Кіріспе

Екінің дәрежесіне ие бөлшегі бар бөлшек

Математикада, диадтық рационал немесе екілік рационал – бұл бөлшек, оның бөлімі екінің дәрежесі болып табылады. Мысалы, 1/2, 3/2 және 3/8 – диадтық рационалдар, ал 1/3 – емес. Бұл сандар компьютерлік ғылымда маңызды, себебі олардың барлығында ақырлы екілік өрнек бар. Диадтық рационалдар салмақтар мен өлшемдерде, музыкалық өлшемдерде және математиканың бастапқы білімінде де қолданылады. Олар кез келген нақты санды дәл жақындата алады. Кез келген екі диадтық рационал санның қосындысы, айырмасы немесе көбейтіндісі – қарапайым формуламен берілген тағы бір диадтық рационал сан болып табылады. Дегенмен, бір диадтық рационал санды екіншісіне бөлгенде әрқашан диадтық рационал нәтиже шыға бермейді. Математикалық тұрғыдан алғанда, бұл диадтық рационал сандар бүтін сандар сақинасы мен рационал сандар өрісі арасында орналасқан сақина құрайды дегенді білдіреді. Бұл сақины жоғары математикада диадтық соленоид, Минковскийдің сұрақ белгісі функциясы, Добеши толқындары, Томпсон тобы, Пруфер 2 тобы, сюрреалистік сандар және қосылатын сандар құралымдарында қолданылады. Бұл сандар рационал сандарға рет бойынша изоморфты; олар 2-адик сандардың, сондай-ақ нақты сандардың кіші жүйесін құрайды және 2-адик сандардың бөлшек бөліктерін көрсете алады. Кері математикада математикалық талдауды формалдау үшін натурал сандардан диадтық рационалдарға дейінгі функциялар пайдаланылған.

Өлшем бойынша

Салмақ пен өлшемдердің көптеген дәстүрлі жүйелері қайта-қайта екіге бөлу идеясына негізделген, бұл бірліктердің бөлшек мөлшерлерін өлшегенде екілік рационалды сандарды тудырады. Дюйм әдетте ондық бөлініс емес, екілік рационалды сандарға бөлінеді. Галлонды жарты галлонға, квартқа, пинтаға және кесеге бөлу де екілік принцип бойынша жүзеге асырылады. Ежелгі египеттіктер өлшеуде 64-ке дейінгі бөлімдерді қолдана отырып, екілік рационалды сандарды пайдаланған. Сол сияқты, Инд өркениетінің салмақ жүйелері көбінесе қайталанған екіге бөлуге негізделген; антрополог Хизер М. Л. Миллер: "Екіге бөлу – бұл сәулелі таразыларда орындауға салыстырмалы түрде оңай операция, сондықтан осы кезеңдегі көптеген салмақ жүйелері екілік жүйелерді қолданған".

Есептеу саласында

Диадикалық рационалдар компьютерлік ғылымда көптеген компьютерлер тікелей өңдей алатын бөлшек сан түрі ретінде орталық рөл атқарады. Атап айтқанда, компьютерлерде қолданылатын дерек түрі ретінде, қозғалатын нүктелі сандар көбінесе оң немесе теріс екілік дәрежелерге көбейтілген бүтін сандар ретінде анықталады. IEEE қозғалатын нүктелі дерек типтері сияқты, қозғалатын нүктелі форматта дәл көрсетілетін сандар оның көрсетіліміне жататын сандар деп аталады. Көптеген қозғалатын нүктелі көрсетулер үшін көрсетіліміне жататын сандар диадикалық рационалдардың ішкі жиыны болып табылады. Бұл тұрақты нүктелі дерек типтері үшін де дұрыс, олар көп жағдайда екілік дәрежелерді жасырын түрде пайдаланады. Диадикалық рационалдармен есептеудің қарапайымдығының арқасында, олар интервалдық арифметиканы қолдана отырып, нақты сандық есептеулер үшін де қолданылады және есептеуге болатын сандардың кейбір теориялық модельдерінің негізі болып табылады. Кездейсоқ биттерден кездейсоқ айнымалыны белгілі бір уақыт ішінде жасау, айнымалының шекті сандары болғанда ғана мүмкін, олардың ықтималдығы барлық диадикалық рационал сандарға тең. Егер ықтималдықтары диадикалық емес кездейсоқ айнымалылар үшін, олардың ықтималдықтарын диадикалық рационалдармен жуықтау немесе уақыты өзі кездейсоқ және шексіз болатын кездейсоқ генерациялау процесін пайдалану қажет.

Музыка саласында

Батыс музыка жазбасындағы уақыт өлшемдері дәстүрлі түрде бөлшектерге ұқсас түрде жазылады (мысалы: , , немесе), бірақ егер уақыт өлшемі оның таяқшасынан бөлек жазылса, жоғары және төменгі сандарды бөлетін музыкалық таяқшаның көлденең сызығы көбінесе жіберіліп қалады. Бөлшек ретінде олар көбінесе екілік болады, бірақ екілік емес уақыт өлшемдері де қолданылған. Уақыт өлшемінің сандық мәні, бөлшек ретінде түсіндірілгенде, бір толық нотаның үлесі ретінде өлшемнің ұзындығын көрсетеді. Оның жоғарғы саны бір өлшемдегі соққылардың санын, ал төменгі саны әр соққының ұзақтығын көрсетеді.

Математика білім беруінде

Жан Пиаже еңбектеріне негізделген балалық даму теорияларында, жартылайлау және қайта-қайта жартылайлау арқылы туындайтын бөлшектер, бөлшектер ұғымының дамуының ең алғашқы түрлерінің бірі болып табылады. Бөлшектер ұғымының дамуының бұл сатысы "алгоритмдік жартылау" деп аталады. Осы сандарды қосу және алу бүтін сандарды екі еселеу, жартылайлау, қосу және алу қадамдары арқылы жүзеге асырылуы мүмкін. Ал, көбірек тараған бөлшектерді қосу және алу үшін ортақ бөлімге жету үшін бүтін сандарды көбейту және оларды жасай білу қажет. Сондықтан, студенттерге диадтық бөлшектерді, жалпылама бөлшектерге қарағанда есептеу оңайырақ болуы мүмкін.

Қосымша қасиеттері

Кез келген бүтін сан және кез келген жарты бүтін сан – диадтық рационал сан болып табылады. Олардың екеуі де екінің дәрежесіне бөлінген бүтін сан ретінде берілуі мүмкін: кез келген бүтін сан – бірге (екінің нөлдік дәрежесі) бөлінген бүтін сан, ал кез келген жарты бүтін сан – екіге бөлінген бүтін сан. Кез келген нақты санды диадтық рационалдармен кез келген дәлдікпен жуықтауға болады. Атап айтқанда, нақты сан үшін , аргументін төменге қарай дөңгелектейтін еден функциясын білдіретін , түріндегі диадтық рационалдарды қарастырайық. Бұл сандар санды төменнен , қателігімен жуықтайды, мұндағы қателік кез келген қалағаннан кіші болуы мүмкін, егер болатын мәні жеткілікті үлкен болса. Нақты сандардың фракталды жиыны үшін бұл қателік шегі оптимал шешімнен тұрақты еселік ерекшеленеді: бұл сандар үшін тұрақты еселігінен кіші қателікпен жуықтау мүмкін емес. Дәл диадтық жуықтамалардың болуын осылай түсіндіруге болады: барлық диадтық рационалдар жиыны нақты сандар түзуінде тығыз. Керісінше, бұл жиын біркелкі тығыз, яғни, белгілі бір бөлімі бар диадтық рационалдар нақты сандар түзуінде біркелкі орналасқан. Диадтық рационалдар – соңғы екілік өрнеуі бар сандар. Олардың екілік өрнеуі бірегей емес; 0-ден басқа әр диадтық рационал үшін бір соңғы және бір шексіз өрнеу бар (соңғы 0-ді ескермеу). Мысалы, 0.112 = 0.10111 2, бұл 3/4 санының екі түрлі өрнеуін көрсетеді. Диадтық рационалдар – екілік өрнеуі бірегей емес жалғыз сандар.

Алгебралық құрылым

Олар қосу, алу және көбейту операциялары бойынша жабық болғандықтан, бірақ бөлуге жабық болмағандықтан, диадикалық рационалдар сақина болып табылады, бірақ өріс емес. Диадикалық рационалдар сақинасын , яғни оны бүтін коэффициенттері бар полиномдарды 1/2 аргументі бойынша есептеу арқылы жасауға болады. Рационал сандар сақинасы ретінде, диадикалық рационалдар рационал сандардың ішкі сақинасы және бүтін сандардың үстінен сақина болып табылады. Алгебралық тұрғыдан алғанда, бұл сақина – екінің дәрежелі санына қатысты бүтін сандардың локализациясы. Нақты сандардың ішкі сақинасын құрумен қатар, диадикалық рационалдар 2-адик сандардың ішкі сақинасын құрайды, бұл сандар жүйесі бинарлық үтірден оңға шекті, бірақ солға шексіз созылатын бинарлық өрнектерден анықталады. 2-адик сандарға тек диадикалық рационалдар ғана емес, барлық рационал сандар да кіреді. Диадикалық рационалдарды 2-адик сандарға енгізу диадикалық рационалдардың арифметикасын өзгертпейді, бірақ оларға нақты сандардың ішкі сақинасы ретінде басқа топологиялық құрылым береді. Нақты сандардағыдай, диадикалық рационалдар 2-адик сандардың тығыз ішкі жиынын құрайды және шекті бинарлық кеңейтулері бар 2-адик сандар жиыны болып табылады. Кез келген 2-адик санды 2-адик бүтін сан мен диадикалық рационалдың қосындысына жіктеуге болады; осы мағынада диадикалық рационалдар 2-адик сандардың бөлшек бөліктерін көрсете алады, бірақ бұл жіктеу бірегей емес. Диадикалық рационалдардың модуль 1 бойынша қосындысы (диадикалық рационалдардың бүтін сандар бойынша факторлық тобы) Прюфердің 2-тобын құрайды.

Диадикалық соленоид

Диадикалық рационалдардың тек қосу және алу амалдарын қарастыру оларға аддитивті абельдік топ құрылымын береді. Понтрагиннің дуалдығы – дуалдық топтар құру арқылы абельдік топтарды түсіну әдісі болып табылады, оның элементтері – бастапқы топтың мінездемелері, кешенді сандардың көбейту тобына бағытталған топтық гомоморфизмдер, ал дуалдық топтың амалы – нүктелік көбейту. Осылайша құрылған аддитивті диадикалық рационалдардың дуалдық тобы да топологиялық топ ретінде қарастырылуы мүмкін. Ол диадикалық соленоид деп аталады және нақты сандар мен 2-адық сандардың топологиялық көбейтіндісіне изоморфты, бұл көбейтіндіге диадикалық рационалдардың диагональдық енуі арқылы бөлінген. Бұл проторус, соленоид және ажыратылмайтын континуумның мысалы болып табылады.

Диадикалық рационалдар ерекшеленген нүктелер ретінде функциялар

Олар нақты сандардың тығыз ішкі жиыны болғандықтан, сандық ретімен диадтық рационалдар тығыз рет құрайды. Кантордың изоморфизм теоремасы бойынша, кез келген екі шексіз саналатын тығыз сызықтық реттер сияқты, диадтық рационалдар рационал сандарға рет бойынша изоморфты. Бұл жағдайда Минковскийдің сұрақ белгісі функциясы барлық рационал сандар жиыны мен диадтық рационалдар жиыны арасында ретті сақтайтын биекцияны қамтамасыз етеді. Диадтық рационалдар Даубехи толқындарының талдауында маңызды рөл атқарады, себебі олар осы толқындардың масштабтау функциясы тегіс емес болатын нүктелер жиыны болып табылады. Сол сияқты, диадтық рационалдар Хенон картасының параметрлік кеңістігіндегі тұрақты және тұрақсыз нүктелер арасындағы шекарадағы үзілістерді параметризациялайды. Бірлік аралығынан өзіне дейін 2-ге жуық еңіспен және диадтық рационал бөліну нүктелерімен анықталатын бөлшектік сызықтық гомеоморфизмдер жиыны функциялық композиция бойынша топты құрайды. Бұл Томпсон тобы, шексіз, бірақ ақырлы түрде берілген қарапайым топтың алғашқы белгілі мысалы. Осы топты тамырланған екілік ағаштардағы немесе бірлік аралығындағы диадтық рационалдарға қатысты әрекеттер арқылы да көрсетуге болады.

Басқа да байланысты құрылыстар

Кері математикада нақты сандарды құрудың бір жолы – оларды бірлік сандардан диадтық рационалдарға дейінгі функция ретінде бейнелеу, мұнда аргумент үшін осы функциялардың бірінің мәні берілген нақты санға жуықтайтын белгісімен диадтық рационал болып табылады. Нақты сандарды осылай анықтау математикалық талдаудың көптеген негізгі нәтижелерін "іске асырылатын талдау" (BTFA) деп аталатын екінші реттік арифметиканың шектеулі теориясы шеңберінде дәлелдеуге мүмкіндік береді. Сюрреалистік сандар барлық шекті диадтық рационалдарды құрудан басталатын қайталанатын құрылыс принципімен құрылады, содан кейін шексіз, инфинитезимальды және басқа да жаңа, ерекше сандарды жасайды. Бұл сандар жүйесі комбинаторлық ойын теориясының негізі болып табылады, ал диадтық рационалдар осы теорияда белгілі бір комбинаторлық ойындардың мәндер жиынтығы ретінде табиғи түрде пайда болады. Фузибелді сандар – диадтық рационалдардың ішкі жиыны, операция бойынша жиынтықтың жабылуы , жұптарға шектелген. Олар жақсы реттелген, реттелу түрі епсилон санына тең. Кез келген бүтін сан үшін, одан үлкен ең кішкентай фузибелді сан формасында болады. -ның әр мәні үшін -ның болуын Пеано арифметикасында дәлелдеу мүмкін емес, және -ның функция ретінде өте жылдам өседі, сондықтан ол (үлкен сандарды белгілеу үшін Кнуттың жоғары бағытталған жебе нотациясында) қазірдің өзінде үлкен. Урисон леммасының дәлелі әдетте леммадан ажырату функциясын құру үшін диадтық бөлшектерді пайдаланады.