Кіріспе
Ли тобы мен Ли алгебрасының бейнелеу теориясында, фундаментальды бейнелеу – жартылай қарапайым Ли тобының немесе Ли алгебрасының ең жоғары салмағы фундаментальды салмақ болатын, азайтылмайтын шекті өлшемді бейнелеу. Мысалы, классикалық Ли тобының анықтамалық модулі – фундаментальды бейнелеу болып табылады. Кез келген шекті өлшемді азайтылмайтын жартылай қарапайым Ли тобының немесе Ли алгебрасының бейнелеуін Эли Картанның әдісімен фундаментальды бейнелеулерден құруға болады. Осылайша, белгілі бір мағынада, фундаментальды бейнелеулер – кез келген шекті өлшемді бейнелеулердің элементарлық құрылыс блоктары болып саналады.
or Lie algebra whose highest weight is a fundamental weight. For example, the defining module of a classical Lie group is a fundamental representation. Any finite dimensional irreducible representation of a semisimple Lie group or Lie algebra can be constructed from the fundamental representations by a procedure due to Élie Cartan. Thus in a certain sense, the fundamental representations are the elementary building blocks for arbitrary finite dimensional representations.
Мысалдар
Жалпы сызықтық топ жағдайында барлық негізгі өкілдіктер анықтамалық модульдің сыртқы көбейтінділері болып табылады. SU(n) арнайы унитарлық топ жағдайында n − 1 негізгі өкілдіктер k = 1, 2, ..., n − 1 үшін ауыспалы тензорлардан құралған клиновидтік көбейтінділер болып табылады. Жіптік ортогональды топтың екі еселенген жабынының спиндік өкілдігі, жіптік спиндік топ, және жұп ортогональды топтың екі еселенген жабынының екі жарты спиндік өкілдігі, жұп спиндік топ – тензорлар кеңістігінде іске асырылмайтын негізгі өкілдіктер. Е8 типіндегі қарапайым Ли тобының қосымша өкілдігі – негізгі өкілдік.
Түсіндірме
Қарапайым байланысқан, компактты Ли тобының ирредуктибелді бейнелері олардың жоғарғы салмақтарымен индекстеледі. Бұл салмақтар, Ли тобының салмақ торларындағы доминантты интегралды салмақтардан тұратын Q+ квадрантындағы тор нүктелері болып табылады. Динкин диаграммасының төбелерімен индекстелген фундаменталды салмақтар жиыны бар екендігін дәлелдеуге болады, сонда кез келген доминантты интегралды салмақ – фундаменталды салмақтардың теріс емес бүтін сызықтық комбинациясы болады. Сәйкес ирредуктибелді бейнелер – Ли тобының фундаменталды бейнелері болып табылады. Фундаменталды бейнелердің сәйкес тензорлық көбейтіндісін алу үшін, доминантты салмақты фундаменталды салмақтар бойынша кеңейтуге болады, содан кейін осы доминантты салмаққа сәйкес келетін ирредуктибелді бейнелеудің бір көшірмесін бөліп алуға болады.
that there exists a set of fundamental weights, indexed by the vertices of the Dynkin diagram, such that any dominant integral weight is a non negative integer linear combination of the fundamental weights. The corresponding irreducible representations are the fundamental representations of the Lie group. From the expansion of a dominant weight in terms of the fundamental weights one can take a corresponding tensor product of the fundamental representations and extract one copy of the irreducible representation corresponding to that dominant weight.
Басқа қолданыстар
Лай теориясынан тыс, "фундаментальды бейнелеу" термині кейде ең кіші өлшемді адал бейнелеуді көрсету үшін қолданылады, бірақ оны көбінесе стандартты немесе анықтамалық бейнелеу деп атайды (бұл термин математикалық тұрғыдан нақты анықталғаннан гөрі, көбінесе тарихқа сілтеме жасайды).