Кіріспе

Банах кеңістіктерінің класы

Математикада, жиындар алгебрасының ba кеңістігі – бұл нормадағы барлық шектелген және ақырлы аддитивті белгілі шамалардан тұратын Банах кеңістігі. Норма өзгеріс ретінде анықталады, яғни

Егер Σ сигма алгебрасы болса, онда кеңістік санаулы аддитивті шамалардан тұратын ішкі жиын ретінде анықталады. “ba” белгісі – шектелген аддитивті екенін білдіретін жеңіл еске түсіру құралы, ал “ca” – санаулы аддитивті екенін білдіретін қысқартылған белгі. Егер X – топологиялық кеңістік болса, ал Σ – X-тағы Борель жиындарының сигма алгебрасы болса, онда кеңістік X-тағы барлық реттелген Борель шамаларынан тұратын ішкі кеңістік болады.

Қасиеттері

Үш кеңістіктің барлығы толық (олар Банах кеңістіктері) жалпы өзгерісімен анықталатын бірдей нормаға қатысты, сондықтан ол - жабық қосалқы жиынтық, ал Σ жиыны үшін - жабық жиынтық болып табылады. -тағы қарапайым функциялар кеңістігі кеңістігінде тығыз. Натурал сандардың қуаты жиынының ba кеңістігі, ba(2N), көбінесе жай деп белгіленеді және l∞ кеңістігінің дуалды кеңістігіне изоморфты.

B ((Σ) -дің қос саны

B(Σ) – бірыңғай нормамен жабдықталған Σ-ның шектелген өлшенетін функцияларының кеңістігі. Онда ba(Σ) = B(Σ)* – B(Σ) кеңістігінің үздіксіз қос кеңістігі. Бұл Хилдебрандт, Фихтенхольц және Канторовичке байланысты. Бұл – өлшеуді өлшенетін функциялар бойынша сызықтық функционал ретінде бейнелеуге мүмкіндік беретін Риес бейнелеу теоремасының бір түрі. Атап айтқанда, бұл изоморфизм шекті қосылатын өлшемге қатысты интегралды анықтауға мүмкіндік береді (әдеттегі Лебег интегралы санаулы қосылатындықты талап етеді). Бұл Дунфорд пен Шварц еңбектерімен байланысты және көбінесе векторлық өлшемдерге, әсіресе векторлық мәнді Радон өлшемдеріне қатысты интегралды анықтау үшін қолданылады. Топологиялық дуалдық ba(Σ) = B(Σ)* көрінеді. Σ-дағы барлық шекті қосылатын σ өлшемдерінің векторлық кеңістігі мен қарапайым функциялардың векторлық кеңістігі арасында айқын алгебралық дуалдық бар. Егер σ шектелген болса, σ-мен шақырылған сызықтық форманың жоғарғы нормада үздіксіз екенін тексеру оңай, және нәтиже одан туындайды, себебі қарапайым функциялардың тығыз ішкі кеңістігіндегі сызықтық форма, егер ол жоғарғы нормада үздіксіз болса, B(Σ)* элементіне дейін кеңейтіледі.