Равномерное и неоднородное масштабирование в геометрии

Введение

Геометрическое преобразование

В аффинной геометрии однородное масштабирование (или изотропное масштабирование) — это линейное преобразование, которое увеличивает (расширяет) или уменьшает (сжимает) объекты с коэффициентом масштаба, одинаковым во всех направлениях. Результат однородного масштабирования подобен (в геометрическом смысле) исходному объекту. Обычно допускается коэффициент масштаба, равный 1, поэтому конгруэнтные фигуры также классифицируются как подобные. Однородное масштабирование происходит, например, при увеличении или уменьшении фотографии, или при создании масштабной модели здания, автомобиля, самолета и т. д. Более общим случаем является масштабирование с отдельным коэффициентом масштаба для каждого направления оси. Неоднородное масштабирование (анизотропное масштабирование) возникает, когда хотя бы один из коэффициентов масштабирования отличается от остальных; частным случаем является направленное масштабирование или растяжение (в одном направлении). Неоднородное масштабирование изменяет форму объекта; например, квадрат может превратиться в прямоугольник или в параллелограмм, если стороны квадрата не параллельны осям масштабирования (углы между линиями, параллельными осям, сохраняются, но не все углы). Это происходит, например, при наблюдении за удаленной рекламной щитом под углом или при падении тени плоского объекта на поверхность, не параллельную ему. Когда коэффициент масштаба больше 1, масштабирование (однородное или неоднородное) иногда также называют расширением или увеличением. Когда коэффициент масштаба является положительным числом меньше 1, масштабирование иногда также называют сжатием или уменьшением. В самом общем смысле, масштабирование включает в себя случай, когда направления масштабирования не перпендикулярны. Оно также включает в себя случай, когда один или несколько коэффициентов масштабирования равны нулю (проекция), и случай одного или нескольких отрицательных коэффициентов масштабирования (направленное масштабирование с коэффициентом 1 эквивалентно отражению). Масштабирование — это линейное преобразование и частный случай гомотетического преобразования (масштабирование относительно точки). В большинстве случаев гомотетические преобразования являются нелинейными.

Однородное масштабирование

Фактор масштаба обычно представляет собой десятичное число, которое масштабирует, или умножает, некоторую величину. В уравнении y = Cx, C является фактором масштаба для x. C также является коэффициентом при x и может называться константой пропорциональности между y и x. Например, удвоение расстояний соответствует фактору масштаба, равному двум, для расстояния, а разрезание торта пополам приводит к кускам с фактором масштаба для объема, равному одной второй. Основное соотношение для него – отношение изображения к исходному объекту. В области измерений фактор масштаба прибора иногда называют чувствительностью. Отношение любых двух соответствующих длин в двух подобных геометрических фигурах также называется масштабом.

Масштабирование в произвольных измерениях

В пространстве размерности *n*, равномерное масштабирование с коэффициентом *k* достигается путем скалярного умножения на *k*, то есть умножения каждой координаты каждой точки на *k*. Как частный случай линейного преобразования, этого можно также достичь умножением каждой точки (рассматриваемой как вектор-столбец) на диагональную матрицу, элементы на главной диагонали которой равны *k*, а именно
Неравномерное масштабирование достигается умножением на любую симметричную матрицу. Собственные значения матрицы являются коэффициентами масштабирования, а соответствующие собственные векторы – осями, вдоль которых применяется каждый коэффициент масштабирования. Частным случаем является диагональная матрица с произвольными числами на главной диагонали: оси масштабирования тогда совпадают с координатными осями, а преобразование масштабирует вдоль каждой оси в *k* раз.
При равномерном масштабировании с ненулевым коэффициентом масштабирования все ненулевые векторы сохраняют свое направление (относительно начала координат) или все меняют направление на противоположное, в зависимости от знака коэффициента масштабирования. При неравномерном масштабировании только векторы, принадлежащие собственному подпространству, сохраняют свое направление. Вектор, являющийся суммой двух или более ненулевых векторов, принадлежащих разным собственным подпространствам, будет повернут в сторону собственного подпространства с наибольшим собственным значением.

Особые случаи

Если , преобразование горизонтальное; когда , это растяжение, когда , это сжатие. Если , преобразование вертикальное; когда , это растяжение, когда , это сжатие. Если или , преобразование является сжимающим отображением.