Введение

Сумма слагаемых, каждое из которых умножено на скаляр. В математике линейная комбинация — это выражение, построенное из набора слагаемых путем умножения каждого слагаемого на константу и суммирования результатов (например, линейная комбинация x и y — это любое выражение вида ax + by, где a и b — константы). Понятие линейной комбинации является ключевым в линейной алгебре и смежных областях математики. Большая часть данной статьи посвящена линейным комбинациям в контексте векторного пространства над полем, с некоторыми обобщениями, представленными в конце статьи.

Определение

Пусть V — векторное пространство над полем K. Как обычно, элементы V называются векторами, а элементы K — скалярами. Если v₁, …, vₙ — векторы, а a₁, …, aₙ — скаляры, то линейная комбинация этих векторов с этими скалярами в качестве коэффициентов есть

В использовании термина «линейная комбинация» существует некоторая неоднозначность относительно того, относится ли он к выражению или к его значению. В большинстве случаев подчеркивается значение, как в утверждении «множество всех линейных комбинаций v₁, …, vₙ всегда образует подпространство». Однако можно также сказать, что «две различные линейные комбинации могут иметь одно и то же значение», в этом случае речь идет об выражении. Тонкое различие между этими употреблениями является сутью понятия линейной независимости: семейство F векторов линейно независимо тогда и только тогда, когда любая линейная комбинация векторов в F (как значение) однозначно определяется (как выражение). В любом случае, даже если рассматривать как выражения, в линейной комбинации имеет значение только коэффициент каждого vᵢ; тривиальные модификации, такие как перестановка слагаемых или добавление слагаемых с нулевым коэффициентом, не приводят к различным линейным комбинациям. В конкретной ситуации K и V могут быть указаны явно или быть очевидными из контекста. В этом случае мы часто говорим о линейной комбинации векторов v₁, …, vₙ с неуказанными коэффициентами (кроме того, что они должны принадлежать K). Или, если S — подмножество V, мы можем говорить о линейной комбинации векторов в S, где как коэффициенты, так и векторы не определены, за исключением того, что векторы должны принадлежать множеству S (а коэффициенты — K). Наконец, мы можем говорить просто о линейной комбинации, где ничего не указано (кроме того, что векторы должны принадлежать V, а коэффициенты — K); в этом случае, вероятно, имеется в виду выражение, поскольку каждый вектор в V, безусловно, является значением некоторой линейной комбинации. Следует отметить, что по определению линейная комбинация включает только конечное число векторов (за исключением обобщений, описанных ниже). Однако множество S, из которого берутся векторы (если оно упоминается), все равно может быть бесконечным; каждая отдельная линейная комбинация будет включать только конечное число векторов. Кроме того, нет оснований полагать, что n не может быть равно нулю; в этом случае по соглашению результат линейной комбинации — нулевой вектор в V.

Линейный пролет

Возьмем произвольное поле K, произвольное векторное пространство V и векторы v1, ..., vn (в V). Интересно рассмотреть множество всех линейных комбинаций этих векторов. Это множество называется линейной оболочкой (или просто оболочкой) векторов, обозначим его S = {v1, ..., vn}. Мы записываем линейную оболочку S как span(S) или sp(S).

Теория опер

Более абстрактно, на языке теории операд, можно рассматривать векторные пространства как алгебры над операдой (бесконечная прямая сумма, поэтому только конечное число слагаемых отлично от нуля; это соответствует рассмотрению только конечных сумм), которая параметризует линейные комбинации: вектор, например, соответствует линейной комбинации. Аналогично, аффинные, конические и выпуклые комбинации можно рассматривать как соответствующие подоперадам, в которых сумма слагаемых равна 1, все слагаемые неотрицательны или оба условия выполняются одновременно, соответственно. Графически это бесконечная аффинная гиперплоскость, бесконечный гипероктант и бесконечный симплекс. Это формализует понимание того, что "быть" или стандартный симплекс являются модельными пространствами, а также такие наблюдения, как то, что любой ограниченный выпуклый политоп является образом симплекса. Здесь подоперады соответствуют более ограниченным операциям и, следовательно, более общим теориям. С этой точки зрения, мы можем рассматривать линейные комбинации как наиболее общий вид операций над векторным пространством – утверждение о том, что векторное пространство является алгеброй над операдой линейных комбинаций, эквивалентно утверждению, что все возможные алгебраические операции в векторном пространстве являются линейными комбинациями. Базовые операции сложения и умножения на скаляр, вместе с существованием аддитивного нейтрального элемента и аддитивных обратных элементов, не могут быть объединены более сложным образом, чем общая линейная комбинация: базовые операции образуют образующий набор для операды всех линейных комбинаций. В конечном счете, этот факт лежит в основе полезности линейных комбинаций при изучении векторных пространств.

Применение

Важным применением линейных комбинаций является использование волновых функций в квантовой механике.