Кіріспе

Терминдердің қосындысы, әрқайсысы скалярға көбейтілген. Математикада сызықтық комбинация – бұл терминдер жиынынан, әрбір терминді тұрақты санға көбейтіп, сосын нәтижелерді қосу арқылы құрастырылған өрнек (мысалы, x және y-тің сызықтық комбинациясы ax + by түріндегі кез келген өрнек болады, мұнда a және b – тұрақты сандар). Сызықтық комбинациялар ұғымы сызықтық алгебра және математиканың осымен байланысты салаларындағы маңызды ұғым болып табылады. Осы мақаланың басым бөлігі векторлық кеңістіктегі өріс контекстіндегі сызықтық комбинацияларды қарастырады, ал мақала соңында кейбір жалпыламалар келтірілген.

Анықтама

V – K өрісіндегі векторлық кеңістік болсын. Әдеттегідей, V элементтерін векторлар, ал K элементтерін скалярлар деп атаймыз. Егер v1, …, vn векторлар болса және a1, …, an скалярлар болса, онда осы векторлардың осы скалярлармен коэффициенттері бар сызықтық комбинациясы былай болады:

«Сызықтық комбинация» терминінің қолданылуында, ол өрнекті ме, әлде оның мәнін ме білдіретіні туралы белгісіздік бар. Көп жағдайда мәнге баса назар аударылады, мысалы, «v1, …, vn векторларының барлық сызықтық комбинацияларының жиыны әрқашан субкеңістік құрайды» деген тұжырымда. Дегенмен, «екі түрлі сызықтық комбинация бірдей мәнге ие болуы мүмкін» деуге болады, мұндай жағдайда сілтеме өрнекке жасалады. Бұл қолданыстар арасындағы нәзік айырмашылық – сызықтық тәуелділік ұғымының мәні: F векторлар отбасы сызықтық тәуелсіз болады, егер F векторларының кез келген сызықтық комбинациясы (мәні ретінде) өрнек ретінде бірегей болса. Қандай жағдайда болмасын, тіпті өрнектер ретінде қарастырылғанда да, сызықтық комбинацияда маңызды нәрсе – әр vi-нің коэффициенті; мүшелерді орналастыру немесе нөлдік коэффициенті бар мүшелерді қосу сияқты ұсақ өзгерістер ерекше сызықтық комбинацияларды тудырмайды. Нақты жағдайда K және V нақты көрсетілуі мүмкін, немесе олар контекстен түсінікті болуы мүмкін. Мұндай жағдайда біз v1, …, vn векторларының сызықтық комбинациясы туралы айтамыз, оның коэффициенттері көрсетілмейді (бірақ олар K-ға тиесілі болуы керек). Немесе, егер S – V жиынының ішкі жиыны болса, онда S жиынындағы векторлардың сызықтық комбинациясы туралы айтуға болады, онда коэффициенттер де, векторлар да көрсетілмейді, тек векторлар S жиынына тиесілі болуы керек (ал коэффициенттер K-ға тиесілі болуы керек). Соңында, біз жай ғана сызықтық комбинация туралы айтуымыз мүмкін, онда ештеңе көрсетілмейді (тек векторлар V-ге, ал коэффициенттер K-ға тиесілі болуы керек); мұндай жағдайда, біз өрнек туралы айтып отырмыз, өйткені V-дегі әрбір вектор әлбетте қандай да бір сызықтық комбинацияның мәні болып табылады. Сызықтық комбинация тек шекті сандағы векторларды қамтиды екенін ескеріңіз (төмендегі Жалпыламалар бөлімінде сипатталған жағдайларды қоспағанда). Дегенмен, векторлар алынған S жиыны (егер ол аталса) шексіз болуы мүмкін; әрбір жеке сызықтық комбинация тек шекті сандағы векторларды қамтиды. Сондай-ақ, n нөлге тең болуының қажеті жоқ; мұндай жағдайда, сызықтық комбинацияның нәтижесі V-дегі нөлдік вектор болады деп келісім бойынша жариялаймыз.

Сызықтық арақашықтық

K кездейсоқ өрісін, V кездейсоқ векторлық кеңістікті алайық, және v1, ..., vn векторлар болсын (V-де). Осы векторлардың барлық сызықтық комбинацияларының жиынтығын қарастыру қызықты. Бұл жиынтық векторлардың сызықтық кеңеюі (немесе жай ғана кеңеюі) деп аталады, мысалы S = {v1, ..., vn}. S-тің кеңеюін span(S) немесе sp(S) деп жазамыз:

Операд теориясы

Абстрактілірек, операд теориясының тілінде векторлық кеңістіктерді операдтың алгебрасы деп қарастыруға болады (шексіз тікелей сома, сондықтан тек шекті сандағы мүшелер нөлден өзгеше; бұл тек шекті қосындыларды алуға сәйкес келеді), ол сызықтық комбинацияларды параметризациялайды: мысалы, вектор сызықтық комбинацияға сәйкес келеді. Сол сияқты, аффиндік комбинацияларды, конустық комбинацияларды және дөңгелек комбинацияларды 1-ге тең мүшелердің қосындысын беретін, барлық мүшелері теріс емес немесе екеуі де бірдей болатын субоперадтарға сәйкес деп қарастыруға болады. Графикалық тұрғыдан алғанда, бұл шексіз аффинді гипержазықтық, шексіз гипер октант және шексіз симплекс болып табылады. Бұл түсінікті формалдайды, яғни неліктен стандартты симплекс модельдік кеңістік болып табылады, сондай-ақ әрбір шектелген дөңгелек политоп симплекстің бейнесі болып табылатыны сияқты байқауларды да. Мұнда субоперадтар шектеулі операцияларға, демек, жалпы теорияларға сәйкес келеді. Осы көзқарас бойынша, сызықтық комбинацияларды векторлық кеңістіктегі операциялардың ең жалпы түрі деп қарастыруға болады – векторлық кеңістіктің сызықтық комбинациялар операды бойынша алгебра екенін айту, векторлық кеңістіктегі барлық мүмкін алгебралық операциялар сызықтық комбинациялар екендігін білдіреді. Қосу және скалярлық көбейтудің негізгі операциялары, сондай-ақ аддитивті бірлік пен аддитивті керілердің болуын жалпы сызықтық комбинациядан гөрі күрделірек жолмен біріктіруге болмайды: негізгі операциялар барлық сызықтық комбинациялар операды үшін туынды жиынтық болып табылады. Нәтижесінде, осы факті векторлық кеңістіктерді зерттеуде сызықтық комбинациялардың пайдалылығының түйінді нүктесі болып табылады.

Қолдану

Сызықтық комбинациялардың маңызды қолданысы кванттық механикадағы толқындық функциялар болып табылады.