Введение
Функция с мультипликативным масштабированием и однородные линейные отображения. В математике однородная функция – это функция нескольких переменных, для которой выполняется следующее: если каждый аргумент функции умножается на один и тот же скаляр, то значение функции умножается на некоторую степень этого скаляра; эта степень называется степенью однородности или просто степенью. То есть, если k – целое число, функция f от n переменных является однородной степени k, если
homogeneous linear maps
In mathematics, a homogeneous function is a function of several variables such that the following holds: If each of the function's arguments is multiplied by the same scalar, then the function's value is multiplied by some power of this scalar; the power is called the degree of homogeneity, or simply the degree. That is, if k is an integer, a function f of n variables is homogeneous of degree k if
for every and
For example, a homogeneous polynomial of degree k defines a homogeneous function of degree k.
The above definition extends to functions whose domain and codomain are vector spaces over a field F: a function between two F vector spaces is homogeneous of degree if
for all nonzero and This definition is often further generalized to functions whose domain is not V, but a cone in V, that is, a subset C of V such that implies for every nonzero scalar s.
In the case of functions of several real variables and real vector spaces, a slightly more general form of homogeneity called positive homogeneity is often considered, by requiring only that the above identities hold for and allowing any real number k as a degree of homogeneity. Every homogeneous real function is positively homogeneous. The converse is not true, but is locally true in the sense that (for integer degrees) the two kinds of homogeneity cannot be distinguished by considering the behavior of a function near a given point. A norm over a real vector space is an example of a positively homogeneous function that is not homogeneous. A special case is the absolute value of real numbers. The quotient of two homogeneous polynomials of the same degree gives an example of a homogeneous function of degree zero. This example is fundamental in the definition of projective schemes.
для всех и
homogeneous linear maps
In mathematics, a homogeneous function is a function of several variables such that the following holds: If each of the function's arguments is multiplied by the same scalar, then the function's value is multiplied by some power of this scalar; the power is called the degree of homogeneity, or simply the degree. That is, if k is an integer, a function f of n variables is homogeneous of degree k if
for every and
For example, a homogeneous polynomial of degree k defines a homogeneous function of degree k.
The above definition extends to functions whose domain and codomain are vector spaces over a field F: a function between two F vector spaces is homogeneous of degree if
for all nonzero and This definition is often further generalized to functions whose domain is not V, but a cone in V, that is, a subset C of V such that implies for every nonzero scalar s.
In the case of functions of several real variables and real vector spaces, a slightly more general form of homogeneity called positive homogeneity is often considered, by requiring only that the above identities hold for and allowing any real number k as a degree of homogeneity. Every homogeneous real function is positively homogeneous. The converse is not true, but is locally true in the sense that (for integer degrees) the two kinds of homogeneity cannot be distinguished by considering the behavior of a function near a given point. A norm over a real vector space is an example of a positively homogeneous function that is not homogeneous. A special case is the absolute value of real numbers. The quotient of two homogeneous polynomials of the same degree gives an example of a homogeneous function of degree zero. This example is fundamental in the definition of projective schemes.
Например, однородный многочлен степени k определяет однородную функцию степени k.
homogeneous linear maps
In mathematics, a homogeneous function is a function of several variables such that the following holds: If each of the function's arguments is multiplied by the same scalar, then the function's value is multiplied by some power of this scalar; the power is called the degree of homogeneity, or simply the degree. That is, if k is an integer, a function f of n variables is homogeneous of degree k if
for every and
For example, a homogeneous polynomial of degree k defines a homogeneous function of degree k.
The above definition extends to functions whose domain and codomain are vector spaces over a field F: a function between two F vector spaces is homogeneous of degree if
for all nonzero and This definition is often further generalized to functions whose domain is not V, but a cone in V, that is, a subset C of V such that implies for every nonzero scalar s.
In the case of functions of several real variables and real vector spaces, a slightly more general form of homogeneity called positive homogeneity is often considered, by requiring only that the above identities hold for and allowing any real number k as a degree of homogeneity. Every homogeneous real function is positively homogeneous. The converse is not true, but is locally true in the sense that (for integer degrees) the two kinds of homogeneity cannot be distinguished by considering the behavior of a function near a given point. A norm over a real vector space is an example of a positively homogeneous function that is not homogeneous. A special case is the absolute value of real numbers. The quotient of two homogeneous polynomials of the same degree gives an example of a homogeneous function of degree zero. This example is fundamental in the definition of projective schemes.
Вышеуказанное определение распространяется на функции, область определения и область значений которых являются векторными пространствами над полем F: функция между двумя F-векторными пространствами является однородной степени k, если
homogeneous linear maps
In mathematics, a homogeneous function is a function of several variables such that the following holds: If each of the function's arguments is multiplied by the same scalar, then the function's value is multiplied by some power of this scalar; the power is called the degree of homogeneity, or simply the degree. That is, if k is an integer, a function f of n variables is homogeneous of degree k if
for every and
For example, a homogeneous polynomial of degree k defines a homogeneous function of degree k.
The above definition extends to functions whose domain and codomain are vector spaces over a field F: a function between two F vector spaces is homogeneous of degree if
for all nonzero and This definition is often further generalized to functions whose domain is not V, but a cone in V, that is, a subset C of V such that implies for every nonzero scalar s.
In the case of functions of several real variables and real vector spaces, a slightly more general form of homogeneity called positive homogeneity is often considered, by requiring only that the above identities hold for and allowing any real number k as a degree of homogeneity. Every homogeneous real function is positively homogeneous. The converse is not true, but is locally true in the sense that (for integer degrees) the two kinds of homogeneity cannot be distinguished by considering the behavior of a function near a given point. A norm over a real vector space is an example of a positively homogeneous function that is not homogeneous. A special case is the absolute value of real numbers. The quotient of two homogeneous polynomials of the same degree gives an example of a homogeneous function of degree zero. This example is fundamental in the definition of projective schemes.
для всех ненулевых и . Это определение часто обобщается на функции, область определения которых не V, а конус в V, то есть подмножество C в V, такое что влечет для каждого ненулевого скаляра s.
homogeneous linear maps
In mathematics, a homogeneous function is a function of several variables such that the following holds: If each of the function's arguments is multiplied by the same scalar, then the function's value is multiplied by some power of this scalar; the power is called the degree of homogeneity, or simply the degree. That is, if k is an integer, a function f of n variables is homogeneous of degree k if
for every and
For example, a homogeneous polynomial of degree k defines a homogeneous function of degree k.
The above definition extends to functions whose domain and codomain are vector spaces over a field F: a function between two F vector spaces is homogeneous of degree if
for all nonzero and This definition is often further generalized to functions whose domain is not V, but a cone in V, that is, a subset C of V such that implies for every nonzero scalar s.
In the case of functions of several real variables and real vector spaces, a slightly more general form of homogeneity called positive homogeneity is often considered, by requiring only that the above identities hold for and allowing any real number k as a degree of homogeneity. Every homogeneous real function is positively homogeneous. The converse is not true, but is locally true in the sense that (for integer degrees) the two kinds of homogeneity cannot be distinguished by considering the behavior of a function near a given point. A norm over a real vector space is an example of a positively homogeneous function that is not homogeneous. A special case is the absolute value of real numbers. The quotient of two homogeneous polynomials of the same degree gives an example of a homogeneous function of degree zero. This example is fundamental in the definition of projective schemes.
В случае функций нескольких вещественных переменных и вещественных векторных пространств часто рассматривается несколько более общая форма однородности, называемая положительной однородностью, требующая лишь, чтобы вышеуказанные тождества выполнялись для и допуская любое вещественное число k в качестве степени однородности. Каждая однородная вещественная функция является положительно однородной. Обратное неверно, но верно локально в том смысле, что (для целых степеней) два вида однородности нельзя различить, рассматривая поведение функции вблизи заданной точки. Норма в вещественном векторном пространстве является примером положительно однородной функции, которая не является однородной. Частным случаем является абсолютная величина вещественных чисел. Частное двух однородных многочленов одной и той же степени дает пример однородной функции нулевой степени. Этот пример имеет фундаментальное значение в определении проективных схем.
homogeneous linear maps
In mathematics, a homogeneous function is a function of several variables such that the following holds: If each of the function's arguments is multiplied by the same scalar, then the function's value is multiplied by some power of this scalar; the power is called the degree of homogeneity, or simply the degree. That is, if k is an integer, a function f of n variables is homogeneous of degree k if
for every and
For example, a homogeneous polynomial of degree k defines a homogeneous function of degree k.
The above definition extends to functions whose domain and codomain are vector spaces over a field F: a function between two F vector spaces is homogeneous of degree if
for all nonzero and This definition is often further generalized to functions whose domain is not V, but a cone in V, that is, a subset C of V such that implies for every nonzero scalar s.
In the case of functions of several real variables and real vector spaces, a slightly more general form of homogeneity called positive homogeneity is often considered, by requiring only that the above identities hold for and allowing any real number k as a degree of homogeneity. Every homogeneous real function is positively homogeneous. The converse is not true, but is locally true in the sense that (for integer degrees) the two kinds of homogeneity cannot be distinguished by considering the behavior of a function near a given point. A norm over a real vector space is an example of a positively homogeneous function that is not homogeneous. A special case is the absolute value of real numbers. The quotient of two homogeneous polynomials of the same degree gives an example of a homogeneous function of degree zero. This example is fundamental in the definition of projective schemes.
Определения
Понятие однородной функции первоначально было введено для функций нескольких вещественных переменных. С определением векторных пространств в конце XIX века, это понятие было естественным образом расширено на функции между векторными пространствами, поскольку набор значений переменных можно рассматривать как координатный вектор. В данной статье рассматривается именно этот более общий подход. Существует два общепринятых определения. Общее определение применимо к векторным пространствам над произвольными полями и ограничивается целыми степенями однородности. Второе определение предполагает работу над полем вещественных чисел или, в более общем случае, над упорядоченным полем. Это определение ограничивает скалярный множитель в определении положительными значениями и поэтому называется положительной однородностью, причем слово "положительной" часто опускается, если нет риска путаницы. Положительная однородность позволяет рассматривать большее количество функций как однородные. Например, модуль и все нормы являются положительно однородными функциями, которые не являются однородными в обычном смысле. Ограничение скалярного множителя положительными вещественными значениями также позволяет рассматривать однородные функции, степень однородности которых может быть любым вещественным числом.
Положительная однородность
При работе с действительными числами или, в более общем случае, с упорядоченным полем, часто удобно рассматривать положительную однородность, определение которой точно такое же, как и в предыдущем разделе, но с заменой "ненулевого s" на "s > 0" в определениях линейного конуса и однородной функции. Это изменение позволяет рассматривать (положительно) однородные функции с любым действительным числом в качестве их степени, поскольку возведение в степень с положительным действительным основанием определено корректно. Даже в случае целочисленных степеней существует множество полезных функций, которые являются положительно однородными, но не являются однородными. В частности, это относится к функции модуля и нормам, которые все положительно однородны степени 1. Они не являются однородными, поскольку если это справедливо и для комплексного случая, так как поле комплексных чисел и любое комплексное векторное пространство можно рассматривать как вещественные векторные пространства. Теорема Эйлера об однородных функциях является характеристикой положительно однородных дифференцируемых функций и может рассматриваться как фундаментальная теорема об однородных функциях.
Рациональные функции
Рациональные функции, образованные как отношение двух однородных многочленов, являются однородными функциями в своей области определения, то есть вне линейного конуса, образованного нулями знаменателя. Таким образом, если является однородным многочленом степени и является однородным многочленом степени , то является однородным многочленом степени вне нулей .
Непримеры
Однородные действительные функции одной переменной имеют вид для некоторой постоянной c. Следовательно, аффинная функция, натуральный логарифм и экспоненциальная функция не являются однородными.