Кіріспе

Геометриялық түрлендіру

Аффиндік геометрияда біркелкі масштабтау (немесе изотроптық масштабтау) – бұл нысандарды барлық бағытта бірдей масштаб коэффициентімен үлкейту (өсіру) немесе кішірейту (азайту) сызықтық түрлендіру. Біркелкі масштабтаудың нәтижесі түпнұсқаға геометриялық мағынада ұқсас болады. 1 масштаб коэффициентіне рұқсат ету қалыпты, сондықтан конгруэнтті пішіндер де ұқсас саналады. Біркелкі масштабтау, мысалы, суретті үлкейту немесе кішірейту кезінде, немесе ғимараттың, көліктің, ұшақтың сияқты модельдерін жасағанда кездеседі. Көбінесе әр ось бағыты үшін жеке масштаб коэффициентімен масштабтау қолданылады. Біртекті емес масштабтау (анизотроптық масштабтау) кем дегенде бір масштаб коэффициенті басқаларынан өзгеше болғанда қолданылады; ерекше жағдай – бағытталған масштабтау немесе созу (бір бағытта). Біртекті емес масштабтау нысанның пішінін өзгертеді; мысалы, шаршы тіктөртбұрышқа немесе егер шаршының қабырғалары масштабтау осьтеріне параллель болмаса, параллелограммға айналуы мүмкін (осьтерге параллель түзулер арасындағы бұрыштар сақталады, бірақ барлық бұрыштар емес). Мысалы, алыстағы жарнамалық стендті көлбеу бұрыштан қарағанда немесе жазық нысанның көлеңкесі оған параллель емес бетке түскенде осыған ұқсас эффекттер байқалады. Масштаб коэффициенті 1-ден үлкен болғанда (біркелкі немесе біртекті емес) масштабтау кейде кеңейту немесе үлкейту деп те аталады. Масштаб коэффициенті 1-ден кіші оң сан болса, масштабтау кейде қысқару немесе кішірейту деп те аталады. Ең жалпы мағынада, масштабтау масштабтау бағыттары перпендикуляр болмайтын жағдайды да қамтиды. Сондай-ақ, бір немесе бірнеше масштаб коэффициенттері нөлге тең (проекция) және бір немесе бірнеше теріс масштаб коэффициенттері (бағытталған масштабтау 1-ге тең шамасы бейнелеуге тең) жағдайларын да қамтиды. Масштабтау – сызықтық түрлендіру және гомотетикалық түрлендірудің ерекше жағдайы (бір нүктеге қатысты масштабтау). Көп жағдайларда гомотетикалық түрлендірулер сызықтық емес түрлендірулер болып табылады.

Бірыңғай масштабтау

Масштабтық фактор – әдетте, белгілі бір шаманы өзгертетін немесе көбейтетін ондық сан. y = Cx теңдеуінде C – x-тің масштабтық коэффициенті. C сондай-ақ x-тің коэффициенті болып табылады және оны y мен x арасындағы пропорционалдық константасы деп атауға болады. Мысалы, қашықтықты екі есе арттыру қашықтық үшін екі еселік масштабтық факторға сәйкес келеді, ал тортты екіге бөлу көлем үшін жарты масштабтық факторға алып келеді. Оның негізгі теңдеуі – бейне мен бастапқы бейне арақатынасы. Өлшемдер саласында құралдың масштабтық факторы кейде сезімталдық деп аталады. Екі ұқсас геометриялық фигурадағы кез келген екі сәйкес ұзындықтың қатынасы да масштаб деп аталады.

Кездейсоқ өлшемдердегі масштабтау

Өлшемдік кеңістікте біркелкі масштабтау фактормен скалярлық көбейту арқылы жүзеге асырылады, яғни әрбір нүктенің әрбір координатасын сол факторға көбейту арқылы. Сызықтық түрлендірудің ерекше жағдайы ретінде, бұл әрбір нүктені (бағандық вектор ретінде қарастырылғанда) диагональдық матрицамен көбейту арқылы да қол жеткізіледі, оның диагональдағы элементтерінің барлығы бірдей және сол факторға тең, атап айтқанда, . Біркелкі емес масштабтау кез келген симметриялық матрицамен көбейту арқылы жүзеге асырылады. Матрицаның өзіндік мәндері масштабтау факторлары болып табылады, ал сәйкес өзіндік векторлар – әрбір масштабтау факторы қолданылатын осьтер. Арнайы жағдай – диагональдық матрица, оның диагоналінде кез келген сандар болады: масштабтау осьтері координаттық осьтер болып табылады, ал түрлендіру әрбір ось бойымен сәйкес факторға масштабтайды. Нөлден өзгеше масштабтау факторы бар біркелкі масштабтауда, барлық нөлден өзгеше векторлар өз бағытын сақтайды (түбірден қарағанда), немесе масштабтау факторының таңбасына байланысты бағыты кері болады. Біркелкі емес масштабтауда тек өзіндік кеңістікке жататын векторлар ғана өз бағытын сақтайды. Әр түрлі өзіндік кеңістіктерге жататын екі немесе одан көп нөлден өзгеше векторлардың қосындысы болатын вектор ең үлкен өзіндік мәні бар өзіндік кеңістікке қарай бұрылады.

Ерекше жағдайлар

Егер , түрлендіру көлденең болады; егер , ол кеңейту, егер , ол қысқару. Егер , түрлендіру тік болады; егер ол кеңейту болса, егер , ол қысқару болады. Егер немесе болса, түрлендіру қысылу бейнелеуі болып табылады.