: a function between two F vector spaces is homogeneous of degree if
for all nonzero and This definition is often further generalized to functions whose domain is not V, but a cone in V, that is, a subset C of V such that implies for every nonzero scalar s.
In the case of functions of several real variables and real vector spaces, a slightly more general form of homogeneity called positive homogeneity is often considered, by requiring only that the above identities hold for and allowing any real number k as a degree of homogeneity. Every homogeneous real function is positively homogeneous. The converse is not true, but is locally true in the sense that (for integer degrees) the two kinds of homogeneity cannot be distinguished by considering the behavior of a function near a given point. A norm over a real vector space is an example of a positively homogeneous function that is not homogeneous. A special case is the absolute value of real numbers. The quotient of two homogeneous polynomials of the same degree gives an example of a homogeneous function of degree zero. This example is fundamental in the definition of projective schemes.
Бұл анықтама көбінесе V домені V емес, V кеңістігіндегі конус, яғни V-нің C кіші жиыны болған жағдайда да қолданылады, мұнда кез келген нөлдік емес скаляр s үшін болады.
homogeneous linear maps
In mathematics, a homogeneous function is a function of several variables such that the following holds: If each of the function's arguments is multiplied by the same scalar, then the function's value is multiplied by some power of this scalar; the power is called the degree of homogeneity, or simply the degree. That is, if k is an integer, a function f of n variables is homogeneous of degree k if
for every and
For example, a homogeneous polynomial of degree k defines a homogeneous function of degree k.
The above definition extends to functions whose domain and codomain are vector spaces over a field F: a function between two F vector spaces is homogeneous of degree if
for all nonzero and This definition is often further generalized to functions whose domain is not V, but a cone in V, that is, a subset C of V such that implies for every nonzero scalar s.
In the case of functions of several real variables and real vector spaces, a slightly more general form of homogeneity called positive homogeneity is often considered, by requiring only that the above identities hold for and allowing any real number k as a degree of homogeneity. Every homogeneous real function is positively homogeneous. The converse is not true, but is locally true in the sense that (for integer degrees) the two kinds of homogeneity cannot be distinguished by considering the behavior of a function near a given point. A norm over a real vector space is an example of a positively homogeneous function that is not homogeneous. A special case is the absolute value of real numbers. The quotient of two homogeneous polynomials of the same degree gives an example of a homogeneous function of degree zero. This example is fundamental in the definition of projective schemes.
Нақты айнымалылардың функциялары және нақты векторлық кеңістіктер үшін, көбінесе оң гомогенділік деп аталатын гомогенділіктің сәл жалпыланған түрі қарастырылады, тек жоғарыда көрсетілген теңдіктерді сақтау және кез келген нақты санды гомогенділік дәрежесі ретінде пайдалану шартымен. Кез келген гомогенді нақты функция оң гомогенді болады. Керісінше, бұл әрқашан дұрыс емес, бірақ жергілікті түрде дұрыс, себебі (бүтін дәрежелер үшін) функцияның белгілі бір нүктеге жақын қасиеттерін қарастыру арқылы екі түрлі гомогенділікті ажырату мүмкін емес. Нақты векторлық кеңістіктегі норма – гомогенді емес оң гомогенді функцияның мысалы. Нақты сандардың абсолюттік мәні – ерекше жағдай. Бір дәрежелі екі гомогенді полиномның бөліндісі нөлдік дәрежелі гомогенді функцияның мысалы болып табылады. Бұл мысал проективтік схемаларды анықтауда маңызды рөл атқарады.
homogeneous linear maps
In mathematics, a homogeneous function is a function of several variables such that the following holds: If each of the function's arguments is multiplied by the same scalar, then the function's value is multiplied by some power of this scalar; the power is called the degree of homogeneity, or simply the degree. That is, if k is an integer, a function f of n variables is homogeneous of degree k if
for every and
For example, a homogeneous polynomial of degree k defines a homogeneous function of degree k.
The above definition extends to functions whose domain and codomain are vector spaces over a field F: a function between two F vector spaces is homogeneous of degree if
for all nonzero and This definition is often further generalized to functions whose domain is not V, but a cone in V, that is, a subset C of V such that implies for every nonzero scalar s.
In the case of functions of several real variables and real vector spaces, a slightly more general form of homogeneity called positive homogeneity is often considered, by requiring only that the above identities hold for and allowing any real number k as a degree of homogeneity. Every homogeneous real function is positively homogeneous. The converse is not true, but is locally true in the sense that (for integer degrees) the two kinds of homogeneity cannot be distinguished by considering the behavior of a function near a given point. A norm over a real vector space is an example of a positively homogeneous function that is not homogeneous. A special case is the absolute value of real numbers. The quotient of two homogeneous polynomials of the same degree gives an example of a homogeneous function of degree zero. This example is fundamental in the definition of projective schemes.
Анықтамалар
Біртекті функция ұғымы бастапқыда бірнеше нақты айнымалылардың функциялары үшін енгізілді. 19 ғасырдың соңында векторлық кеңістіктердің анықтамасы пайда болғаннан кейін, бұл ұғым векторлық кеңістіктер арасындағы функцияларға табиғи түрде кеңейтілді, себебі айнымалы шамалардың жиынтығы координаттық вектор ретінде қарастырылуы мүмкін. Осы мақалада осы жалпы көзқарас сипатталады. Көбінесе екі анықтама қолданылады. Бірі – кез келген өрістегі векторлық кеңістіктер үшін жұмыс істейді және гомогендік дәрежесі бүтін санмен шектеледі. Екіншісі – нақты сандар өрісінде немесе, жалпы алғанда, реттелген өрісте жұмыс істеуді қарастырады. Бұл анықтама масштабтау коэффициентін оң мәндермен шектейді, сондықтан оны оң біртектілік деп атайды, ал шатасу қаупі болмаған жағдайда «оң» сөзі жиі жіберіліп қалады. Оң біртектілік көбірек функцияларды біртекті деп қарастыруға мүмкіндік береді. Мысалы, абсолют шама және барлық нормалар – гомогенді емес, бірақ оң біртекті функциялар болып табылады. Масштабтау коэффициентін нақты оң мәндермен шектеу, сонымен қатар, гомогендік дәрежесі кез келген нақты санға тең болатын біртекті функцияларды қарастыруға да мүмкіндік береді.
Оң біртектілік
Нақты сандар үстінде немесе жалпы алғанда реттелген өріс үстінде жұмыс істегенде, оң біртектілікті қарастыру әдетте ыңғайлы, оның анықтамасы алдыңғы бөлімдегідей, бірақ сызықтық конус және біртекті функция анықтамаларындағы "нөлдік емес s" дегені "s > 0" деп ауыстырылады. Бұл өзгеріс, оң біртекті функцияларды кез келген нақты санмен олардың дәрежесі ретінде қарастыруға мүмкіндік береді, себебі оң нақты санға экспоненциациялау дұрыс анықталған. Тіпті бүтін дәрежелерде де, біртекті болмағанмен оң біртекті болатын көптеген пайдалы функциялар бар. Бұл, әсіресе, абсолют мән функциясы мен нормалар үшін дұрыс, олардың барлығы 1-дәрежелі оң біртекті. Олар біртекті емес, себебі егер ... Бұл күрделі сандар жағдайында да дұрыс, өйткені күрделі сандар өрісі және кез келген күрделі векторлық кеңістік нақты векторлық кеңістіктер ретінде қарастырылуы мүмкін. Эйлердің біртекті функциялар теоремасы – гомогенді функциялар туралы негізгі теорема ретінде қарастырылатын, оң біртекті дифференциалданатын функциялардың сипаттамасы.
Рационалдық функциялар
Рационалдық функциялар, екі гомогенді полиномның қатынасы ретінде құрылған, өздерінің анықталу облысында гомогенді функциялар болып табылады, яғни, бөлімнің нөлдерінен құрылған сызықтық конустың сыртында. Осылайша, егер - дәрежесі гомогенді болса және - дәрежесі гомогенді болса, онда бөлімнің нөлдерінен тыс жерде дәрежесі гомогенді болады.
Үлгі емес
Бір айнымалының гомогенді нақты функциялары жағдайында, олар c тұрақты саны үшін тең болады. Сондықтан, сызықтық функция, табиғи логарифм және экспоненциалдық функция гомогенді емес.