Кіріспе

Трансформациялар бойынша математикалық инварианттылық – кең ұғым.

Күнделікті өмірдегі симметрия – үйлесімді және әдемі пропорция мен тепе-теңдік сезімі. Математикада бұл терминге нақты анықтама бар және ол көбінесе аударма, шағылысу, айналу немесе масштабтау сияқты трансформациялар кезінде өзгермейтін объектіні білдіреді. Бұл екі мағынаны кейде ажыратуға болады, бірақ олар тығыз байланысты, сондықтан осы мақалада бірге қарастырылады. Математикалық симметрия уақыт өтуіне қарай, кеңістіктік қатынас ретінде, геометриялық трансформациялар арқылы, басқа да функционалдық трансформациялар арқылы және абстрактілі объектілердің қасиеті ретінде – теориялық модельдер, тіл және музыка сияқты – байқалуы мүмкін. Осы мақалада симметрия үш аспектіде қарастырылады: математикада, оның ішінде көптеген адамдарға таныс геометрияда; ғылым мен табиғатта; және өнерде – сәулет, бейнелеу өнері және музыканы қамтиды. Симметрияның қарама-қарсысы – асимметрия, ол симметрияның жоқтығын білдіреді.

Геометрияда

Геометриялық пішін немесе нысан, егер оны ұйымдастырылған түрде орналастырылған екі немесе одан да көп бірдей бөлікке бөлуге болады, онда симметриялық болып табылады. Бұл дегеніміз, нысанның жекелеген бөліктерін жылжытатын, бірақ жалпы пішінін өзгертпейтін түрлендіру болса, нысан симметриялық болып табылады. Симметрияның түрі бөліктердің ұйымдастырылуымен немесе түрлендіру түрімен анықталады:

Нысан, егер одан өтетін сызық (немесе 3D кеңістікте жазықтық) оны бір-біріне айнадай келетін екі бөлікке бөлсе, айналу симметриясына (сызықтық немесе көздергі симметрия) ие болады. Нысан, егер оны белгілі бір нүкте (немесе 3D кеңістікте сызық) маңында айналдырғанда пішіні өзгермесе, айналу симметриясына ие болады. Нысан, егер оны жылжытқанда (нысанның әрбір нүктесін бірдей қашықтыққа жылжыту арқылы) пішіні өзгермесе, трансляциялық симметрияға ие болады. Нысан, егер оны үш өлшемді кеңістікте бұрандалы ось деп аталатын сызық бойымен бір мезгілде жылжытып, айналдырса, спиральді симметрияға ие болады. Нысан, егер оны кеңейткенде немесе қысқартқанда пішіні өзгермесе, масштабтық симметрияға ие болады. Фракталдар да масштабтық симметрияның бір түрін көрсетеді, онда фракталдың кішігірім бөліктері үлкен бөліктеріне пішін жағынан ұқсас болады. Басқа симметрияларға сырғуымен айналу симметриясы (айналудан кейін жылжу) және айналу-айналу симметриясы (айналу мен айналудың комбинациясы) жатады.

Логикалық тұрғыдан

Диадикалық қатынас R = S × S симметриялық болады, егер S жиынындағы барлық a, b элементтері үшін, Rab орындалса, Rba да орындалуы керек. Мысалы, "бір жаста" қатынасы симметриялық, себебі егер Пол Мэримен бір жаста болса, онда Мэри де Полмен бір жаста болады. Пропозициялық логикада симметриялық екілік логикалық байланыстырушыларға "және" (∧, немесе &), "немесе" (∨, немесе |) және "екі жақты шарты ғана" (↔) жатады, ал "егер" (→) байланыстырушысы симметриялық емес. Басқа симметриялық логикалық байланыстырушыларға "және емес" (nand, немесе ⊼), "екі жақты емес" (xor, немесе ⊻) және "не емес" (nor, немесе ⊽) кіреді.

Математиканың басқа салалары

Алдыңғы бөлімдегі геометриялық симметрияны жалпылағанда, математикалық объекті берілген математикалық операцияға қатысты симметриялық деп айтуға болады, егер сол операция объектіге қолданылғанда, объектінің белгілі бір қасиетін сақтаса. Объектінің белгілі бір қасиетін сақтайтын операциялар жиынтығы топ құрайды. Қалай болғанда да, математикадағы әрбір құрылымның өзіне тән симметриясы болады. Мысалдарға есептеуде жұп және тақ функциялар, абстракт алгебрадағы симметриялық топтар, сызықтық алгебрадағы симметриялық матрицалар және Галуа теориясындағы Галуа топтарын жатқызуға болады. Статистикада симметрия симметриялық ықтималдық таратулары және таратулардың асимметриясы – қисықтығы түрінде де көрінеді.

Физикадан

Физикадағы симметрия кез келген түрдегі түрлендірулерде, мысалы, еріксіз координаттық түрлендірулерде, инварианттылықты, яғни өзгермейтіндікті білдіреді. Бұл ұғым теориялық физиканың ең қуатты құралдарының біріне айналды, себебі табиғаттың дерлік барлық заңдары симметриядан туындайтыны анық болды. Шындығында, осы рөл Нобель сыйлығының лауреаты П.В. Андерсонды 1972 жылы жарияланған, кеңінен оқылатын "Көп нәрсе – әртүрлі" мақаласында "физика – симметрияны зерттеу" деудің өзі шамадан тыс емес екенін жазуға шабыздады. Нётер теоремасын қараңыз (ол едәуір жеңілдетілген түрінде, әрбір үздіксіз математикалық симметрия үшін энергия немесе импульс сияқты сәйкес сақталатын шама бар екенін көрсетеді; Нётердің түпнұсқа тілінде – сақталатын ағын); сондай-ақ, Вигнердің классификациясын қараңыз, ол физика заңдарының симметриялары табиғаттағы бөлшектердің қасиеттерін анықтайды дейді. Физикадағы маңызды симметрияларға үздіксіз симметриялар және кеңістік-уақыттың дискретті симметриялары; бөлшектердің ішкі симметриялары; физикалық теориялардың суперсимметриясы жатады.

Биологияда

Биологияда симметрия ұғымы көбінесе дене пішіндерін сипаттау үшін қолданылады. Екі жақты жануарлар, адамдарды қоса алғанда, денені сол және оң жартысына бөлетін сагитталық жазықтыққа қатысты белгілі бір дәрежеде симметриялы болады. Бір бағытта қозғалатын жануарлардың жоғарғы және төменгі жақтары, басы және құйрығы, сондай-ақ сол және оң жақтары болуы қажет. Басы ауыз және сезім мүшелерімен қалыптасады, ал дене қозғалыс мақсатында екі жақты симметриялы болады, симметриялы бұлшықет және қаңқа элементтеріне ие, бірақ ішкі органдар көбінесе асимметриялы болып қалады. Өсімдіктер және теңіз анемондары сияқты бекітілген (қозғалмайтын) жануарлар көбінесе радиалды немесе айналмалы симметрияға ие, себебі оларға тамақ немесе қауіп кез келген бағыттан келгенде тиімді. Эхинодермаларда, яғни теңіз жұлдыздарында, теңіз кірпілерінде және теңіз лилияларында бес еселі симметрия кездеседі. Биологияда симметрия ұғымы физикадағыдай, зерттелетін объектілердің қасиеттерін, соның ішінде олардың өзара әрекеттесуін сипаттау үшін де қолданылады. Биологиялық эволюцияның ерекше қасиеті – жаңа мүшелер мен динамиканың пайда болуына сәйкес симметрияның өзгеруі.

Химия саласында

Симметрия химия үшін маңызды, себебі ол табиғаттағы молекулалар арасындағы барлық маңызды өзара әрекеттесулердің негізін құрайды (атап айтқанда, табиғи және жасанды хиральды молекулалардың туа біткен хиральды биологиялық жүйелермен өзара әрекеттесуі арқылы). Қазіргі заманғы химиялық синтезде алынатын молекулалардың симметриясын бақылау ғалымдарға ең аз жанама әсерлері бар емдік шараларды ұсынуға мүмкіндік береді. Симметрияны толыққанды түсіну кванттық химиядағы, сондай-ақ спектроскопия және кристаллография сияқты қолданбалы салалардағы маңызды мәліметтерді түсіндіруге көмектеседі. Физикалық ғылымның осы салаларына симметрия теориясын қолдану математиканың топтар теориясы саласына тікелей байланысты.

Психология мен нейробиологиялық ғылымда

Адамның бақылауы үшін кейбір симметрия түрлері басқаларына қарағанда жақсы көрінеді, әсіресе тік ось бойынша бейнелеу, мысалы, адам бетіндегідей. Эрнст Мах өзінің "The analysis of sensations" (1897) кітабында осыны байқаған, бұл симметрияны қабылдаудың барлық типтегі реттелілікке бірдей жауап емес екенін көрсетеді. Мінез-құлқы және нейрофизиологиялық зерттеулер адамдарда және басқа жануарларда да рефлексиялық симметрияға ерекше сезімталдық бар екенін растады. Гештальт дәстүріндегі алғашқы зерттеулер екі жақты симметрияның қабылдау топтастыруының маңызды факторларының бірі екенін ұсынды. Бұл Симметрия заңы деп аталады. Симметрияның топтастыру және фигура/фон ұйымдастырудағы рөлі көптеген зерттеулерде расталды. Мысалы, рефлексиялық симметрияны анықтау, егер ол бір ғана нысанның қасиеті болса, жылдамырақ болады. Адамның қабылдауы және психофизика саласындағы зерттеулер симметрияны анықтаудың жылдам, тиімді және бұзылыстарға төзімді екенін көрсетті. Мысалы, симметрияны 100 және 150 миллисекунд аралығындағы көрсетулер арқылы анықтауға болады. Жақындағы нейросуреттеу зерттеулері симметрияны қабылдау кезінде мидың қай аймақтары белсенді екенін анықтады. Сасаки және авторлар функционалдық магниттік резонанс томографиясын (fMRI) симметриялық немесе кездейсоқ нүктелерден тұратын үлгілерге жауаптарды салыстыру үшін қолданды. Көбінесе, басқа жақтың экстрастриаттық аймақтарында белсенділік байқалды, бірақ біріншілік көру қабығында емес. Экстрастриаттық аймақтарға V3A, V4, V7 және бүйірлік оқшау кешені (LOC) кірді. Электрофизиологиялық зерттеулер осы аймақтардан басталатын кешіккен артқы теріс реакцияны анықтады. Жалпы алғанда, көру жүйенің үлкен бөлігі визуалды симметрияны өңдеуге қатысқан сияқты, және бұл аймақтардағы желілер нысандарды анықтау және тану үшін жауапты желілерге ұқсас.

Әлеуметтік қарым-қатынаста

Адамдар әр түрлі жағдайларда әлеуметтік өзара әрекеттесудің симметриялық сипатын, көбінесе асимметриялық тепе-теңдікті де қамтиды. Бұған өзаралық қарым-қатынастарды бағалау, сондай-ақ, эмпатия, көңіл көрсету, кешірім сұрау, әңгімелесу, құрмет, әділдік және кек алу сияқты ұғымдар жатады. Рефлексивтік тепе-теңдік – бұл жалпы принциптер мен нақты пікірлердің бір-біріне бейімделуі арқылы қол жеткізілетін тепе-теңдік. Симметриялық өзара әрекеттесулер "біздің бәріміз тең" деген моральдық мәлімдеме береді, ал асимметриялық өзара әрекеттесулер "мен ерекшемін; сенізден жақсымын" деген хабарды жеткізеді. Алтын ережеге сәйкес реттелетін теңдес қарым-қатынастар симметрияға негізделген, ал билік қатынастары асимметрияға негізделген. Симметриялық қарым-қатынастарды симметриялық ойындардағы (ойын теориясы) қарапайым стратегиялар, мысалы, "тізгінмен тізгін" тәсілі арқылы белгілі бір деңгейде сақтауға болады.

Өнер саласында

Симетрия және өнер салаларымен, кем дегенде, жартылай айналысатын журналдар мен хабарламалардың тізімі бар.

Сәулет саласында

Симметрия әр масштабта сәулетке еніп, готикалық соборлар мен Ақ үй сияқты ғимараттардың жалпы сыртқы түрінен бастап, жеке қабаттардың жоспарлау схемасына дейін, тіпті плитка мозаикасы сияқты жеке құрылыс элементтерінің дизайнына дейін көрінеді. Тадж-Махал мен Лотфолла мешіті сияқты исламдық ғимараттар өз құрылымында да, әшекейлеуінде де симметрияны кеңінен пайдаланады. Альгамбра сияқты мавр сәулеті аудармалық және көрістік симметрияны, сондай-ақ айналуды қолдана отырып, күрделі өрнектермен безендірілген. "Блоктардың, массалардың және құрылымдардың симметриялық орналасуына" нашар сәулетшілер ғана сүйенеді делінеді; ал Халықаралық стильден бастау алған модернистік сәулет "қанаттар мен массалардың тепе-теңдігіне" баса назар аударады.

Кілемдер мен кілемшелерде

Кілем және кілемшелердегі симметрияны қолданудың ұзақ дәстүрі түрлі мәдениеттерде кездеседі. Американың навахо үндістері айқын диагональдар мен тікбұрышты мотивтерді пайдаланды. Көптеген Шығыс кілемдері күрделі көріністермен орталық және шеттерін бейнелейді, бұл өрнекті қайталайды. Таңқаларлық емес, тікбұрышты кілемдер әдетте тікбұрышты симметрияға ие, яғни мотивтер көлденең және тік осьтер бойынша көрініс табады (қараңыз).

Қалпақтармен

Тігіншілік өнімдері шаршы блоктардан (әдетте бір блокқа 9, 16 немесе 25 бөлік) жасалатындықтан, және әр кіші бөлік көбінесе мата үшбұрыштарынан құралғандықтан, бұл қолөнерге симметрияны қолдану оңай.

Басқа өнер және қолөнер саласында

Симметрия барлық түрдегі заттардың дизайнында кездеседі. Мысалдарға әшекей бұйымдар, жиһаз, құм суреттері, түйіндік өнер, маскалар және музыкалық аспаптар жатады. Симметрия М.С. Эшердің өнерінде және қағаз қабырғасы, ислам геометриялық өрнектері сияқты керамикалық плиткалар, батик, икат, кілем тоқу және көптеген тоқыма және кесте үлгілері сияқты өнер мен қолөнер нысандарында тасселяцияның көптеген қолданыс табады. Симметрия логотиптерді жобалауда да қолданылады. Дизайнерлер торға логотип салып, симметрия теориясын қолдану арқылы өз жұмыстарын ұйымдастыра алады, симметриялық немесе асимметриялық дизайнды құра алады, әріптер арасындағы аралықты анықтай алады, дизайн үшін қанша бос орын қажет екенін біледі және логотиптің бөліктерін ерекшелендіруге қалай болатынын анықтай алады.

Музыка саласында

Симметрия тек бейнелеу өнерімен ғана шектелмейді. Оның музыка тарихындағы рөлі музыканың жасалуы мен қабылдануының көптеген жақтарына қатысты.

Музыкалық түрі

Симметрия көптеген композиторлар, мысалы Стив Райх, Бела Барток және Джеймс Тенни қолданған арка тәрізді (көтеріліп-төмендеуші) форма (ABCBA) сияқты формальды шектеу ретінде пайдаланылған. Классикалық музыкада Бах симметрияның өзгеріс және өзгермейтін тұжырымдамаларын қолданды.

Қисық құрылымдар

Симметрия масштабтар мен хордтардың қалыптасуында да маңызды роль атқарады, дәстүрлі немесе тоналды музыка диатоникалық гамма немесе мажорлық хорд сияқты симметриялық емес дыбыстық топтардан құралады. Толық тондық гамма, ауысқан хорд немесе кемінде жетістік хорды (кемінде кемінде жетістік) сияқты симметриялық гаммалар мен хордтар бағыт немесе алға жылжу сезімінен dépour, тональдік центрге қатысты беймаз болып келеді және диатоникалық функционалдылығы шешілмеген. Дегенмен, Альбан Берг, Бела Барток және Джордж Перл сияқты композиторлар симметрия осін және/немесе интервалдық циклдарды кілттерге немесе тоналды емес тоналды орталықтарға ұқсас қолданды. Джордж Перл түсіндіреді: "C–E, D–F♯, [және] Eb–G – бірдей интервалдың әртүрлі мысалдары, бұл басқаша идентичность. Симметрия осімен байланысты. C–E симметриялық байланысты дыбықтық жұптар отбасының бір бөлігі болып табылады:"

Симметриялық дыбыстық қатынастарға тұрақты негізделген алғашқы кеңейтілген шығарма, бәлкім, Альбан Бергтің Квартеті, Op. 3 (1910) болды. Бұл денсаулық пен генетикалық жарамдылықты көрсетеді. Оған қарамастан, шамадан тыс симметрия жалықтыратын немесе қызықты емес деп қабылдануы мүмкін. Рудольф Арнхайм адамдар симметриясы бар және оларды қызықты ететін жеткілікті күрделілікке ие пішіндерді ұнататынын айтты.

Әдебиетте

Симметрия әдебиетте түрлі формада кездеседі, мысалы, қысқа мәтін алға немесе кері оқылғанда бірдей болатын палиндром. Әңгімелер симметриялық құрылымға ие болуы мүмкін, Беовульф дастанындағы өрлеу мен құлдырау сияқты.