Кіріспе
Сызықтық алгебрада, құрылған кіші кеңістік. Математикада, векторлардың S жиынының (векторлық кеңістіктен) сызықтық жайылмасы (сызықтық қабықша немесе жай ғана жайылма деп аталады), span(S) деп белгіленеді, ол S жиынындағы векторлардың барлық сызықтық комбинацияларының жиынтығы ретінде анықталады. Мысалы, екі сызықтық тәуелсіз векторлар жазықтықты құрайды. Сызықтық жайылманы S жиынын қамтитын барлық сызықтық кіші кеңістіктердің қиылысы ретінде немесе S жиынын қамтитын ең кіші кіші кеңістік ретінде сипаттауға болады. Сондықтан, векторлар жиынының сызықтық жайылмасы – өзі векторлық кеңістік болып табылады. Жайылмалар матроидтар мен модульдерге жалпыланады. V векторлық кеңістігі S жиынының сызықтық жайылмасы екенін көрсету үшін, әдетте мынадай тіркестер қолданылады: S, V-ны жайылтады, S, V-ның жайылтатын жиыны, V, S жиынымен жайылған/құрылған, немесе S, V-ның генераторы немесе генератор жиыны.
In mathematics, the linear span (also called the linear hull or just span) of a set S of vectors (from a vector space), denoted span(S), is defined as the set of all linear combinations of the vectors in S.
For example, two linearly independent vectors span a plane. The linear span can be characterized either as the intersection of all linear subspaces that contain S, or as the smallest subspace containing S. The linear span of a set of vectors is therefore a vector space itself. Spans can be generalized to matroids and modules. To express that a vector space V is a linear span of a subset S, one commonly uses the following phrases—either: S spans V, S is a spanning set of V, V is spanned/generated by S, or S is a generator or generator set of V.
Анықтама
K өрісіндегі V векторлық кеңістігі берілгенде, S векторлар жиынының (шекті немесе шексіз) аралығы – S жиынын қамтитын V-нің барлық ішкі кеңістіктерінің W қиылысы ретінде анықталады. W жиыны S арқылы құрылған ішкі кеңістік немесе S-дегі векторлар арқылы құрылған ішкі кеңістік деп аталады. Керісінше, S жиыны W ішкі кеңістігінің аралық жиынтығы деп аталады, және S жиыны W ішкі кеңістігін аралайды дейміз. Балама ретінде, S жиынының аралығы – S жиынының элементтерінің (векторлардың) барлық шекті сызықтық комбинацияларының жиынтығы ретінде анықталады, бұл жоғарыдағы анықтамадан шығады. Егер S жиыны шексіз болса, шексіз сызықтық комбинациялар (яғни, комбинацияда шексіз сома болуы мүмкін, егер мұндай сомалар, мысалы, Банах кеңістігінде белгілі бір тәсілмен анықталған болса) анықтама бойынша алынып тасталады; осыларды қабылдайтын жалпылау эквивалентті емес.
Alternatively, the span of S may be defined as the set of all finite linear combinations of elements (vectors) of S, which follows from the above definition. In the case of infinite S, infinite linear combinations (i. e. where a combination may involve an infinite sum, assuming that such sums are defined somehow as in, say, a Banach space) are excluded by the definition; a generalization that allows these is not equivalent.
Мысалдар
Шынайы векторлық кеңістікте {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} жиынтығы кеңістікті жабатын жиын ретінде берілген. Бұл нақты жиын сонымен қатар негіз болып табылады. Егер (−1, 0, 0) (1, 0, 0) арқылы алмастырылса, онда ол да канондық негізді құрайды. Сол кеңістік үшін {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 1/2, 3), (1, 1, 1)} жиынтығы да кеңістікті жабуға болады, бірақ бұл жиын негіз емес, себебі олар сызықтық тәуелді. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} жиынтығы кеңістіктің толық жиыны емес, өйткені оның жабатын кеңістігі – соңғы компоненті нөлге тең барлық векторлардың кеңістігі. Бұл кеңістік {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} жиынтығымен де жабылады, себебі (1, 1, 0) – (1, 0, 0) және (0, 1, 0) векторларының сызықтық комбинациясы. Демек, жабылатын кеңістік кеңістікке тең емес. Үшінші, нөлге тең компоненттерді жою арқылы оны кеңістікпен сәйкестендіруге болады. Бос жиын {(0, 0, 0)} кеңістігін жабады, себебі бос жиын – барлық мүмкін векторлық кеңістіктердің ішкі жиыны, ал {(0, 0, 0)} – осы векторлық кеңістіктердің қиылысы. xn мономдары жиыны, мұндағы n – теріс емес бүтін сан, полиномдар кеңістігін жабады.
Another spanning set for the same space is given by {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 1/2, 3), (1, 1, 1)}, but this set is not a basis, because it is linearly dependent. The set {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} is not a spanning set of , since its span is the space of all vectors in whose last component is zero. That space is also spanned by the set {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, as (1, 1, 0) is a linear combination of (1, 0, 0) and (0, 1, 0). Thus, the spanned space is not It can be identified with by removing the third components equal to zero. The empty set is a spanning set of {(0, 0, 0)}, since the empty set is a subset of all possible vector spaces in , and {(0, 0, 0)} is the intersection of all of these vector spaces. The set of monomials xn, where n is a non negative integer, spans the space of polynomials.
Анықтамалардың теңдестігі
V-нің S жиынтығының барлық сызықтық комбинацияларының жиынтығы, K үстіндегі векторлық кеңістік, S-ті қамтитын V-нің ең кіші сызықтық кіші кеңістігі болып табылады. Біріншіден, span S V-нің кіші кеңістігі екенін дәлелдейміз. S, V-нің жиынтығының бөлігі болғандықтан, span S-та '0' нөлдік векторының бар екенін, span S-тың қосу бойынша жабық екенін және span S-тың скалярлық көбейту бойынша жабық екенін дәлелдеу жеткілікті. span S-та V-нің нөлдік векторы бар екені анық, себебі S-тың екі сызықтық комбинациясын қосу да S-тың сызықтық комбинациясын береді: , мұндағы барлық , ал S-тың сызықтық комбинациясын скалярға көбейту S-тың тағы бір сызықтық комбинациясын береді: Осылайша, span S V-нің кіші кеңістігі болып табылады.
Proof. We first prove that span S is a subspace of V. Since S is a subset of V, we only need to prove the existence of a zero vector '0' in span S, that span S is closed under addition, and that span S is closed under scalar multiplication. Letting , it is trivial that the zero vector of V exists in span S, since Adding together two linear combinations of S also produces a linear combination of S: , where all , and multiplying a linear combination of S by a scalar will produce another linear combination of S: Thus span S is a subspace of V.
Suppose that W is a linear subspace of V containing S. It follows that , since every 'v'i is a linear combination of S (trivially). Since W is closed under addition and scalar multiplication, then every linear combination must be contained in W. Thus, span S is contained in every subspace of V containing S, and the intersection of all such subspaces, or the smallest such subspace, is equal to the set of all linear combinations of S.
W-ні V-нің S-ті қамтитын сызықтық кіші кеңістігі деп есептейік. Одан әрі, W, span S-ты қамтиды, себебі әрбір 'v'i S-тың сызықтық комбинациясы болып табылады (тривиальды түрде). W қосу мен скалярлық көбейту бойынша жабық болғандықтан, кез келген сызықтық комбинация W-де болуы керек. Осылайша, span S, S-ті қамтитын V-нің кез келген кіші кеңістігінде орналасқан, ал мұндай кіші кеңістіктердің қиылысы немесе ең кіші кіші кеңістігі S-тың барлық сызықтық комбинацияларының жиынтығына тең.
Proof. We first prove that span S is a subspace of V. Since S is a subset of V, we only need to prove the existence of a zero vector '0' in span S, that span S is closed under addition, and that span S is closed under scalar multiplication. Letting , it is trivial that the zero vector of V exists in span S, since Adding together two linear combinations of S also produces a linear combination of S: , where all , and multiplying a linear combination of S by a scalar will produce another linear combination of S: Thus span S is a subspace of V.
Suppose that W is a linear subspace of V containing S. It follows that , since every 'v'i is a linear combination of S (trivially). Since W is closed under addition and scalar multiplication, then every linear combination must be contained in W. Thus, span S is contained in every subspace of V containing S, and the intersection of all such subspaces, or the smallest such subspace, is equal to the set of all linear combinations of S.
Қалыптасқан жиынның көлемі сызықтық тәуелсіз жиынның кем дегенде көлеміне тең
Кез келген векторлық кеңістік V-тің S жабатын жиынында V-ден кез келген сызықтық тәуелсіз векторлар жиынындағы элементтер санынан кем емес элементтер болуы керек.
Дәлелдеме. S жабатын жиын болсын және W – V-ден сызықтық тәуелсіз векторлар жиыны болсын. S V-ті жабады, сонда W да V-ті жабады және W, S-тің сызықтық комбинациясы болып табылады. Осылайша, W сызықтық тәуелді, және біз S-ден басқа элементтерінің сызықтық комбинациясы болып табылатын бір векторды алып тастай аламыз. Бұл вектор W-нің ешқайсысы бола алмайды, өйткені W сызықтық тәуелсіз. Нәтижесіндегі жиын – , бұл V-тің жабатын жиыны. Біз бұл қадамды n рет қайталаймыз, онда p-ші қадамнан кейін алынған жиын S пен m S векторларының бірі болып табылады.
Since S spans V, then must also span V, and must be a linear combination of S. Thus is linearly dependent, and we can remove one vector from S that is a linear combination of the other elements. This vector cannot be any of the 'w'i, since W is linearly independent. The resulting set is , which is a spanning set of V. We repeat this step n times, where the resulting set after the pth step is the union of and m p vectors of S.
n-ші қадамға дейін әрқашан 'v'i-ні S-тен алып тастауға болады, сондықтан 'v'i-лердің саны 'w'i-лердің санынан кем емес. Мұны тексеру үшін, қарама-қайшылыққа түсіп, делік. Онда, m-ші қадамда, бізде жиын болады және біз тағы бір векторды қоса аламыз. Бірақ, S V-тің жабатын жиыны болғандықтан, W, S-тің сызықтық комбинациясы болып табылады. Бұл қарама-қайшылық, өйткені W сызықтық тәуелсіз.
Қиғаштық жиынтықты негізге дейін азайтуға болады
V – шекті өлшемді векторлық кеңістік болсын. V кеңістігін қамтитын кез келген векторлар жиынын, қажет болған жағдайда векторларды шығарып тастау арқылы V-тің негізіне келтіруге болады (яғни, егер жиынтықта сызықтық тәуелді векторлар болса). Егер таңдау аксиомасы орындалса, бұл V-тің шекті өлшемді екенін талап етмейді. Бұл сондай-ақ, V шекті өлшемді болғанда, негіздің ең кішкентай қамту жиыны екенін көрсетеді.
Пайдалы лемма
X нормаланған кеңістік болсын және E, X-тің бос емес кез келген ішкі жиыны болсын. Содан кейін
(Жабық сызықтық кеңістікті табудың қалыпты жолы – ең алдымен сызықтық кеңістікті табу, сосын осы сызықтық кеңістіктің жабылуын табу.)
Оқулық
Лей, Дэвид С. (2021) Сызықтық алгебра және оның қолданбалары (6-шы басылым). Пирсон.