Кіріспе
Математиканың күрделі динамикасындағы фракталдық жиындар
Математиканың күрделі динамика саласында Джулия жиыны және Фату жиыны – функция арқылы анықталатын екі толықтыратын жиын (Джулия "торлар" және Фату "ұсақ бөлшектер"). Формальды емес тұрғыдан алғанда, функцияның Фату жиыны функцияның қайталама итерациясы кезінде барлық жақын мәндердің бірдей мінез-құлқы көрсеткендегі мәндерден тұрады, ал Джулия жиыны – кез келген ең кішкентай өзгеріс функция мәндерінің тізбегінде күрт өзгерістерге алып келуі мүмкін мәндерден тұрады. Осылайша, Фату жиынындағы функцияның мінез-құлқы "реттелген", ал Джулия жиынындағы мінез-құлқы "хаостық" болып табылады. Функцияның Джулия жиыны әдетте символымен, ал Фату жиыны символымен белгіленеді. Бұл жиындар француз математиктері Гастон Джулия және Пьер Фатудың есімдерімен аталады, олардың еңбектері 20-шы ғасырдың басында күрделі динамиканы зерттеуді бастады.
Джулия жиынтығының баламалы сипаттамалары
f бойынша мүлдем өзгермейтін кем дегенде үш нүктесі бар ең кіші жабық жиын. - қайталанатын мерзімді нүктелер жиынының жабылуы. Барлық нүктелердің ең көп дегенде екісінен басқа, Джулия жиыны толық кері орбитаның лимит нүктелерінің жиыны болып табылады (Бұл Джулия жиындарын салуға арналған қарапайым алгоритмді ұсынады, төменде қараңыз). Егер f бүтін функция болса, онда ол қайталау кезінде шексіздікке жуысатын нүктелер жиынының шекарасы. Егер f полином болса, онда ол толтырылған Джулия жиынының шекарасы; яғни, f-тің итерациялары кезінде орбиталары шектеулі болып қалатын нүктелер.
is the closure of the set of repelling periodic points. For all but at most two points the Julia set is the set of limit points of the full backwards orbit (This suggests a simple algorithm for plotting Julia sets, see below.) If f is an entire function, then is the boundary of the set of points which converge to infinity under iteration. If f is a polynomial, then is the boundary of the filled Julia set; that is, those points whose orbits under iterations of f remain bounded.
Мысалдар
Джулия жиыны үшін бірлік шеңбер және осы шеңберде итерация бұрыштардың екі еселеуі арқылы беріледі (бұл операция аргументі рационалды санның бөлшегі емес нүктелерде хаотикалық болады). Фату домендерінің екісі бар: шеңбердің ішкі және сыртқы бөлігі, олар тиісінше 0 және ∞-ға қарай итерацияланады. Джулия жиыны үшін −2-ден 2-ге дейінгі сызық сегменті. Фату доменінің бірі бар: сызық сегментінде жатпайтын нүктелер ∞-ға қарай итерацияланады. (Доменнің ығысуы мен масштабталуынан басқа, бұл итерация бірлік интервалындағы итерациямен тең, ол көбінесе хаотикалық жүйенің мысалы ретінде қолданылады.) f және g функциялары , мұндағы c – комплекс сан. Мұндай итерация үшін Джулия жиыны әдетте қарапайым қисық емес, фрактал болып табылады, ал c-нің кейбір мәндері үшін таңғажайып пішіндерге ие болуы мүмкін. Төмендегі суреттерді қараңыз. Кейбір f(z) функциялары үшін Джулия жиыны фрактал екенін, қарапайым қисық емесін алдын ала болжауға болады. Бұл рационалды функциялардың итерациясы бойынша келесі нәтижеге байланысты:
Бұл Джулия жиынының әрбір нүктесі Фату домендерінің әрқайсысы үшін жинақталу нүктесі екенін білдіреді. Сондықтан, егер Фату домендерінің саны екіден асса, Джулия жиынының әрбір нүктесінде екіден астам әртүрлі ашық жиынтықтың нүктелері шексіз жақын болуы керек, және бұл Джулия жиыны қарапайым қисық бола алмайтынын көрсетеді. Бұл құбылыс, мысалы, f(z) функциясы теңдеуді шешу үшін Ньютон итерациясы болғанда пайда болады:
Оң жақтағы сурет n = 3 жағдайында көрсетілген.
Квадраттық көптіктер
Күрделі квадраттық полиномиалдар отбасы, яғни рационалдық бейнелеулердің ерекше жағдайы, өте танымал күрделі динамикалық жүйе болып табылады. Мұндай квадраттық көптіктерді c күрделі параметр ретінде келесідей көрсетуге болады:
қайда c – күрделі параметр. Бірқатар жеткілікті үлкен n-ді таңдаңыз (мысалы, егер c Мандельброт жиынтығында жатса, онда біз жай ғана n-ді қалдыра аламыз). Содан кейін осы жүйе үшін толтырылған Джулия жиынтығы – комплекс жазықтығының келесідей берілген қосалқы жиынтығы:
қайда – функцияның n-ші итерациясы. Осы функцияның Джулия жиынтығы – жоғарыдағы жиынның шекарасы. Квадраттық полиномиалдардың параметрлік жазықтығы – яғни, мүмкін болатын c мәндерінің жазықтығы – атақты Мандельброт жиынтығын тудырады. Шындығында, Мандельброт жиынтығы – байланысқан болатын барлық c мәндерінің жиынтығы ретінде анықталады. Мандельброт жиынтығынан тыс параметрлер үшін Джулия жиынтығы Кантор кеңістігі болып табылады: мұндай жағдайда оны кейде Фату тозаңы деп атайды. Көп жағдайларда Джулия жиынтығы c-нің Мандельброт жиынтығына ұқсас болады. Бұл, әсіресе, сындық нүктесі алдын ала периодты болатын c параметрлері, яғни Мисюревич параметрлері үшін дұрыс. Мысалы: c = i болғанда, алдыңғы аяқтың қысқа, алдыңғы саусағында Джулия жиынтығы тармақталған шағын найзағайға ұқсайды. c = −2 болғанда, ұзын тіккіш құйрықтың ұшында Джулия жиынтығы тура сызық сегменті болып табылады. Басқаша айтқанда, Джулия жиынтығы Мисюревич нүктелерінің маңында жергілікті түрде ұқсас.
The parameter plane of quadratic polynomials – that is, the plane of possible c values – gives rise to the famous Mandelbrot set. Indeed, the Mandelbrot set is defined as the set of all c such that is connected. For parameters outside the Mandelbrot set, the Julia set is a Cantor space: in this case it is sometimes referred to as Fatou dust. In many cases, the Julia set of c looks like the Mandelbrot set in sufficiently small neighborhoods of c. This is true, in particular, for so called Misiurewicz parameters, i. e. parameters c for which the critical point is pre periodic. For instance:
At c = i, the shorter, front toe of the forefoot, the Julia set looks like a branched lightning bolt. At c = −2, the tip of the long spiky tail, the Julia set is a straight line segment. In other words, the Julia sets are locally similar around Misiurewicz points.
Жалпылау
Джулия және Фату жиындарының анықтамасы, кескіні доменін қамтитын кейбір функциялар үшін де оңай қолданылады; ең әйгілі мысалдар – трансцендентті мероморфтық функциялар және Адам Эпштейннің шекті типтегі функциялары. Джулия жиындары бірнеше кешенді айнымалылар динамикасын зерттеуде де жиі анықталады.
Псевкод
Төмендегі псевдокодтық іске асырулар әр фрактал үшін функцияларды тікелей кодтау арқылы жасайды. Көбірек динамикалық және қайта пайдалануға болатын кодты жасау үшін кешенді сандармен операцияларды енгізуді қарастырыңыз.
Дала сызықтары
Әрбір Фату доменінде (бейтарап емес) бір-біріне перпендикуляр екі түзу жүйесі бар: эквипотенциалдық түзулер (потенциалдық функция немесе итерациялық сан үшін) және өріс түзулері. Егер Фату доменін итерация саны бойынша боясақ (алдыңғы бөлімде көрсетілгендей, нақты итерация саны емес), итерация жолақтары эквипотенциалдық сызықтардың бағытын көрсетеді. Егер итерация ∞-ға қарай болса (әдеттегі итерация үшін сыртқы Фату доменіндегідей), біз өріс сызықтарының бағытын оңай көрсете аламыз, атап айтқанда, итерация тізбегіндегі соңғы нүкте x осьтің үстінде немесе астында болғандықтан, түстерді өзгерту арқылы (бірінші сурет), бірақ бұл жағдайда (дәлірек айтқанда: Фату домені супер тартымды болған кезде) біз өріс сызықтарын үйлесімді түрде, кем дегенде, осы әдіспен тарта алмаймыз. Бұл жағдайда өріс сызығы сыртқы сәуле деп те аталады. z – тартымды Фату доменіндегі нүкте болсын. Егер z-ді көп рет итерацияласақ, итерация тізбегінің соңы шекті цикл C болады, ал Фату домені (анықтама бойынша) итерация тізбесінің C-ге жақындасатын нүктелер жиынтығы. Өріс сызықтары C нүктелерінен және C нүктесіне итерацияланатын (шексиз көп) нүктелерден шығады. Олар Джулия жиынтығында хаотикалық емес нүктелерде аяқталады (яғни, шекті циклді тудырады). r – циклдің реті (оның нүктелерінің саны) болсын, ал C-дегі нүкте болсын. Бізде (r еселі композиция) бар, және біз α кешенді санын анықтаймыз. Егер C нүктелері болса, α – r санның көбейтіндісі. 1/|α| – нақты сан, циклдің тартымдылығы, және циклдің бейтарап немесе супер тартымды емес деген болжамымыз, бұл нүктесі , үшін тұрақты нүкте екенін білдіреді, ал осы нүктеге жақын картада (өріс сызықтарына байланысты) α аргументімен айналу сипаты бар (яғни, ). Фату доменін бояу үшін біз ε кішкентай санын таңдап, итерация тізбектерін тоқтату үшін орнатамыз, және z нүктесін k санына сәйкес бояймыз (немесе нақты итерация саны, егер біз тегіс бояуды қаласақ). Егер біз θ бұрышымен берілген бағытты таңдасақ, осы бағытта шығатын өріс сызығы z нүктелерінен тұрады, сондықтан санның ψ аргументі келесі шартты қанағаттандырады. Егер біз өріс сызықтары бағытында (және циклден алыста) итерация жолағын өткізсек, k итерация саны 1-ге артады және ψ саны β-ға артады, сондықтан сан өріс сызығы бойымен тұрақты болады. Фату доменінің өріс сызықтарын бояу дегеніміз, біз өріс сызықтары жұптарының арасындағы кеңістіктерді бояймыз: біз және осы бағыттардың әрқайсысында осы бағыттың айналасындағы екі бағытты таңдайтын, жүйелі түрде орналасқан бағыттарды таңдаймыз. Бір жұптың екі өріс сызығы Джулия жиынтығының бір нүктесінде аяқталмауы мүмкін болғандықтан, біздің түсті өріс сызықтарымыз Джулия жиынтығына қарай (шексіз) тармақталуы мүмкін. Біз суретті өрістің орта сызығына дейінгі арақашықтығына қарай бояуымыз керек, және осы бояуды әдеттегі бояумен біріктіре аламыз. Мұндай суреттер өте әдемі болуы мүмкін (екінші сурет). Түсті өріс сызығы (екі өріс сызығының арасындағы домен) итерация жолақтарымен бөлінеді, және мұндай бөлікті бірлік шаршымен бір-бірге сәйкестендіруге болады: бір координатасы – шекаралық өріс сызықтарының бірінен қашықтық, екіншісі – шекаралық итерация жолағының ішкі бөлігінен қашықтық (бұл сан – нақты итерациялық санның бөлшек бөлігі). Сондықтан біз суреттерді өріс сызықтарына (үшінші сурет) қоя аламыз.
If the points of C are , α is the product of the r numbers The real number 1/|α| is the attraction of the cycle, and our assumption that the cycle is neither neutral nor super attracting, means that The point is a fixed point for , and near this point the map has (in connection with field lines) character of a rotation with the argument β of α (that is, ). In order to colour the Fatou domain, we have chosen a small number ε and set the sequences of iteration to stop when , and we colour the point z according to the number k (or the real iteration number, if we prefer a smooth colouring). If we choose a direction from given by an angle θ, the field line issuing from in this direction consists of the points z such that the argument ψ of the number satisfies the condition that
For if we pass an iteration band in the direction of the field lines (and away from the cycle), the iteration number k is increased by 1 and the number ψ is increased by β, therefore the number is constant along the field line. A colouring of the field lines of the Fatou domain means that we colour the spaces between pairs of field lines: we choose a number of regularly situated directions issuing from , and in each of these directions we choose two directions around this direction. As it can happen that the two field lines of a pair do not end in the same point of the Julia set, our coloured field lines can ramify (endlessly) in their way towards the Julia set. We can colour on the basis of the distance to the center line of the field line, and we can mix this colouring with the usual colouring. Such pictures can be very decorative (second picture). A coloured field line (the domain between two field lines) is divided up by the iteration bands, and such a part can be put into a one to one correspondence with the unit square: the one coordinate is (calculated from) the distance from one of the bounding field lines, the other is (calculated from) the distance from the inner of the bounding iteration bands (this number is the non integral part of the real iteration number). Therefore, we can put pictures into the field lines (third picture).