Введение

248-мерная исключительная простая группа Ли
ОТОБРАЖАЕМОЕ ЗАГОЛОВКИЕ: E8 (математика)

В математике, E8 — любая из нескольких тесно связанных исключительных простых групп Ли, линейных алгебраических групп или алгебр Ли размерности 248; та же нотация используется для соответствующей корневой решётки, имеющей ранг 8. Обозначение E8 происходит от классификации Картана — Киллинга комплексных простых алгебр Ли, которые делятся на четыре бесконечных ряда, обозначенных An, Bn, Cn, Dn, и пять исключительных случаев, обозначенных G2, F4, E6, E7 и E8. Алгебра E8 является самой большой и сложной из этих исключительных случаев.

Основное описание

Группа Ли E8 имеет размерность 248. Ее ранг, который является размерностью ее максимального тора, равен восьми. Следовательно, векторы корневой системы находятся в восьмимерном евклидовом пространстве: они будут явно описаны далее в этой статье. Группа Вейля E8, являющаяся группой симметрий максимального тора, индуцированных сопряжениями во всей группе, имеет порядок 2357 =. Компактная группа E8 уникальна среди простых компактных групп Ли тем, что ее нетривиальное представление наименьшей размерности является присоединенным представлением (размерности 248), действующим на саму алгебру Ли E8; она также уникальна тем, что обладает следующими четырьмя свойствами: тривиальный центр, компактность, просто связность и просто переплетенность (все корни имеют одинаковую длину). Существует алгебра Ли Ek для каждого целого числа k ≥ 3. Наибольшее значение k, при котором Ek является конечномерной, равно k = 8, то есть Ek является бесконечномерной для любого k > 8.

E8 как алгебраическая группа

С помощью основы Шевалье для алгебры Ли можно определить E8 как линейную алгебраическую группу над целыми числами и, следовательно, над любым коммутативным кольцом и, в частности, над любым полем: это определяет так называемую сплит-форму E8 (иногда также известную как “неискривлённую”). Над алгебраически замкнутым полем это единственная форма; однако над другими полями часто существует множество других форм или “скруток” E8, которые классифицируются в общей структуре галлоизовой когомологии (над совершенным полем k) множеством H¹(k, Aut(E8)), которое, поскольку диаграмма Динкина E8 (см. ниже) не имеет автоморфизмов, совпадает с H¹(k, E8). Над R, реальная связная компонента единицы этих алгебраически скрученных форм E8 совпадает с тремя реальными группами Ли, упомянутыми выше, но с тонкостью, касающейся фундаментальной группы: все формы E8 простосвязны в смысле алгебраической геометрии, что означает, что они не допускают нетривиальных алгебраических накрытий; некомпактные и простосвязные реальные формы группы Ли E8 поэтому не являются алгебраическими и не допускают верных конечномерных представлений. Над конечными полями теорема Ленг–Штейнберга утверждает, что H¹(k, E8) = 0, что означает, что E8 не имеет скрученных форм: см. ниже. Характеры конечномерных представлений реальных и комплексных алгебр и групп Ли задаются формулой характеров Вейля. Размеры наименьших неприводимых представлений: 1, 248, 3875, 27000, 30380, 147250, 779247, 1763125, 2450240, 4096000, 4881384, 6696000, 26411008, 70680000, 76271625, 79143000, 146325270, 203205000, 281545875, 301694976, 344452500, 820260000, 1094951000, 2172667860, 2275896000, 2642777280, 2903770000, 3929713760, 4076399250, 4825673125, 6899079264, 8634368000 (дважды), 12692520960.

248-мерное представление является сопряжённым представлением. Существует два неизоморфных неприводимых представления размерности 8634368000 (оно не единственно; однако следующее целое число с этим свойством равно 175898504162692612600853299200000). Фундаментальные представления — это представления размерностей 3875, 6696000, 6899079264, 146325270, 2450240, 30380, 248 и 147250 (соответствующие восьми узлам на диаграмме Динкина в порядке, выбранном для матрицы Картана ниже, то есть узлы считываются в цепочке из семи узлов сначала, а последний узел соединён с третьим). Коэффициенты формул характеров для бесконечномерных неприводимых представлений E8 зависят от некоторых больших квадратных матриц, состоящих из полиномов, полиномов Лустига–Вогана, аналога полиномов Каждана–Лустига, введённых для редуктивных групп в целом Джорджем Лустигом и Дэвидом Кажданом (1983). Значения в 1 полиномов Лустига–Вогана дают коэффициенты матриц, связывающих стандартные представления (их характеры легко описать) с неприводимыми представлениями. Эти матрицы были вычислены после четырёх лет сотрудничества группой из 18 математиков и специалистов в области вычислительной техники под руководством Джеффри Адамса, причём большая часть программирования была выполнена Фокко дю Клу. Самым сложным случаем (для исключительных групп) является сплит-реальная форма E8 (см. выше), где наибольшая матрица имеет размер 453060 × 453060. Полиномы Лустига–Вогана для всех других исключительных простых групп известны уже некоторое время; вычисление для сплит-формы E8 намного длиннее, чем для любого другого случая. Объявление результатов в марте 2007 года получило необычайное внимание со стороны СМИ (см. внешние ссылки), к удивлению математиков, работавших над ним. Представления групп E8 над конечными полями задаются теорией Делинье–Люстига.

Геометрия

Компактная вещественная форма E8 является группой изометрий 128-мерного исключительного компактного риманова симметричного пространства EVIII (в классификации Картана). Неофициально она известна как "октоктонионная проективная плоскость", поскольку её можно построить, используя алгебру, являющуюся тензорным произведением октонионов самих на себя, и также известна как проективная плоскость Розенфельда, хотя она не удовлетворяет обычным аксиомам проективной плоскости. Это можно систематически увидеть, используя построение, известное как "магический квадрат", разработанное Гансом Фрейденталем и Жаком Титом.

Корневая система E8

Корневая система ранга r — это конкретная конечная конфигурация векторов, называемых корнями, которые порождают r-мерное евклидово пространство и удовлетворяют определенным геометрическим свойствам. В частности, корневая система должна быть инвариантна относительно отражения через гиперплоскость, перпендикулярную любому корню. Корневая система E8 — это корневая система ранга 8, содержащая 240 корневых векторов, порождающих R8. Она является неразложимой в том смысле, что её нельзя построить из корневых систем меньшего ранга. Все корневые векторы в E8 имеют одинаковую длину. Для ряда целей удобно нормализовать их так, чтобы они имели длину. Эти 240 векторов являются вершинами полуправильного политопа, открытого Торольдом Госсетом в 1900 году, иногда называемого политопом 421.

Диаграмма Динкина

Диаграмма Динкина для E8 представлена ниже. Эта диаграмма дает краткое наглядное представление о структуре корней. Каждый узел этой диаграммы соответствует простому корню. Линия, соединяющая два простых корня, означает, что угол между ними равен 120°. Два простых корня, не соединенных линией, ортогональны друг другу.

Группа Вейла

Группа Вейля E8 имеет порядок 696729600 и может быть описана как O(2): она имеет вид 2.G.2 (то есть, стем-расширение циклической группой порядка 2 расширения циклической группы порядка 2 группой G), где G — единственная простая группа порядка 174182400 (которая может быть описана как PSΩ8+(2)).

Корневая решетка E8

Интегральное замыкание корневой системы E8 образует решетку в R8, которая естественно называется решеткой корней E8. Эта решетка весьма примечательна тем, что является единственной (нетривиальной) четной, унимодулярной решеткой с рангом меньше 16.

Простые субальгебры E8

Алгебра Ли E8 содержит в качестве субальгебр все исключительные алгебры Ли, а также многие другие важные алгебры Ли, используемые в математике и физике. Высота алгебры Ли на диаграмме приблизительно соответствует рангу этой алгебры. Линия, идущая от одной алгебры к другой, расположенной ниже, указывает, что нижняя алгебра является субальгеброй верхней алгебры.

Группы Chevalley типа E8

показал, что точки (расщепленной) алгебраической группы E8 (см. выше) над конечным полем с q элементами образуют конечную группу Шевалье, обычно записываемую как E8(q), которая проста для любого q и является одним из бесконечных семейств, рассматриваемых в классификации конечных простых групп. Число её элементов задается формулой:
Первый член этой последовательности, порядок E8(2), а именно ≈ 3.38, уже больше размера группы Монстра. Эта группа E8(2) является последней описанной (но без таблицы характеров) в ATLAS конечных групп. Мультипликатор Шура E8(q) тривиален, а её внешняя группа автоморфизмов совпадает с группой автоморфизмов поля (т.е. циклической порядка f, если q = pf, где p – простое число). описал унипотентные представления конечных групп типа E8.

Приложения

Группа Ли E8 находит применение в теоретической физике, и особенно в теории струн и супергравитации. E8×E8 является группой калибровки одного из двух типов гетеротических струн и одной из двух групп калибровки без аномалий, которые можно связать с супергравитацией N = 1 в десяти измерениях. E8 — группа U-дуальности супергравитации на восьми торах (в расщепленной форме). Один из способов включения Стандартной модели физики частиц в гетеротическую теорию струн — это нарушение симметрии E8 до её максимальной подалгебры SU(3)×E6. В 1982 году Майкл Фридман использовал решетку E8 для построения примера топологического 4-многообразия, многообразия E8, которое не имеет гладкой структуры. Антони Гарретт Лизи в своей незавершенной работе «Исключительно простая теория всего» пытается описать все известные фундаментальные взаимодействия в физике как часть алгебры Ли E8. В эксперименте сообщалось о наблюдении того, что электронные спины кристалла кобальта-ниобия демонстрировали, при определенных условиях, два из восьми пиков, связанных с E8, которые были предсказаны.

История

открыл сложную алгебру Ли E8 в ходе классификации простых компактных алгебр Ли, однако не доказал её существование, что впервые было показано Эли Картаном. Картан установил, что сложная простая алгебра Ли типа E8 допускает три вещественные формы. Каждая из них порождает простую группу Ли размерности 248, ровно одна из которых (как и для любой сложной простой алгебры Ли) является компактной. Были введены алгебраические группы и алгебры Ли типа E8 над другими полями: например, в случае конечных полей они приводят к бесконечному семейству конечных простых групп типа Ли. E8 продолжает оставаться областью активных фундаментальных исследований, проводимых проектом Atlas of Lie Groups and Representations, целью которого является определение унитарных представлений всех групп Ли.

Другие ссылки

Графическое представление корневой системы E8. Список размерностей неприводимых представлений комплексной формы E8 является последовательностью A121732 в OEIS.