Нестандартный анализ и возрождение бесконечно малых величин.

Введение

Современное применение бесконечно малых величин
В математике нестандартный анализ — это современное применение бесконечно малых величин в смысле нестандартного анализа к дифференциальному и интегральному исчислению. Он предоставляет строгое обоснование некоторым рассуждениям в исчислении, которые ранее считались лишь эвристическими. Нестрогие вычисления с бесконечно малыми величинами широко использовались до того, как Карл Вейерштрасс попытался заменить их определением предела с использованием (ε, δ), начиная с 1870-х годов. (См. историю математического анализа.) Почти в течение ста лет после этого такие математики, как Рихард Курант, рассматривали бесконечно малые величины как наивные, расплывчатые или бессмысленные. Вопреки этим взглядам, Авраам Робинсон в 1960 году показал, что бесконечно малые величины точны, чётко определены и имеют смысл, опираясь на работы Эдвина Хьюитта и Ежи Лося. По словам Говарда Кейслера, «Робинсон решил проблему, над которой бились триста лет, предоставив точное математическое описание бесконечно малых величин. Достижение Робинсона, вероятно, будет признано одним из важнейших математических прорывов двадцатого века».

История

История нестандартного исчисления началась с использования бесконечно малых величин, называемых инфинитезималями в исчислении. Использование инфинитезималей можно найти в основаниях исчисления, независимо разработанных Готфридом Лейбницем и Исааком Ньютоном, начиная с 1660-х годов. Джон Уоллис усовершенствовал более ранние методы неделимых Кавальери и других, используя инфинитезимальную величину, которую он обозначал при вычислении площадей, подготовив почву для интегрального исчисления. Они опирались на работы таких математиков, как Пьер де Ферма, Исаак Барроу и Рене Декарт. В раннем исчислении использование инфинитезимальных величин подверглось критике со стороны ряда авторов, наиболее заметно Мишеля Роля и епископа Беркли в его книге «Аналитик». Несколько математиков, включая Маклорена и д’Аламбера, выступали за использование пределов. Огюстен Луи Коши разработал универсальный спектр фундаментальных подходов, включая определение непрерывности в терминах инфинитезималей и (несколько неточный) прототип ε-δ-аргумента при работе с дифференцированием. Карл Вейерштрасс формализовал понятие предела в контексте (действительной) системы чисел без инфинитезималей. После работы Вейерштрасса стало общепринятым основывать исчисление на ε-δ-аргументах вместо инфинитезималей. Этот подход, формализованный Вейерштрассом, стал известен как стандартное исчисление. После многих лет забвения инфинитезимального подхода к исчислению, за исключением его использования в качестве вводного педагогического инструмента, использование инфинитезимальных величин, наконец, получило строгое обоснование благодаря Аврааму Робинсону в 1960-х годах. Подход Робинсона называется нестандартным анализом, чтобы отличить его от стандартного использования пределов. Этот подход использовал технические средства математической логики для создания теории гипердействительных чисел, которые интерпретируют инфинитезимали таким образом, что позволяет разработать обычные правила исчисления в духе Лейбница. Альтернативный подход, разработанный Эдвардом Нельсоном, находит инфинитезимали на самой обычной действительной прямой и включает в себя модификацию фундаментальных основ путем расширения ZFC посредством введения нового унарного предиката «стандартный».

The history of nonstandard calculus began with the use of infinitely small quantities, called infinitesimals in calculus. The use of infinitesimals can be found in the foundations of calculus independently developed by Gottfried Leibniz and Isaac Newton starting in the 1660s. John Wallis refined earlier techniques of indivisibles of Cavalieri and others by exploiting an infinitesimal quantity he denoted in area calculations, preparing the ground for integral calculus. They drew on the work of such mathematicians as Pierre de Fermat, Isaac Barrow and René Descartes. In early calculus the use of infinitesimal quantities was criticized by a number of authors, most notably Michel Rolle and Bishop Berkeley in his book The Analyst. Several mathematicians, including Maclaurin and d'Alembert, advocated the use of limits. Augustin Louis Cauchy developed a versatile spectrum of foundational approaches, including a definition of continuity in terms of infinitesimals and a (somewhat imprecise) prototype of an ε, δ argument in working with differentiation. Karl Weierstrass formalized the concept of limit in the context of a (real) number system without infinitesimals. Following the work of Weierstrass, it eventually became common to base calculus on ε, δ arguments instead of infinitesimals. This approach formalized by Weierstrass came to be known as the standard calculus. After many years of the infinitesimal approach to calculus having fallen into disuse other than as an introductory pedagogical tool, use of infinitesimal quantities was finally given a rigorous foundation by Abraham Robinson in the 1960s. Robinson's approach is called nonstandard analysis to distinguish it from the standard use of limits. This approach used technical machinery from mathematical logic to create a theory of hyperreal numbers that interpret infinitesimals in a manner that allows a Leibniz like development of the usual rules of calculus. An alternative approach, developed by Edward Nelson, finds infinitesimals on the ordinary real line itself, and involves a modification of the foundational setting by extending ZFC through the introduction of a new unary predicate "standard".