Кіріспе
Функционалдық талдауда, Гильберт кеңістігі. Функционалдық талдауда (математиканың бір саласы) қайта жаңғыртылатын ядролық Гильберт кеңістігі (RKHS) – нүктелік бағалауы үздіксіз сызықтық функционал болатын функциялардың Гильберт кеңістігі. Шамамен айтқанда, егер екі функция және RKHS-де норма бойынша жақын болса, яғни жақын болса, онда және нүкте бойынша жақын болады, яғни барлық үшін жақын болады. Керісінше, бұл міндетті емес. Бұл туралы supremum нормасын қарастыру арқылы бейресми түрде көрсетуге болады: функциялар тізбегі нүкте бойынша жинақталады, бірақ біркелкі жинақталмайды, яғни supremum нормасына қатысты жинақталмайды. (Бұл қарсы мысал емес, себебі supremum нормасы параллелограмм заңы орындалмағандықтан ішкі көбейтімнен туындамайды.) Функциялардың RKHS емес Гильберт кеңістігін құру оңай емес. Дегенмен, кейбір мысалдар табылды. L2 кеңістіктері функциялардың Гильберт кеңістіктері емес (сондықтан RKHS емес), ал функциялардың эквиваленттілік кластарының Гильберт кеңістіктері (мысалы, және функциялары және L2-де анықталған эквивалентті). Алайда, нормасы L2 нормасы болатын RKHS кеңістіктері бар, мысалы, жолақты шектеулі функциялар кеңістігі (төмендегі мысалға қараңыз). RKHS кеңістіктегі әрбір функцияны қайта жаңғыртатын ядромен байланысты, яғни функциялар анықталған жиынның әрбір үшін "бағалау" ядромен анықталған функциямен ішкі көбейтімді алу арқылы жүзеге асырылуы мүмкін. Мұндай қайта жаңғырту ядросы бар, егер және тек егер әрбір бағалау функционалы үздіксіз болса. Қайта жаңғырту ядросы алғаш рет 1907 жылы Станислав Зарембаның гармониялық және бигармониялық функциялардың шекті мән есептеріне арналған еңбегінде енгізілді. Джеймс Мерсер интегралдық теңдеулер теориясында қайта жаңғырту қасиетін қанағаттандыратын функцияларды бір уақытта зерттеді. Көбейту ядросының идеясы Габор Сеге, Стефан Бергман және Соломон Бохнердің диссертацияларында пайда болғанға дейін шамамен жиырма жыл бойы қолданылмады. Бұл тақырыпты 1950-ші жылдардың басында Нахман Аронсхайн мен Стефан Бергман жүйелі түрде дамытты. Бұл кеңістіктердің қолданылуы кең, оның ішінде күрделі талдау, гармониялық талдау және кванттық механика. Ядролық Гильберт кеңістіктерін қайта жасау статистикалық оқыту теориясы саласында ерекше маңызды, себебі белгілі бір өкіл теоремасы бойынша RKHS-дегі әрбір функция эмпирикалық тәуекел функционалын азайтады және оны оқыту нүктелерінде бағаланған ядролық функцияның сызықтық комбинациясы ретінде жазуға болады. Бұл тәжірибеде пайдалы нәтиже, себебі ол эмпирикалық тәуекелді азайту мәселесін шексіз өлшемнен шекті өлшемді оптимизация мәселесіне тиімді түрде жеңілдетеді. Түсінуді жеңілдету үшін, біз нақты бағаланған Гильберт кеңістіктері үшін негізді ұсынамыз. Теорияны күрделі бағаланған функциялар кеңістіктеріне оңай кеңейтуге болады, сондықтан талдамалы функциялар кеңістіктері болып табылатын ядролық Гильберт кеңістіктерін қайта жасаудың көптеген маңызды мысалдарын қамтиды.
In functional analysis (a branch of mathematics), a reproducing kernel Hilbert space (RKHS) is a Hilbert space of functions in which point evaluation is a continuous linear functional. Roughly speaking, this means that if two functions and in the RKHS are close in norm, i. e., is small, then and are also pointwise close, i. e., is small for all The converse does not need to be true. Informally, this can be shown by looking at the supremum norm: the sequence of functions converges pointwise, but does not converge uniformly i. e. does not converge with respect to the supremum norm. (This is not a counterexample because the supremum norm does not arise from any inner product due to not satisfying the parallelogram law.) It is not entirely straightforward to construct a Hilbert space of functions which is not an RKHS. Some examples, however, have been found. L2 spaces are not Hilbert spaces of functions (and hence not RKHSs), but rather Hilbert spaces of equivalence classes of functions (for example, the functions and defined by and are equivalent in L2). However, there are RKHSs in which the norm is an L2 norm, such as the space of band limited functions (see the example below). An RKHS is associated with a kernel that reproduces every function in the space in the sense that for every in the set on which the functions are defined, "evaluation at " can be performed by taking an inner product with a function determined by the kernel. Such a reproducing kernel exists if and only if every evaluation functional is continuous. The reproducing kernel was first introduced in the 1907 work of Stanisław Zaremba concerning boundary value problems for harmonic and biharmonic functions. James Mercer simultaneously examined functions which satisfy the reproducing property in the theory of integral equations. The idea of the reproducing kernel remained untouched for nearly twenty years until it appeared in the dissertations of Gábor Szegő, Stefan Bergman, and Salomon Bochner. The subject was eventually systematically developed in the early 1950s by Nachman Aronszajn and Stefan Bergman. These spaces have wide applications, including complex analysis, harmonic analysis, and quantum mechanics. Reproducing kernel Hilbert spaces are particularly important in the field of statistical learning theory because of the celebrated representer theorem which states that every function in an RKHS that minimises an empirical risk functional can be written as a linear combination of the kernel function evaluated at the training points. This is a practically useful result as it effectively simplifies the empirical risk minimization problem from an infinite dimensional to a finite dimensional optimization problem. For ease of understanding, we provide the framework for real valued Hilbert spaces. The theory can be easily extended to spaces of complex valued functions and hence include the many important examples of reproducing kernel Hilbert spaces that are spaces of analytic functions.
Білік өзектер
Бұл ядроға сәйкес келетін RKHS – дуал кеңістік, ол жағдайды қанағаттандыратын функциялардан құралған.