Введение
В теории представлений групп Ли и алгебр Ли фундаментальное представление — это неприводимое конечномерное представление полупростой группы Ли или алгебры Ли, высший вес которого является фундаментальным весом. Например, определяющий модуль классической группы Ли является фундаментальным представлением. Любое конечномерное неприводимое представление полупростой группы Ли или алгебры Ли может быть построено из фундаментальных представлений с помощью процедуры, разработанной Эли Картаном. Таким образом, в определенном смысле фундаментальные представления являются элементарными строительными блоками для произвольных конечномерных представлений.
or Lie algebra whose highest weight is a fundamental weight. For example, the defining module of a classical Lie group is a fundamental representation. Any finite dimensional irreducible representation of a semisimple Lie group or Lie algebra can be constructed from the fundamental representations by a procedure due to Élie Cartan. Thus in a certain sense, the fundamental representations are the elementary building blocks for arbitrary finite dimensional representations.
Примеры
В случае общей линейной группы все фундаментальные представления являются внешними произведениями определяющего модуля. В случае специальной унитарной группы SU(n), n − 1 фундаментальных представлений являются внешними (клиновыми) произведениями, состоящими из антисимметричных тензоров, для k = 1, 2, ..., n − 1. Спинорное представление двойного накрытия нечётной ортогональной группы, нечётной спиновой группы, и два полуспинорных представления двойного накрытия чётной ортогональной группы, чётной спинорной группы, являются фундаментальными представлениями, которые нельзя реализовать в пространстве тензоров. Присоединённое представление простой группы Ли типа E8 является фундаментальным представлением.
Пояснение
Нередуцируемые представления простосвязной компактной группы Ли индексируются их старшими весами. Эти веса являются точками решетки в орланте Q+ в решетке весов группы Ли, состоящей из доминантных интегральных весов. Можно доказать, что существует набор фундаментальных весов, индексируемых вершинами диаграммы Динкина, таких что любой доминантный интегральный вес является неотрицательной целочисленной линейной комбинацией фундаментальных весов. Соответствующие нередуцируемые представления являются фундаментальными представлениями группы Ли. Из разложения доминантного веса по фундаментальным весам можно получить соответствующее тензорное произведение фундаментальных представлений и выделить из него одну копию нередуцируемого представления, соответствующего этому доминантному весу.
that there exists a set of fundamental weights, indexed by the vertices of the Dynkin diagram, such that any dominant integral weight is a non negative integer linear combination of the fundamental weights. The corresponding irreducible representations are the fundamental representations of the Lie group. From the expansion of a dominant weight in terms of the fundamental weights one can take a corresponding tensor product of the fundamental representations and extract one copy of the irreducible representation corresponding to that dominant weight.
Другие применения
Вне теории Ли, термин "фундаментальное представление" иногда в нестрогом смысле используется для обозначения наименьшего по размерности верного представления, хотя оно также часто называется стандартным или определяющим представлением (термин, который скорее отражает исторический контекст, чем имеет чёткое математическое определение).