Введение

Класс пространств Банаха

В математике пространство *ba* алгебры множеств — это пространство Банаха, состоящее из всех ограниченных и конечно-аддитивных с знаком мер на . Норма определяется как вариация, то есть

Если Σ — сигма-алгебра, то пространство *ca* определяется как подмножество , состоящее из счетно-аддитивных мер. Обозначение *ba* является мнемоническим правилом для "ограниченно-аддитивные", а *ca* — сокращением от "счетно-аддитивные". Если X — топологическое пространство, а Σ — сигма-алгебра множеств Бореля в X, то это подпространство , состоящее из всех регулярных мер Бореля на X.

Свойства

Все три пространства полны (они являются пространствами Банаха) относительно одной и той же нормы, определяемой полной вариацией, и, следовательно, является замкнутым подмножеством , а является замкнутым множеством для Σ – алгебры борелевских множеств на X. Пространство простых функций на плотно в . Пространство ba множества степеней натуральных чисел, ba(2N), часто обозначается просто и изоморфно двойственному пространству пространства ℓ∞.

Двойной B ((Σ)

Пусть B(Σ) – пространство ограниченных Σ-измеримых функций, снабженное равномерной нормой. Тогда ba(Σ) = B(Σ)* является непрерывным сопряженным пространством к B(Σ). Это результат, полученный Hildebrandt и Fichtenholtz & Kantorovich. Это своего рода теорема о представлении Рисса, позволяющая представить меру как линейный функционал на измеримых функциях. В частности, этот изоморфизм позволяет определить интеграл по конечно-аддитивной мере (следует отметить, что обычный интеграл Лебега требует счетной аддитивности). Это связано с работами Dunford и Schwartz и часто используется для определения интеграла по векторным мерам, и особенно по векторнозначным мерам Радона. Топологическая дуальность ba(Σ) = B(Σ)* очевидна. Существует явная алгебраическая дуальность между векторным пространством всех конечно-аддитивных мер σ на Σ и векторным пространством простых функций. Легко проверить, что линейная форма, индуцированная σ, непрерывна в супремум-норме, если σ ограничена, и результат следует из того, что линейная форма на плотном подпространстве простых функций может быть продолжена до элемента B(Σ)*, если она непрерывна в супремум-норме.