Введение

Сопряжённый транспонированный оператор в бесконечномерном пространстве. В математике, в частности в теории операторов, каждый линейный оператор на пространстве с внутренним произведением определяет эрмитово сопряжённый (или просто сопряжённый) оператор на этом пространстве в соответствии с правилом:

где – внутреннее произведение на векторном пространстве. Сопряжённый оператор также может называться эрмитовым сопряжением или просто эрмитовым, в честь Шарля Эрмита. Он часто обозначается A† в таких областях, как физика, особенно при использовании в сочетании с бра-кет нотацией в квантовой механике. В конечномерных пространствах, где операторы могут быть представлены матрицами, эрмитово сопряжённый оператор задаётся сопряжённой транспонированной матрицей (также известной как эрмитова транспозиция). Вышеприведённое определение сопряжённого оператора дословно распространяется на ограниченные линейные операторы в гильбертовых пространствах. Определение было дополнительно расширено для включения неограниченных операторов, плотно определённых в пространстве, область определения которых топологически плотна в, но не обязательно равна.

Неофициальное определение

Рассмотрим линейное отображение между пространствами Гильберта. Не вдаваясь в детали, сопряженный оператор — это (в большинстве случаев однозначно определенный) линейный оператор, удовлетворяющий условию

где ⟨⋅,⋅⟩ — внутреннее произведение в пространстве Гильберта, которое является линейным по первой координате и комплексно сопряженным линейным по второй координате. Отметьте особый случай, когда оба пространства Гильберта совпадают, и оператор действует на этом пространстве Гильберта. Если заменить внутреннее произведение на двойственное спаривание, можно определить сопряженный, также называемый транспонированным, оператора , где — пространства Банаха с соответствующими нормами. Здесь (опять же, не учитывая технические детали) его сопряженный оператор определяется как с

То есть, ⟨ , ⟩ = ⟨ , ⟩ для всех .

Вышеуказанное определение в контексте пространства Гильберта является, по сути, применением случая пространства Банаха, когда пространство Гильберта отождествляется со своим сопряженным пространством. Тогда естественно, что мы также можем получить сопряженный оператора , где — пространство Гильберта, а — пространство Банаха. Сопряженное пространство определяется как с таким, что ⟨ , ⟩ = ⟨ , ⟩.

Определение ограниченных операторов между пространствами Гильберта

Предположим, что H — комплексное гильбертово пространство с внутренним произведением. Рассмотрим непрерывный линейный оператор A : H → H (для линейных операторов непрерывность эквивалентна свойству быть ограниченным оператором). Тогда сопряжённым к A оператором является непрерывный линейный оператор A^* : H → H, удовлетворяющий

Существование и единственность этого оператора следует из теоремы Рисса о представлении. Это можно рассматривать как обобщение сопряжённой матрицы квадратной матрицы, которая обладает аналогичным свойством, связанным со стандартным комплексным внутренним произведением.

А закрыто

Оператор считается замкнутым, если его график топологически замкнут в пространстве. График сопряженного оператора является ортогональным дополнением к подпространству и, следовательно, замкнут.

Заместители конъюгированных линейных операторов

Для сопряжённого линейного оператора определение сопряжённого оператора требует корректировки для компенсации комплексного сопряжения. Сопряжённый оператор сопряжённого линейного оператора A на комплексном гильбертовом пространстве H — это сопряжённый линейный оператор A^* : H → H, обладающий следующим свойством: