Введение

Фрактальные множества в комплексной динамике математики

В контексте комплексной динамики, области математики, множество Жюлиа и множество Фату — это два взаимодополняющих множества (множество Жюлиа, часто описываемое как "кружево", и множество Фату, как "пыль"), определяемые для данной функции. Неформально, множество Фату функции состоит из значений, для которых все близлежащие значения ведут себя схожим образом при многократной итерации функции, а множество Жюлиа состоит из значений, таких, что произвольно малое возмущение может привести к резким изменениям в последовательности значений функции после итераций. Таким образом, поведение функции на множестве Фату является "регулярным", в то время как на множестве Жюлиа оно является "хаотичным". Множество Жюлиа функции f обычно обозначается J, а множество Фату — F. Эти множества названы в честь французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату, чьи работы положили начало изучению комплексной динамики в начале XX века.

Эквивалентные описания множества Джулия

является наименьшим замкнутым множеством, содержащим по меньшей мере три точки, которое полностью инвариантно относительно f. Является замыканием множества отталкивающих периодических точек. Для всех, кроме как максимум двух точек, множество Юлии является множеством предельных точек полной обратной орбиты (это указывает на простой алгоритм для построения множеств Юлии, см. ниже). Если f – целая функция, то это граница множества точек, стремящихся в бесконечность при итерациях. Если f – полином, то является границей заполненного множества Джулии, то есть точек, чьи орбиты при итерациях f остаются ограниченными.

Примеры

Для множества Джулии единичная окружность, и на ней итерация задается удвоением углов (операция, хаотичная для точек, аргумент которых не является рациональной долей π). Существуют два домена Фату: внутренность и внешность окружности, с итерацией к 0 и ∞ соответственно. Для множества Джулии – это отрезок линии между −2 и 2. Существует один домен Фату: точки, не лежащие на отрезке линии, итерируют к ∞. (За исключением сдвига и масштабирования домена, эта итерация эквивалентна итерации на единичном интервале, который часто используется в качестве примера хаотической системы.) Функции f и g имеют вид , где c – комплексное число. Для такой итерации множество Джулии, как правило, не является простой кривой, а является фракталом, и при некоторых значениях c может принимать удивительные формы. Смотрите рисунки ниже. Для некоторых функций f(z) мы можем заранее сказать, что множество Джулии является фракталом, а не простой кривой. Это связано со следующим результатом об итерациях рациональной функции:

Это означает, что каждая точка множества Джулии является точкой накопления для каждого из доменов Фату. Следовательно, если существует более двух доменов Фату, каждая точка множества Джулии должна иметь точки, бесконечно близкие, из более чем двух различных открытых множеств, и это означает, что множество Джулии не может быть простой кривой. Это явление происходит, например, когда f(z) является итерацией Ньютона для решения уравнения :

Изображение справа показывает случай n = 3.

Квадратные полиномы

Очень популярная сложная динамическая система задается семейством комплексных квадратичных полиномов, являющимся частным случаем рациональных отображений. Такие квадратичные полиномы могут быть выражены как

где c – комплексный параметр. Выберем достаточно большое N такое, что (например, если c принадлежит множеству Мандельброта, то , поэтому можно просто взять ). Тогда заполненное множество Джулии для этой системы – это подмножество комплексной плоскости, заданное как

где – n-я итерация . Множество Джулии этой функции является границей . Параметрическая плоскость квадратичных полиномов – то есть плоскость возможных значений c – порождает знаменитое множество Мандельброта. Действительно, множество Мандельброта определяется как множество всех c, для которых является связным. Для параметров, лежащих вне множества Мандельброта, множество Джулии является пространством Кантора: в этом случае оно иногда называется пылью Фату. Во многих случаях множество Джулии для c выглядит как множество Мандельброта в достаточно малых окрестностях c. Это справедливо, в частности, для так называемых параметров Мисюревича, то есть параметров c, для которых критическая точка является предпериодической. Например: при c = i, в более коротком переднем отростке, множество Джулии выглядит как разветвленная молния. При c = −2, на кончике длинного игольчатого хвоста, множество Джулии представляет собой прямой отрезок. Иными словами, множества Джулии локально подобны в окрестностях точек Мисюревича.

Обобщения

Определение множеств Джулии и Фату легко распространяется на случай некоторых отображений, образ которых содержит их область определения; наиболее примечательны трансцендентные мероморфные функции и отображения конечного типа Адама Эпштейна. Множества Джулии также обычно определяются при изучении динамики в нескольких комплексных переменных.

Псевдокод

Ниже представленные реализации на псевдокоде жёстко задают функции для каждого фрактала. Рассмотрите возможность реализации операций с комплексными числами для создания более динамичного и повторно используемого кода.

Линии поля

В каждой области Фату (то есть не нейтральной) существуют две системы линий, ортогональных друг другу: эквипотенциальные линии (для потенциальной функции или реального числа итераций) и линии поля. Если мы раскрасим область Фату в соответствии с номером итерации (а не с реальным числом итераций, как определено в предыдущем разделе), полосы итераций покажут ход эквипотенциальных линий. Если итерация стремится к ∞ (как это происходит во внешней области Фату для обычной итерации), мы можем легко показать ход линий поля, а именно, изменяя цвет в зависимости от того, находится ли последняя точка в последовательности итераций выше или ниже оси x (первое изображение), но в этом случае (точнее: когда область Фату является суперпритягивающей) мы не можем последовательно нарисовать линии поля, по крайней мере, не методом, который мы здесь описываем. В этом случае линия поля также называется внешним лучом. Пусть z – точка в притягивающей области Фату. Если мы итерируем z большое число раз, то terminus последовательности итераций является конечным циклом C, а область Фату (по определению) представляет собой множество точек, чья последовательность итераций сходится к C. Линии поля исходят из точек C и из (бесконечного числа) точек, которые итерируются в точку C. И они заканчиваются на множестве Джулии в точках, которые не являются хаотичными (то есть, порождают конечный цикл). Пусть r – порядок цикла C (количество его точек) и пусть – точка в C. У нас есть (r-кратный композит), и мы определяем комплексное число α по формуле:

Если точки C – , то α является произведением r чисел. Реальное число 1/|α| – это притяжение цикла, и наше предположение, что цикл не является ни нейтральным, ни суперпритягивающим, означает, что – точка является неподвижной точкой для , и вблизи этой точки отображение имеет (в связи с линиями поля) характер вращения с аргументом β числа α (то есть, ). Чтобы раскрасить область Фату, мы выбрали небольшое число ε и установили, что последовательность итераций останавливается, когда , и мы раскрашиваем точку z в соответствии с номером k (или реальным числом итераций, если мы предпочитаем плавную раскраску). Если мы выбираем направление из заданное углом θ, то линия поля, исходящая из в этом направлении, состоит из точек z, таких что аргумент ψ числа удовлетворяет условию:

Потому что, если мы проходим итерационную полосу в направлении линий поля (и удаляемся от цикла), номер итерации k увеличивается на 1, а число ψ увеличивается на β, следовательно, число постоянно вдоль линии поля. Раскраска линий поля домена Фату означает, что мы раскрашиваем пространства между парами линий поля: мы выбираем ряд регулярно расположенных направлений, исходящих из , и в каждом из этих направлений мы выбираем два направления вокруг этого направления. Поскольку может случиться, что две линии поля пары не заканчиваются в одной точке множества Джулии, наши цветные линии поля могут ветвиться (бесконечно) на своем пути к множеству Джулии. Мы можем раскрашивать на основе расстояния до центральной линии линии поля, и мы можем смешивать эту раскраску с обычной раскраской. Такие изображения могут быть очень декоративными (второе изображение). Цветная линия поля (домен между двумя линиями поля) разделена итерационными полосами, и такую часть можно установить в соответствие один к одному с единичным квадратом: одна координата является (вычисляется из) расстояния от одной из ограничивающих линий поля, другая – (вычисляется из) расстояния от внутренней из ограничивающих итерационных полос (это число является нецелой частью реального числа итераций). Поэтому мы можем помещать изображения в линии поля (третье изображение).