Кіріспе
Математикада, әсіресе операторлар теориясында, ішкі көбейтінді кеңістігіндегі әрбір сызықтық оператор сол кеңістіктегі Гермиттік қосымша (немесе қосымша) операторды анықтайды, ережесі мынадай:
In mathematics, specifically in operator theory, each linear operator on an inner product space defines a Hermitian adjoint (or adjoint) operator on that space according to the rule
мұндағы – векторлық кеңістіктегі ішкі көбейтінді. Қосымша оператор Гермиттік жұпталған немесе Чарльз Гермит есімімен Гермиттік деп те аталуы мүмкін. Оны физика және басқа салаларда, әсіресе кванттық механикада бра-кет нотациясымен бірге қолданғанда, көбінесе A^(†) деп белгілейді. Операторларды матрицалар түрінде бейнелеуге болатын шекті өлшемдерде Гермиттік қосымша конъюгат транспозамен (немесе Гермиттік транспоза) беріледі. Жоғарыдағы қосымша оператордың анықтамасы Хилберт кеңістіктеріндегі шектелген сызықтық операторларға тікелей қолданылады. Анықтама одан әрі кеңейтіліп, шектелмеген, тығыздықпен анықталған операторларды қамтиды, олардың анықталу облысы топологиялық жағынан тығыз, бірақ міндетті түрде тең емес.
Бейресми анықтама
Гилберт кеңістіктері арасындағы сызықтық бейнелеуді қарастырайық. Кез келген егжей-тегжейге тоқталмай, серіктес оператор – бұл (көбінесе бірегей анықталған) сызықтық оператор, келесі теңдікті орындайды:
where is the inner product in the Hilbert space , which is linear in the first coordinate and conjugate linear in the second coordinate. Note the special case where both Hilbert spaces are identical and is an operator on that Hilbert space. When one trades the inner product for the dual pairing, one can define the adjoint, also called the transpose, of an operator , where are Banach spaces with corresponding norms Here (again not considering any technicalities), its adjoint operator is defined as with
I. e., for
The above definition in the Hilbert space setting is really just an application of the Banach space case when one identifies a Hilbert space with its dual. Then it is only natural that we can also obtain the adjoint of an operator , where is a Hilbert space and is a Banach space. The dual is then defined as with such that
мұнда – Гилберт кеңістігіндегі ішкі көбейтінді, ол бірінші координата бойынша сызықтық, ал екінші координата бойынша конъюгатты сызықтық. Екі Гилберт кеңістігі бірдей болғанда және сол Гилберт кеңістігіндегі оператор болғандағы ерекше жағдайды ескеріңіз. Ішкі көбейтіндіні дуалды жұптаумен алмастырғанда, оператордың серіктес операторын, сондай-ақ транспозын анықтауға болады, мұнда – сәйкес нормалары бар Банах кеңістіктері. Мұнда (қайтадан ешқандай техникалық мәселелерді ескермей), оның серіктес операторы келесідей анықталады:
where is the inner product in the Hilbert space , which is linear in the first coordinate and conjugate linear in the second coordinate. Note the special case where both Hilbert spaces are identical and is an operator on that Hilbert space. When one trades the inner product for the dual pairing, one can define the adjoint, also called the transpose, of an operator , where are Banach spaces with corresponding norms Here (again not considering any technicalities), its adjoint operator is defined as with
I. e., for
The above definition in the Hilbert space setting is really just an application of the Banach space case when one identifies a Hilbert space with its dual. Then it is only natural that we can also obtain the adjoint of an operator , where is a Hilbert space and is a Banach space. The dual is then defined as with such that
Яғни, барлық үшін .
where is the inner product in the Hilbert space , which is linear in the first coordinate and conjugate linear in the second coordinate. Note the special case where both Hilbert spaces are identical and is an operator on that Hilbert space. When one trades the inner product for the dual pairing, one can define the adjoint, also called the transpose, of an operator , where are Banach spaces with corresponding norms Here (again not considering any technicalities), its adjoint operator is defined as with
I. e., for
The above definition in the Hilbert space setting is really just an application of the Banach space case when one identifies a Hilbert space with its dual. Then it is only natural that we can also obtain the adjoint of an operator , where is a Hilbert space and is a Banach space. The dual is then defined as with such that
Жоғарыдағы Гилберт кеңістігіндегі анықтама, Гилберт кеңістігін оның дуалымен сәйкестендіргенде Банах кеңістігінің жағдайына қолданылуы мүмкін. Сондықтан, Гилберт кеңістігі және Банах кеңістігі болғанда оператордың серіктес операторын да алуымыз табиғи. Дуалды келесідей анықтаймыз: мұнда осындай, шарты орындалады.
where is the inner product in the Hilbert space , which is linear in the first coordinate and conjugate linear in the second coordinate. Note the special case where both Hilbert spaces are identical and is an operator on that Hilbert space. When one trades the inner product for the dual pairing, one can define the adjoint, also called the transpose, of an operator , where are Banach spaces with corresponding norms Here (again not considering any technicalities), its adjoint operator is defined as with
I. e., for
The above definition in the Hilbert space setting is really just an application of the Banach space case when one identifies a Hilbert space with its dual. Then it is only natural that we can also obtain the adjoint of an operator , where is a Hilbert space and is a Banach space. The dual is then defined as with such that
Гилберт кеңістіктері арасындағы шектелген операторлардың анықтамасы
H – ішкі көбейтіндісі бар күрделі Гильберт кеңістігі деп есептейік. A : H → H үздіксіз сызықтық операторын қарастырайық (сызықтық операторлар үшін үздіксіздік, шектелген оператор болумен эквивалентті). Онда A операторының түйіндес операторы – A^(∗) : H → H үздіксіз сызықтық операторы, ол келесіні қанағаттандырады:
Осы оператордың бар болуы мен бірегейлігі Риецтің өкілдік теоремасынан шығады. Бұл, стандартты комплекс сандық ішкі көбейтіндіге қатысты ұқсас қасиеті бар квадраттық матрицаның түйіндес матрицасының жалпылама жағдайы ретінде қарастырылуы мүмкін.
А жабық
Оператор жабық деп егер оның графигі топологиялық жағынан жабық болса айтылады. Қосымша оператордың графигі бір субкеңістіктің ортогоналды толықтыруы болып табылады, демек ол да жабық.
Конъюгатты сызықтық операторлардың көмекшілері
Конъюгациялық сызықтық оператор үшін күрделі конъюгацияны ескеру үшін, қосымша оператордың анықтамасын өзгерту қажет. Кешенді Хилберт кеңістігіндегі А конъюгациялық сызықтық оператордың қосымша операторы – А^(∗) конъюгациялық сызықтық операторы болып табылады: H → H, және ол келесі қасиетке ие: