Введение

Дробь со знаменателем, являющимся степенью двойки

В математике, диадическая рациональная или бинарная рациональная дробь — это число, которое можно представить в виде дроби, знаменатель которой является степенью двойки. Например, 1/2, 3/2 и 3/8 являются диадическими рациональными дробями, а 1/3 — нет. Эти числа важны в информатике, поскольку они единственные, имеющие конечные двоичные представления. Диадические рациональные дроби также находят применение в системах мер и весов, музыкальных размерах и начальном математическом образовании. Они могут точно аппроксимировать любое действительное число. Сумма, разность или произведение любых двух диадических рациональных дробей — это другая диадическая рациональная дробь, определяемая простой формулой. Однако деление одной диадической рациональной дроби на другую не всегда даёт диадическую рациональную дробь в результате. Математически это означает, что диадические рациональные дроби образуют кольцо, лежащее между кольцом целых чисел и полем рациональных чисел. Это кольцо может быть обозначено. В продвинутой математике диадические рациональные дроби играют центральную роль в построении диадического соленоида, функции вопросительного знака Минковского, вейвлетов Даубеши, группы Томпсона, группы Прюфера 2, сюрреальных чисел и чисел, допускающих сложение. Эти числа порядково изоморфны рациональным числам; они образуют подсистему 2-адических чисел, а также действительных чисел и могут представлять дробные части 2-адических чисел. Функции из натуральных чисел в диадические рациональные дроби использовались для формализации математического анализа в обратной математике.

В измерении

Многие традиционные системы мер веса и объёма основаны на идее повторного деления пополам, что приводит к диадическим рациональным числам при измерении дробных частей единиц. Дюйм обычно подразделяется на диадические рациональные дроби, а не использует десятичное деление. Традиционное деление галлона на полгаллона, кварты, пинты и чашки также является диадическим. Древние египтяне использовали диадические рациональные числа в измерениях со знаменателями до 64. Аналогично, системы мер веса цивилизации долины Инда в основном основаны на повторном делении пополам; антрополог Хизер М. Л. Миллер пишет, что "деление пополам – относительно простая операция при использовании весов с чашами, что, вероятно, объясняет, почему так много систем мер веса того периода использовали двоичные системы".

В вычислительной технике

Диадические рациональные числа играют центральную роль в информатике как тип дробных чисел, с которыми многие компьютеры могут работать напрямую. В частности, числа с плавающей точкой, как тип данных, используемый компьютерами, часто определяются как целые числа, умноженные на положительные или отрицательные степени двойки. Числа, которые могут быть точно представлены в формате с плавающей точкой, например, типы данных IEEE, называются представимыми числами этого формата. Для большинства представлений с плавающей точкой представимые числа являются подмножеством диадических рациональных чисел. То же справедливо и для типов данных с фиксированной точкой, которые также в большинстве случаев неявно используют степени двойки. Благодаря простоте вычислений с диадическими рациональными числами, они также применяются для точных вычислений с вещественными числами с использованием интервальной арифметики и являются основой некоторых теоретических моделей вычислимых чисел. Генерация случайной величины из случайных битов за фиксированное время возможна только в том случае, если у величины конечное число исходов, вероятности которых являются диадическими рациональными числами. Для случайных величин, вероятности которых не являются диадическими, необходимо либо аппроксимировать их вероятности диадическими рациональными числами, либо использовать процесс случайной генерации, время которого само по себе случайно и не ограничено.

В музыке

Тайм-сигнатуры в западной музыкальной нотации традиционно записываются в форме, напоминающей дроби (например: , , или ), хотя горизонтальная линия нотного стана, разделяющая числитель и знаменатель, обычно опускается при записи тайм-сигнатуры отдельно от стана. Как дроби, они чаще всего являются двудольными, хотя использовались и недвудольные тайм-сигнатуры. Численное значение тайм-сигнатуры, рассматриваемое как дробь, определяет длину такта как часть целой ноты. Числитель указывает количество долей в такте, а знаменатель – длительность каждой доли.

В математическом образовании

В теориях развития у детей концепции дроби, основанной на работах Жана Пиаже, дроби, возникающие при делении пополам и повторном делении пополам, относятся к одним из самых ранних форм понимания дробей. Эта стадия развития концепции дробей получила название "алгоритмическое деление пополам". Сложение и вычитание этих чисел можно выполнять поэтапно, используя только удвоение, деление пополам, сложение и вычитание целых чисел. В отличие от этого, сложение и вычитание более общих дробей требует целочисленного умножения и разложения на множители для приведения к общему знаменателю. Следовательно, учащимся может быть проще вычислять диические дроби, чем более общие дроби.

Дополнительные свойства

Каждое целое число и каждое число, равное целому числу плюс одна вторая, является диадической рациональной дробью. Оба они удовлетворяют определению – целое число, деленное на степень двойки: каждое целое число делится на единицу (двойка в нулевой степени), а каждое число, равное целому числу плюс одна вторая, делится на два. Каждое действительное число может быть сколь угодно точно приближено диадическими рациональными дробями. В частности, для действительного числа *x*, рассмотрим диадические рациональные дроби вида *n*/2<sup>*k*</sup>, где *n* – любое целое число, а ⌊*x*⌋ обозначает функцию взятия целой части, округляющую аргумент вниз до ближайшего целого числа. Эти числа приближают *x* снизу с точностью до *x* - *n*/2<sup>*k*</sup>, которую можно сделать сколь угодно малой, выбирая *k* достаточно большим. Для фрактального подмножества действительных чисел эта погрешность ограничена постоянным множителем оптимального значения: для этих чисел не существует приближения с погрешностью, меньшей чем константа, умноженная на эту погрешность. Существование точных диадических приближений можно выразить утверждением, что множество всех диадических рациональных дробей плотно на числовой прямой. Более того, это множество равномерно плотно, в том смысле, что диадические рациональные дроби со знаменателем 2<sup>*k*</sup> равномерно распределены на числовой прямой. Диадические рациональные дроби – это именно те числа, которые имеют конечные двоичные представления. Их двоичные представления не являются однозначными; для каждой диадической рациональной дроби, отличной от нуля (не учитывая конечные нули), существует одно конечное и одно бесконечное представление. Например, 0.11<sub>2</sub> = 0.10111…<sub>2</sub>, что дает два различных представления для 3/4. Диадические рациональные дроби – единственные числа, двоичные представления которых не являются однозначными.

Алгебраическая структура

Поскольку они замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения, но не деления, диадические рациональные числа являются кольцом, но не полем. Кольцо диадических рациональных чисел может быть обозначено , что означает, что оно может быть порождено вычислением значений многочленов с целыми коэффициентами в точке 1/2. Как кольцо, диадические рациональные числа являются подкольцом рациональных чисел и надкольцом целых чисел. Алгебраически, это кольцо является локализацией целых чисел по множеству степеней двойки. Помимо того, что они являются подкольцом вещественных чисел, диадические рациональные числа образуют подкольцо 2-адических чисел – системы чисел, которая может быть определена через двоичные представления, конечные справа от двоичной точки, но простирающиеся бесконечно влево. 2-адические числа включают все рациональные числа, а не только диадические рациональные числа. Вложение диадических рациональных чисел в 2-адические числа не изменяет арифметику диадических рациональных чисел, но придает им иную топологическую структуру, чем в случае подмножества вещественных чисел. Как и в вещественных числах, диадические рациональные числа образуют плотное подмножество 2-адических чисел и являются множеством 2-адических чисел с конечным двоичным разложением. Каждое 2-адическое число можно разложить в сумму 2-адического целого числа и диадического рационального числа; в этом смысле диадические рациональные числа могут представлять дробные части 2-адических чисел, но это разложение не является единственным. Добавление диадических рациональных чисел по модулю 1 (факторгруппа диадических рациональных чисел по целым числам) образует группу Пруфера 2.

Диадический соленоид

Рассматривая только операции сложения и вычитания диадических рациональных чисел, мы получаем структуру аддитивной абелевой группы. Двойственность Понтрягина — это метод изучения абелевых групп посредством построения двойственных групп, элементами которых являются характеры исходной группы, то есть групповые гомоморфизмы в мультипликативную группу комплексных чисел, с поточечным умножением в качестве операции в двойственной группе. Двойственная группа аддитивных диадических рациональных чисел, построенная таким образом, также может рассматриваться как топологическая группа. Она называется диадическим соленоидом и изоморфна топологическому произведению действительных и 2-адических чисел, факторному по диагональному вложению диадических рациональных чисел в это произведение. Это пример протора, соленоида и неразложимого континуума.

Функции с диадными рациональными как выделенными точками

Поскольку они являются плотным подмножеством действительных чисел, диадические рациональные числа, вместе со своим числовым порядком, образуют плотный порядок. Как и в случае любых двух неограниченных счетных плотных линейных порядков, согласно теореме об изоморфизме Кантора, диадические рациональные числа изоморфны рациональным числам с точки зрения порядка. В этом случае функция Минковского вопросительного знака обеспечивает биекцию, сохраняющую порядок, между множеством всех рациональных чисел и множеством диадических рациональных чисел. Диадические рациональные числа играют ключевую роль в анализе вейвлетов Даубеши, поскольку они представляют собой множество точек, в которых масштабирующая функция этих вейвлетов не является гладкой. Аналогично, диадические рациональные числа параметризуют разрывы на границе между устойчивыми и неустойчивыми точками в пространстве параметров отображения Генона. Множество кусочно-линейных гомеоморфизмов от единичного интервала на себя, имеющих наклоны, являющиеся степенями двойки, и диадические рациональные точки разрыва, образует группу относительно операции композиции функций. Это группа Томпсона, первый известный пример бесконечной, но конечно представленной простой группы. Ту же группу можно также представить как действие на корневые двоичные деревья или как действие на диадические рациональные числа в пределах единичного интервала.

Другие сопутствующие конструкции

В обратной математике один из способов построения действительных чисел заключается в представлении их как функций от унарных чисел к диадным рациональным числам, где значение одной из этих функций для аргумента является диадным рациональным числом со знаменателем , приближающим данное действительное число. Определение действительных чисел таким образом позволяет доказать многие из основных результатов математического анализа в рамках ограниченной теории арифметики второго порядка, называемой "осуществимым анализом" (BTFA). Сюрреальные числа генерируются итеративным принципом построения, который начинается с генерации всех конечных диадных рациональных чисел, а затем переходит к созданию новых и необычных видов бесконечных, бесконечно малых и других чисел. Эта система чисел является основой комбинаторной теории игр, а диадные рациональные числа естественным образом возникают в этой теории как множество значений определенных комбинаторных игр. Сливаемые числа являются подмножеством диадных рациональных чисел, замкнутым относительно операции , ограниченным парами с . Они хорошо упорядочены, с типом порядка, равным эпсилон-числу. Для каждого целого числа наименьшее сливаемое число, большее чем , имеет вид . Существование для каждого не может быть доказано в арифметике Пеано, и растет настолько быстро как функция от , что для оно (в обозначении стрелки Кнута для больших чисел) уже больше, чем . Обычное доказательство леммы Урысона использует диадные дроби для построения разделяющей функции из этой леммы.