Введение
В линейной алгебре, генерируемое подпространство.
В математике линейная оболочка (также называемая линейным корпусом или просто оболочкой) множества S векторов (из векторного пространства), обозначаемая span(S), определяется как множество всех линейных комбинаций векторов из S. Например, два линейно независимых вектора порождают плоскость. Линейная оболочка может быть охарактеризована как пересечение всех линейных подпространств, содержащих S, или как наименьшее подпространство, содержащее S. Линейная оболочка множества векторов, следовательно, является векторным пространством. Оболочки можно обобщить на матроиды и модули. Чтобы выразить, что векторное пространство V является линейной оболочкой подмножества S, обычно используются следующие фразы: S порождает V, S является базисом для V, V порождено/сгенерировано S, или S – генератор или генерирующее множество для V.
For example, two linearly independent vectors span a plane. The linear span can be characterized either as the intersection of all linear subspaces that contain S, or as the smallest subspace containing S. The linear span of a set of vectors is therefore a vector space itself. Spans can be generalized to matroids and modules. To express that a vector space V is a linear span of a subset S, one commonly uses the following phrases—either: S spans V, S is a spanning set of V, V is spanned/generated by S, or S is a generator or generator set of V.
Определение
Для векторного пространства V над полем K, линейная оболочка множества S векторов (не обязательно конечного) определяется как пересечение W всех подпространств V, содержащих S. W называется подпространством, порожденным S, или векторами из S. Обратно, S называется порождающим множеством для W, и говорят, что S порождает W.
В качестве альтернативы, линейная оболочка S может быть определена как множество всех конечных линейных комбинаций элементов (векторов) S, что следует из вышеприведенного определения. В случае бесконечного S, бесконечные линейные комбинации (то есть комбинации, включающие бесконечную сумму, при условии, что такие суммы определены каким-либо образом, например, в банаховом пространстве) исключаются из определения; обобщение, допускающее их, не является эквивалентным.
Примеры
Реальное векторное пространство имеет в качестве базисного множества {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Этот конкретный набор также является основой. Если (−1, 0, 0) заменить на (1, 0, 0), то получится канонический базис. Другой базис для того же пространства задан множеством {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 1/2, 3), (1, 1, 1)}, но это множество не является базисом, поскольку оно линейно зависимо. Множество {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} не является базисным множеством, так как его линейная оболочка – это пространство всех векторов, у которых последняя компонента равна нулю. Это пространство также порождается множеством {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, поскольку (1, 1, 0) является линейной комбинацией (1, 0, 0) и (0, 1, 0). Таким образом, порожденное пространство не является . Его можно отождествить с , удалив третьи компоненты, равные нулю. Пустое множество является базисным множеством для {(0, 0, 0)}, поскольку оно является подмножеством всех возможных векторных пространств, а {(0, 0, 0)} является пересечением всех этих пространств. Множество мономов xn, где n – неотрицательное целое число, порождает пространство многочленов.
Another spanning set for the same space is given by {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 1/2, 3), (1, 1, 1)}, but this set is not a basis, because it is linearly dependent. The set {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} is not a spanning set of , since its span is the space of all vectors in whose last component is zero. That space is also spanned by the set {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, as (1, 1, 0) is a linear combination of (1, 0, 0) and (0, 1, 0). Thus, the spanned space is not It can be identified with by removing the third components equal to zero. The empty set is a spanning set of {(0, 0, 0)}, since the empty set is a subset of all possible vector spaces in , and {(0, 0, 0)} is the intersection of all of these vector spaces. The set of monomials xn, where n is a non negative integer, spans the space of polynomials.
Равный сходство определений
Множество всех линейных комбинаций подмножества S векторного пространства V над полем K является наименьшим линейным подпространством V, содержащим S.
Доказательство. Сначала докажем, что линейная оболочка S является подпространством V. Поскольку S является подмножеством V, достаточно доказать существование нулевого вектора '0' в линейной оболочке S, замкнутость линейной оболочки S относительно сложения и относительно умножения на скаляр. Пусть . Очевидно, что нулевой вектор V принадлежит линейной оболочке S, поскольку сложение двух линейных комбинаций из S также даёт линейную комбинацию из S: , где все . Умножение линейной комбинации из S на скаляр также даёт линейную комбинацию из S: . Таким образом, линейная оболочка S является подпространством V.
Предположим, что W – линейное подпространство V, содержащее S. Тогда , поскольку каждый вектор 'v'i является линейной комбинацией векторов из S (тривиально). Поскольку W замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр, любая линейная комбинация должна содержаться в W. Следовательно, линейная оболочка S содержится в любом подпространстве V, содержащем S, и пересечение всех таких подпространств, или наименьшее из них, равно линейной оболочке S.
Размер протяженного множества не менее размера линейно независимого множества
Любое порождающее множество S векторного пространства V должно содержать не меньше элементов, чем любое линейно независимое множество векторов из V.
Доказательство. Пусть S – порождающее множество, а W – линейно независимое множество векторов из V. Мы хотим показать, что |S| ≥ |W|. Поскольку S порождает V, то W также порождает V, и каждый вектор из W можно представить в виде линейной комбинации векторов из S. Следовательно, множество S линейно зависимо, и мы можем удалить из S один вектор, который является линейной комбинацией остальных векторов. Этот вектор не может быть ни одним из векторов wᵢ, поскольку W линейно независимо. Полученное множество – S\{vᵢ}, которое является порождающим множеством V. Мы повторяем этот шаг n раз, где множество, полученное после p-го шага, является объединением W и m-p векторов из S.
Since S spans V, then must also span V, and must be a linear combination of S. Thus is linearly dependent, and we can remove one vector from S that is a linear combination of the other elements. This vector cannot be any of the 'w'i, since W is linearly independent. The resulting set is , which is a spanning set of V. We repeat this step n times, where the resulting set after the pth step is the union of and m p vectors of S.
Гарантируется до n-го шага, что всегда будет некоторый вектор vᵢ, который можно удалить из S для каждого вектора wᵢ, и, таким образом, количество векторов vᵢ не меньше количества векторов wᵢ, то есть |S| ≥ |W|. Чтобы проверить это, предположим от противного, что |S| < |W|. Тогда на m-м шаге у нас есть множество S\{v₁,…,vₘ} и мы можем добавить еще один вектор wᵢ₊₁. Но, поскольку S\{v₁,…,vₘ} является порождающим множеством V, то wᵢ₊₁ можно представить в виде линейной комбинации векторов из S\{v₁,…,vₘ}. Это противоречие, поскольку W линейно независимо.
Набор протяжения может быть сокращен до основы
Пусть V — конечномерное векторное пространство. Любой набор векторов, порождающий V, можно свести к базису для V, отбрасывая векторы при необходимости (то есть, если в этом наборе есть линейно зависимые векторы). Если аксиома выбора верна, это справедливо и без предположения о конечномерности V. Это также показывает, что базис является минимальным порождающим набором, когда V конечномерно.
Полезная лемма
Пусть X — нормированное пространство, а E — любое непустое подмножество X. Тогда
(Обычно замкнутый линейный охват находят следующим образом: сначала находят линейный охват, а затем берут его замыкание.)
Учебники
Лей, Дэвид С. (2021) Линейная алгебра и её приложения (6-е издание). Пирсон.