Кіріспе

248 өлшемді ерекше қарапайым Лай тобы ДИСПЛЕЙТАЙТЛ: E8 (математика)

Математикада E8 – 248 өлшемді бірнеше тығыз байланысты ерекше қарапайым Лай топтарының, сызықтық алгебралық топтардың немесе Лай алгебраларының кез келгені. Сол сияқты, 8-рангты түбір торы үшін де осы белгі қолданылады. E8 белгілеуі күрделі қарапайым Лай алгебраларының Картан-Килинг жіктелуінен шыққан, ол An, Bn, Cn, Dn деп белгіленген төрт шексіз қатарға және G2, F4, E6, E7 және E8 деп белгіленген бес ерекше жағдайды қамтиды. E8 алгебрасы – бұл аталған ерекше жағдайлардың ең үлкені және ең күрделісі.

Негізгі сипаттама

E8 Ли тобының өлшемі 248-ге тең. Оның ранги, яғни ең үлкен торының өлшемі, сегіз. Сондықтан, түбірлік жүйенің векторлары сегіз өлшемді Евклид кеңістігінде орналасқан: олар осы мақалада кейін нақты сипатталады. E8 Вейль тобы, яғни бүкіл топтағы конъюгациялар арқылы туындайтын максималдық тордың симметриялар тобы, 2357 санына тең. E8 компактты тобы қарапайым компактты Ли топтарының арасында бірегей, өйткені оның тривиалды емес, ең кіші өлшемді бейнесі – бұл 248 өлшемді қосымша бейне, ол E8 Ли алгебрасының өзінде әрекет етеді; сонымен қатар, ол келесі төрт қасиетке ие бірегей топ: тривиалды орталық, компактты, жай ғана байланысқан және жай ғана тоқылған (барлық түбірлердің ұзындығы бірдей). Кез келген k ≥ 3 бүтін саны үшін Ek Ли алгебрасы бар. Ek шекті өлшемді болатын k-ның ең үлкен мәні k = 8, яғни k > 8 болғанда Ek шексіз өлшемді.

E8 алгебралық топ ретінде

Ли алгебрасы үшін Шевалли негізін қолдана отырып, E8-ді бүтін сандар бойынша және, демек, кез келген коммутативтік сақина бойынша, әсіресе, кез келген өріс бойынша сызықтық алгебралық топ ретінде анықтауға болады: бұл E8-дің бөлінген (кейде «untwisted» деп те аталады) түрін анықтайды. Алгебралық жабық өріс үстінде бұл жалғыз форма; алайда, басқа өрістерде көбінесе көптеген басқа формалар немесе E8-дің «бұрылыстары» бар, олар Галуа когомологиясының жалпы аясында (әдемі өріс k үстінде) H1(k, Aut(E8)) жиынтығы бойынша жіктеледі, ал E8-дің Динкин диаграммасында (төменде қараңыз) автоморфизмдер болмағандықтан, бұл H1(k, E8) жиынтығымен сәйкес келеді. R үстінде, E8-дің алгебралық бұрылыс формаларының нақты байланысқан компонентінің сәйкестігі жоғарыда аталған үш нақты Ли тобымен сәйкес келеді, бірақ негізгі топқа қатысты бір нюанс бар: E8-дің барлық формалары алгебралық геометрия мағынасында жай ғана байланысқан, яғни олар тривиалды емес алгебралық жабындыларды қабылдамайды; сондықтан E8-дің компакт емес және жай ғана байланысқан нақты Ли тобы формалары алгебралық емес және адал шекті өлшемді бейнелеулерді қабылдамайды. Шекті өрістерде Ланг–Штейнберг теоремасы H1(k, E8) = 0 екенін білдіреді, яғни E8-дің бұрылыс формалары жоқ: төмендегіге қараңыз. Нақты және кешенді Ли алгебралары мен Ли топтарының шекті өлшемді бейнелеулерінің таңбалары Вейль таңбалық формуласымен беріледі. Ең кіші азайтылмайтын бейнелеулердің өлшемдері: 1, 248, 3875, 27000, 30380, 147250, 779247, 1763125, 2450240, 4096000, 4881384, 6696000, 26411008, 70680000, 76271625, 79143000, 146325270, 203205000, 281545875, 301694976, 344452500, 820260000, 1094951000, 2172667860, 2275896000, 2642777280, 2903770000, 3929713760, 4076399250, 4825673125, 6899079264, 8634368000 (екі рет), 12692520960.

248 өлшемді бейнелеу – қосымша бейнелеу. 8634368000 өлшемінде екі тең емес азайтылмайтын бейнелеу бар (бұл бірегей емес, алайда, осы қасиетке ие келесі бүтін сан 175898504162692612600853299200000). Негізгі бейнелеулер 3875, 6696000, 6899079264, 146325270, 2450240, 30380, 248 және 147250 өлшемдеріне ие (Динкин диаграммасындағы сегіз түйінге сәйкес келуі төмендегі Картан матрицасы үшін таңдалған тәртіппен, яғни түйіндер жеті түйіндік тізбекте бірінші оқылады, соңғы түйін үшіншіге қосылады). E8-дің шексіз өлшемді азайтылмайтын бейнелеулері үшін таңба формулаларының коэффициенттері көптеген көпмүшелерден тұратын үлкен шаршы матрицаларға, Lusztig–Vogan көпмүшелеріне, жалпы алғанда Джордж Lusztig және Дэвид Kazhdan (1983) редуктивті топтар үшін енгізген Kazhdan–Lusztig көпмүшелерінің аналогына байланысты. Lusztig–Vogan полиномдарының 1-дегі мәндері стандартты бейнелеулерді (олардың таңбаларын сипаттау оңай) азайтылмайтын бейнелеулермен байланыстыратын матрицалардың коэффициенттерін береді. Бұл матрицалар Джеффри Адамс басқарған 18 математик пен компьютерлік ғалымдар тобының төрт жылдық ынтымақтастығынан кейін есептелді, бағдарламаның көп бөлігін Фокко дю Клу жасады. Ең қиын жағдай (ерекше топтар үшін) – E8-дің бөлінген нақты түрі (жоғарыда қараңыз), ондағы ең үлкен матрица 453060 × 453060 өлшеміне ие. Барлық басқа ерекше қарапайым топтар үшін Lusztig–Vogan полиномдары біраз уақыттан бері белгілі; E8-дің бөлінген түрін есептеу кез келген басқа жағдайларға қарағанда әлдеқайда ұзақ. 2007 жылдың наурыз айында нәтиже жарияланғанда бұқаралық ақпарат құралдарында ерекше назар тартылды (сыртқы сілтемелерді қараңыз), бұл оған жұмыс істейтін математиктерді таң қалдырды. E8 топтарының шекті өрістердегі бейнелеулері Делинье–Люстиг теориясымен берілген.

Геометрия

E8-дің компактты нақты түрі – Картанның жіктелуі бойынша 128 өлшемді ерекше компактты Риман симметриялық кеңістігі EVIII-нің изометрия тобы болып табылады. Ол бейресми түрде "октоктониондық проективті жазық" деп аталады, себебі ол октаниондардың өзімен-өзінің тензорлық көбейтіндісінен құрылатын алгебраны пайдалана отырып салынуы мүмкін, сонымен қатар ол проективті жазықтардың қалыпты аксиомаларына бағынбаса да, Розенфельд проективті жазығы деп танылады. Бұл Ханс Фрейденталь және Жак Титс жасаған "сиқырлы квадрат" деп аталатын құрылымды жүйелі түрде қолдану арқылы көрініс табады.

E8 тамыр жүйесі

Рангы r түбір жүйесі – r өлшемді Евклид кеңістігін қамтитын және белгілі бір геометриялық қасиеттерді қанағаттандыратын, тамырлар деп аталатын векторлардың нақты шекті конфигурациясы. Атап айтқанда, түбір жүйесі кез келген түбірге перпендикуляр гипержазықтықтағы көрістіру кезінде өзгермейтін болуы керек. E8 түбір жүйесі – R8 кеңістігін қамтитын 240 түбір векторларын қамтитын 8-ші рангтағы түбір жүйесі. Ол кіші рангтағы түбір жүйелерінен құрастырыла алмайды, яғни ирредуктивті. E8 түбір векторларының барлығы бірдей ұзындыққа ие. Оларды ұзындығына нормализациялау ыңғайлы, осы 240 вектор 1900 жылы Торольд Госсет ашқан жартылай реттелген политоптың төбелері болып табылады, оны кейде 421 политоп деп те атайды.

Динкин диаграммасы

E8 үшін Динкин диаграммасы мынадай: Бұл диаграмма тамыр құрылымының ықшам визуалды сипаттамасын береді. Диаграмманың әрбір түйіні қарапайым түбірді көрсетеді. Екі қарапайым түбірді жалғайтын сызық олардың арасындағы бұрыш 120° екенін білдіреді. Сызықпен жалғанбаған екі қарапайым түбір өзара перпендикуляр болады.

Вейл тобы

E8 Вейл тобы 696729600 реттікке ие, және оны O(2) ретінде сипаттауға болады: ол 2.G.2 нысанында (яғни, 2 реттік циклдік топпен кеңейтілген, 2 реттік циклдік топтың G тобымен кеңейтілуі), мұнда G – 174182400 реттік бірегей қарапайым топ (оны PSΩ8+(2) ретінде сипаттауға болады).

E8 түбір торлары

E8 түбір жүйесінің толық аралығы R8 кеңістігінде E8 түбір торы деп аталатын торды құрайды. Бұл тор өте ерекше, себебі ол 16-дан төмен дәрежедегі жалғыз (тривиалды емес) жұп, унимодулярлы тор болып табылады.

E8 қарапайым субальгебралары

E8 Ли алгебрасы кіші алгебра ретінде барлық ерекше Ли алгебраларын, сондай-ақ математика мен физикадағы көптеген маңызды Ли алгебраларын қамтиды. Диаграммадағы Ли алгебрасының биіктігі шамамен алгебраның рангіне сәйкес келеді. Алгебрадан төменгі алгебраға түсетін сызық, төменгі алгебраның жоғары алгебраның кіші алгебрасы екенін көрсетеді.

Е8 типті шевалье топтары

көрсеткендей, (бөлінген) алгебралық топтың E8 нүктелері (жоғарыда қараңыз) q элементтері бар шекті өріс үстінде шекті Шевалли тобын құрайды, әдетте E8(q) деп жазылады, ол кез келген q үшін қарапайым және шекті қарапайым топтардың жіктелуімен қарастырылған шексіз отбасылардың бірі болып табылады. Оның элементтерінің саны мына формуламен беріледі:

Бұл тізбектегі бірінші мүше, E8(2-нің реті, атап айтқанда ≈ 3.38, Monster тобының мөлшерінен асып түседі. Бұл E8(2) тобы – шекті топтардың ATLAS-та сипатталған соңғысы (бірақ оның мінездемелер кестесі жоқ). E8(q)-ның Шур көбейтушісі тривиалды, ал оның сыртқы автоморфизм тобы – өріс автоморфизмдері тобы (яғни, егер 1=q = pf болса, онда p – жай сан болғанда f ретіндегі циклдік). E8 типіндегі шекті топтардың унипотенттік бейнелерін сипаттады.

Қолданбалар

E8 Ли тобы теориялық физикада, әсіресе, ішек теориясы мен супергравитацияда қолданылады. E8×E8 – гетеротикалық ішектің екі түрінің бірінің өлшегіш тобы және он өлшемдегі N = 1 супергравитациямен байланыстыруға болатын екі аномалиясыз өлшегіш топтарының бірі. E8 – сегіз тордағы супергравитацияның U дуалдық тобы (бөлінген түрінде). Гетеротикалық ішек теориясына бөлшектер физикасының стандартты моделін енгізудің бір жолы – E8 симметриясын оның ең үлкен SU(3) × E6 субалгебрасына бұзу. 1982 жылы Майкл Фридман E8 торларын пайдаланып, тегіс құрылымы жоқ топологиялық 4 көптік, E8 көптігінің үлгісін жасады. Антони Гаррет Лизидің «Әр нәрсенің ерекше қарапайым теориясы» деген толық емес еңбегінде физикадағы барлық белгілі фундаментальды өзара әрекеттесулерді E8 Ли алгебрасының бөлігі ретінде сипаттауға тырысады. белгілі бір жағдайларда, E8-ге қатысты сегіз шыңының екісін көрсеткен кобальт ниобий кристаллының электрондық спиндерін зерттеген тәжірибе туралы хабарлады.

Тарих

қарапайым компактты Лай алгебраларын жіктеу кезінде E8 күрделі Лай алгебрасын ашты, бірақ оның бар екенін дәлелдемеді, оны алғаш рет Эли Картан көрсетті. Картан E8 типіндегі күрделі қарапайым Лай алгебрасы үш нақты түрге ие екенін анықтады. Олардың әрқайсысы 248 өлшемді қарапайым Лай тобын тудырады, олардың дәл біреуі (күрделі қарапайым Лай алгебрасының кез келгені сияқты) компактты. Ол басқа да өрістерде E8 типіндегі алгебралық топтар мен Лай алгебраларын енгізді: мысалы, шекті өрістер жағдайында олар Лай типіндегі шекті қарапайым топтардың шексіз отбасына әкеледі. E8 – барлық Лай топтарының біртұтас өкілдіктерін анықтауды мақсат ететін Лай топтары мен өкілдіктерінің атласы үшін белсенді негізгі зерттеулер саласы болып табылады.

Басқа сілтемелер

E8 тамыр жүйесінің графикалық бейнесі. E8 комплекстік түрінің ирредукциялық өкілдіктерінің өлшемдерінің тізімі OEIS-те A121732 ретімен келтірілген.