Введение

Математическая инвариантность при преобразованиях – широкое понятие.

В повседневной жизни под симметрией понимают ощущение гармоничного и красивого соотношения и равновесия. В математике этот термин имеет более точное определение и обычно используется для описания объекта, который остаётся неизменным (инвариантным) при определённых преобразованиях, таких как сдвиг, отражение, вращение или масштабирование. Хотя эти два значения слова иногда можно различить, они тесно связаны, и поэтому в данной статье рассматриваются вместе. Математическая симметрия может проявляться по отношению к течению времени, как пространственное соотношение, посредством геометрических преобразований, посредством других видов функциональных преобразований, а также как характеристика абстрактных объектов, включая теоретические модели, язык и музыку. В этой статье симметрия рассматривается с трёх точек зрения: в математике, включая геометрию – наиболее знакомый многим тип симметрии; в науке и природе; и в искусстве, охватывающем архитектуру, изобразительное искусство и музыку. Противоположностью симметрии является асимметрия, обозначающая отсутствие симметрии.

В геометрии

Геометрическая форма или объект является симметричным, если его можно разделить на две или более идентичных частей, расположенных упорядоченно. Это означает, что объект симметричен, если существует преобразование, которое перемещает отдельные части объекта, не изменяя при этом его общую форму. Тип симметрии определяется способом организации частей или типом преобразования:

Объект обладает зеркальной симметрией (или симметрией относительно прямой/плоскости), если через него проходит прямая (или в 3D – плоскость), разделяющая его на две части, являющиеся зеркальным отражением друг друга. Объект обладает вращательной симметрией, если его можно вращать вокруг фиксированной точки (или в 3D – вокруг прямой) без изменения общей формы. Объект обладает трансляционной симметрией, если его можно сдвинуть (переместить каждую точку объекта на одинаковое расстояние), не изменяя его общей формы. Объект обладает спиральной симметрией, если его можно одновременно сдвигать и вращать в трехмерном пространстве вдоль линии, известной как винтовая ось. Объект обладает масштабной симметрией, если он не меняет форму при увеличении или уменьшении размера. Фракталы также демонстрируют форму масштабной симметрии, когда меньшие части фрактала имеют форму, подобную большим частям. Другие виды симметрии включают симметрию скольжения (отражение с последующим сдвигом) и роторефлексионную симметрию (комбинацию вращения и отражения).

В логике

Диадическое отношение R = S × S симметрично, если для всех элементов a, b в S, всякий раз, когда выполняется Rab, также выполняется Rba. Таким образом, отношение "одного возраста" является симметричным, поскольку если Павел одного возраста с Марией, то и Мария одного возраста с Павлом. В пропозициональной логике симметричными бинарными логическими связками являются конъюнкция (∧, или &), дизъюнкция (∨, или |) и эквиваленция (↔), в то время как импликация (→) не является симметричной. Другими симметричными логическими связками являются отрицание конъюнкции (nand, или ⊼), исключающее ИЛИ (xor, или ⊻) и отрицание дизъюнкции (nor, или ⊽).

Другие области математики

Обобщая геометрическую симметрию, рассмотренную в предыдущем разделе, можно сказать, что математический объект симметричен относительно заданной математической операции, если эта операция, примененная к объекту, сохраняет некоторое свойство этого объекта. Множество операций, сохраняющих данное свойство объекта, образует группу. В общем случае, каждый вид математической структуры обладает своим собственным типом симметрии. Примеры включают четные и нечетные функции в математическом анализе, симметрические группы в абстрактной алгебре, симметричные матрицы в линейной алгебре и группы Галуа в теории Галуа. В статистике симметрия проявляется также в виде симметричных распределений вероятностей и асимметрии распределений (скошенности).

В физике

В физике понятие симметрии обобщилось до инвариантности, то есть неизменности, при любом преобразовании, например, произвольных координатных преобразованиях. Эта концепция стала одним из самых мощных инструментов теоретической физики, поскольку стало очевидно, что практически все законы природы происходят из симметрий. Фактически, эта роль вдохновила лауреата Нобелевской премии П. В. Андерсона написать в своей широко известной статье 1972 года «Больше значит иначе», что «незначительное преувеличение – говорить, что физика – это изучение симметрии». См. теорему Нётер (в сильно упрощенной форме, утверждающую, что для каждой непрерывной математической симметрии существует соответствующее сохраняющееся количество, такое как энергия или импульс; сохраняющийся ток, в оригинальной формулировке Нётер), а также классификацию Вигнера, согласно которой симметрии законов физики определяют свойства частиц, существующих в природе. Важными симметриями в физике являются непрерывные и дискретные симметрии пространства-времени, внутренние симметрии частиц и суперсимметрия физических теорий.

В биологии

В биологии понятие симметрии в основном используется для описания формы тела. Двустороннесимметричные животные, включая человека, в большей или меньшей степени симметричны относительно сагиттальной плоскости, разделяющей тело на левую и правую половины. Животные, передвигающиеся в одном направлении, неизбежно имеют верхнюю и нижнюю стороны, головной и хвостовой концы, а следовательно, левую и правую стороны. Голова специализируется, приобретая рот и органы чувств, а тело становится двустороннесимметричным для обеспечения движения, с симметричными парами мышц и скелетных элементов, хотя внутренние органы часто остаются асимметричными. Растения и сидячие (прикрепленные) животные, такие как морские анемоны, часто обладают радиальной или вращательной симметрией, что соответствует их образу жизни, поскольку пища или угрозы могут подходить с любого направления. Пятилучевая симметрия характерна для иглокожих – группы, включающей морских звезд, морских ежей и морские лилии. В биологии понятие симметрии используется также, как и в физике, то есть для описания свойств изучаемых объектов, включая их взаимодействие. Примечательной особенностью биологической эволюции является изменение симметрии, связанное с появлением новых структур и динамики.

В химии

Симметрия важна для химии, поскольку она является основой практически всех специфических взаимодействий между молекулами в природе (то есть посредством взаимодействия природных и синтезированных человеком хиральных молекул с изначально хиральными биологическими системами). Контроль симметрии молекул, получаемых в современной химической синтезе, позволяет ученым разрабатывать терапевтические вмешательства с минимальными побочными эффектами. Глубокое понимание симметрии объясняет фундаментальные наблюдения в квантовой химии, а также находит применение в спектроскопии и кристаллографии. Теория и применение симметрии в этих областях физических наук тесно связаны с математической теорией групп.

В психологии и нейробиологии

Для наблюдателя некоторые типы симметрии более заметны, чем другие, в частности, наиболее заметным является отражение с вертикальной осью, как это проявляется в человеческом лице. Эрнст Мах сделал это наблюдение в своей книге "Анализ ощущений" (1897), и это подразумевает, что восприятие симметрии не является универсальной реакцией на все типы регулярностей. Как поведенческие, так и нейрофизиологические исследования подтвердили особую чувствительность к симметрии отражения у людей, а также у других животных. Ранние исследования в рамках гештальт-психологии показали, что двусторонняя симметрия является одним из ключевых факторов в перцептивной группировке. Это известно как закон симметрии. Роль симметрии в группировке и организации фигуры и фона была подтверждена во многих исследованиях. Например, обнаружение симметрии отражения происходит быстрее, когда это свойство присуще единому объекту. Исследования человеческого восприятия и психофизики показали, что обнаружение симметрии происходит быстро, эффективно и устойчиво к искажениям. Например, симметрию можно обнаружить при экспозициях в диапазоне от 100 до 150 миллисекунд. Более поздние нейровизуализационные исследования задокументировали, какие области мозга активируются при восприятии симметрии. Сасаки и др. использовали функциональную магнитно-резонансную томографию (фМРТ) для сравнения реакций на паттерны с симметричными или случайными точками. Наблюдалась сильная активность в экстрастриатных областях затылочной коры, но не в первичной зрительной коре. В экстрастриатные области входили V3A, V4, V7 и латеральный затылочный комплекс (LOC). Электрофизиологические исследования выявили поздний затылочный негатив, который возникает в тех же областях. В целом, значительная часть зрительной системы, по-видимому, участвует в обработке зрительной симметрии, и эти области включают сети, сходные с теми, которые отвечают за обнаружение и распознавание объектов.

В социальных взаимодействиях

Люди наблюдают симметричность социальных взаимодействий, часто включающую асимметричный баланс, в самых разных контекстах. Это проявляется в оценках взаимности, эмпатии, сочувствия, извинений, диалога, уважения, справедливости и мести. Рефлексивное равновесие – это баланс, который может быть достигнут посредством осознанной взаимной корректировки между общими принципами и конкретными суждениями. Симметричные взаимодействия передают моральный посыл "мы все равны", в то время как асимметричные взаимодействия могут передавать сообщение "я особенный; я лучше тебя". Отношения между равными, регулируемые, например, золотым правилом, основаны на симметрии, а отношения власти – на асимметрии. Симметричные отношения в определенной степени могут поддерживаться простыми стратегиями (из теории игр), наблюдаемыми в симметричных играх, таких как принцип "око за око".

В искусстве

Существует список журналов и рассылок, которые, насколько известно, рассматривают вопросы симметрии и искусства, по крайней мере частично.

В архитектуре

Симметрия проявляется в архитектуре в любом масштабе – от общих внешних видов зданий, таких как готические соборы и Белый дом, через планировку отдельных этажей и до оформления отдельных элементов, например, плиточной мозаики. Исламские сооружения, такие как Тадж-Махал и мечеть Лотфолла, активно используют симметрию как в своей структуре, так и в орнаментации. Мавританские здания, например Альгамбра, украшены сложными узорами, созданными с помощью симметрий переноса и отражения, а также вращений. Говорят, что только некомпетентные архитекторы полагаются на "симметричное расположение блоков, объемов и конструкций"; вместо этого, модернистская архитектура, начиная с международного стиля, опирается на "крылья и баланс объемов".

В коврах и коврах

Длинная традиция использования симметрии в узорах ковров и паласов распространена в различных культурах. Американские индейцы навахо использовали смелые диагонали и прямоугольные мотивы. Многие восточные ковры отличаются сложными отраженными центрами и бордюрами, повторяющими узор. Неудивительно, что прямоугольные ковры обычно обладают симметрией прямоугольника, то есть мотивами, отраженными относительно как горизонтальной, так и вертикальной осей (см.).

В одеялах

Поскольку лоскутные одеяла создаются из квадратных блоков (обычно состоящих из 9, 16 или 25 элементов), а каждый отдельный элемент чаще всего представляет собой треугольник ткани, это ремесло легко позволяет применять принципы симметрии.

В других видах искусства и ремесел

Симметрия встречается в дизайне объектов самых разных видов. Примеры включают бисероплетение, мебель, картины из песка, узелковое плетение, маски и музыкальные инструменты. Симметрия играет центральную роль в искусстве М.К. Эшера и многочисленных применениях мозаичных узоров в искусстве и ремеслах, таких как обои, керамическая плитка (например, в исламском геометрическом орнаменте), батик, икат, ковроделие и множество видов текстильных и вышивальных узоров. Симметрия также используется при разработке логотипов. Создавая логотип на сетке и применяя теорию симметрии, дизайнеры могут организовать свою работу, создать симметричный или асимметричный дизайн, определить межбуквенный интервал, рассчитать необходимое количество негативного пространства и выделить отдельные элементы логотипа, чтобы он был более заметным.

В музыке

Симметрия не ограничивается изобразительным искусством. Её роль в истории музыки касается многих аспектов создания и восприятия музыки.

Музыкальная форма

Симметрия использовалась как формальное ограничение многими композиторами, например, композиция в форме арки (ABCBA), применяемая Стивом Райхом, Белой Бартоком и Джеймсом Тенни. В классической музыке Бах использовал концепции симметрии, такие как перестановка и инвариантность.

Структуры в шаге

Симметрия также является важным фактором при формировании гамм и аккордов: традиционная или тональная музыка состоит из несимметричных групп высот, таких как диатоническая гамма или мажорный аккорд. Считается, что симметричные гаммы или аккорды, такие как целотоновая гамма, увеличенный аккорд или уменьшенный септаккорд (двойной диминуированный септаккорд), лишены направленности или ощущения поступательного движения, неоднозначны в отношении тональности или тонального центра и обладают менее выраженной диатонической функциональностью. Однако композиторы, такие как Альбан Берг, Бела Барток и Джордж Перл, использовали оси симметрии и/или интервальные циклы аналогично тональностям или нетональным тональным центрам. Джордж Перл объясняет: "C–E, D–F♯, [и] Eb–G – это различные проявления одного и того же интервала, иного рода тождества. Другое тождество связано с осями симметрии. C–E принадлежит к семейству симметрично связанных диад следующим образом:"

Первой крупной композицией, последовательно основанной на симметричных высотных соотношениях, вероятно, был Квартет Альбана Берга, Op. 3 (1910). Это свидетельствует о здоровье и генетической приспособленности. В противоположность этому, чрезмерная симметрия часто воспринимается как скучная или неинтересная. Рудольф Арнхайм предположил, что люди предпочитают формы, обладающие определенной симметрией и достаточной сложностью, чтобы быть интересными.

В литературе

Симметрию можно обнаружить в литературе в различных формах, простейшим примером является палиндром, когда короткий текст читается одинаково слева направо и справа налево. Повествования могут иметь симметричную структуру, например, схема восхождения и падения, характерная для «Беовульфа».