Инфинитезимальдардың қазіргі қолданысы

Кіріспе

Математикада стандартты емес есептеу – стандартты емес талдау мағынасында, шексіз шамаларды дифференциалдық және интегралдық есептеуге қолдану. Ол бұрын тек болжамды деп саналған есептеудегі кейбір аргументтерге қатаң негіздеме береді. Карл Вейерштрасс 1870 жылдардан бастап оларды (ε, δ) лимит анықтамасымен алмастыруға тырысқанға дейін шексіз шамалармен қатаң емес есептеулер кеңінен қолданылып келді. (Есептеу тарихына қараңыз.) Содан кейін шамамен жүз жыл бойы Ричард Курант сияқты математиктер шексіз кішкентайларды наивті және тұманды немесе мағынасыз деп қарады. Мұндай пікірлерге қарсы, Абрахам Робинсон 1960 жылы Эдвин Хьюитт пен Ежи Лосьтің жұмысына сүйене отырып, шексіз кішкентайлар нақты, анық және мағыналы екенін көрсетті. Говард Кейслердің айтуынша, "Робинсон шексіз кішкентайларды нақты қарастыру арқылы үш жүз жылдық мәселені шешті. Робинсонның жетістігі, бәлкім, ХХ ғасырдың маңызды математикалық жетістіктерінің бірі болар".

Тарих

Стандартты емес есептеу тарихы шексіз кіші шамаларды пайдаланудан бастау алды, оларды есептеуде шексіз кіші деп атайды. Шексіз кіші шамаларды қолдану Готфрид Лейбниц пен Исаак Ньютонның 1660 жылдардан бастап дамытқан есептеудің негіздерінде кездеседі. Джон Уоллис Кавальери және басқалардың бөлшексіздерінің бұрынғы әдістерін, ауданды есептеуде қолданған шексіз кіші шама арқылы жетілдірді, бұл интегралды есептеудің негізін дайындады. Олар Пьер де Ферма, Исаак Барроу және Рене Декарт сияқты математиктердің еңбектеріне сүйенді. Алғашқы есептеуде шексіз кіші шамаларды қолдануды көптеген авторлар, әсіресе Мишель Роль және епископ Беркли өзінің "Аналист" кітабында сынға алды. Бірнеше математиктер, соның ішінде Маклаурин және д’Аламбер, шектерді қолдануды жақтады. Огюстен Луи Коши негізгі тәсілдердің кең спектрін, соның ішінде шексіз кіші шамалар тұрғысынан үздіксіздіктің анықтамасын және дифференциалдаумен жұмыс істеуде ε, δ аргументінің (біршама дәл емес) прототипін жасады. Карл Вейерштрасс шек ұғымын (нақты) сандар жүйесінде шексіз кіші шамаларсыз ресмилендірді. Вейерштрастың жұмысынан кейін, есептеуді ε, δ аргументтеріне негіздеу кең таралды. Вейерштрасс формальдандырған бұл тәсіл стандартты есептеу деп аталды. Шексіз кіші шамаға негізделген тәсіл көп жылдар бойы оқу құралы ретінде ғана қолданылғаннан кейін, 1960 жылдары Авраам Робинсон шексіз кіші шамаларды қолдануға қатаң негіз берді. Робинсонның тәсілі стандартты емес анализ деп аталады, ол шектердің стандартты қолданылуынан ажыратылады. Бұл тәсіл математикалық логикадан техникалық құралдарды пайдаланып, шексіз кіші шамаларды Лейбницке ұқсас есептеу ережелерін дамытуға мүмкіндік беретін гипернақтық сандар теориясын құрды. Эдвард Нельсон жасаған баламалы тәсіл, кәдімгі нақты түзуде шексіз кіші шамаларды табуға және жаңа біртұтас предикат "стандартты" енгізу арқылы ZFC негізін кеңейту арқылы негізгі параметрлерді өзгертуге мүмкіндік береді.

The history of nonstandard calculus began with the use of infinitely small quantities, called infinitesimals in calculus. The use of infinitesimals can be found in the foundations of calculus independently developed by Gottfried Leibniz and Isaac Newton starting in the 1660s. John Wallis refined earlier techniques of indivisibles of Cavalieri and others by exploiting an infinitesimal quantity he denoted in area calculations, preparing the ground for integral calculus. They drew on the work of such mathematicians as Pierre de Fermat, Isaac Barrow and René Descartes. In early calculus the use of infinitesimal quantities was criticized by a number of authors, most notably Michel Rolle and Bishop Berkeley in his book The Analyst. Several mathematicians, including Maclaurin and d'Alembert, advocated the use of limits. Augustin Louis Cauchy developed a versatile spectrum of foundational approaches, including a definition of continuity in terms of infinitesimals and a (somewhat imprecise) prototype of an ε, δ argument in working with differentiation. Karl Weierstrass formalized the concept of limit in the context of a (real) number system without infinitesimals. Following the work of Weierstrass, it eventually became common to base calculus on ε, δ arguments instead of infinitesimals. This approach formalized by Weierstrass came to be known as the standard calculus. After many years of the infinitesimal approach to calculus having fallen into disuse other than as an introductory pedagogical tool, use of infinitesimal quantities was finally given a rigorous foundation by Abraham Robinson in the 1960s. Robinson's approach is called nonstandard analysis to distinguish it from the standard use of limits. This approach used technical machinery from mathematical logic to create a theory of hyperreal numbers that interpret infinitesimals in a manner that allows a Leibniz like development of the usual rules of calculus. An alternative approach, developed by Edward Nelson, finds infinitesimals on the ordinary real line itself, and involves a modification of the foundational setting by extending ZFC through the introduction of a new unary predicate "standard".