Кіріспе

Поинкаре тобының кеңейтілуі
Математикалық физикада, кеңістік-уақыттың конформдық симметриясы Поинкаре тобының кеңейтілуі арқылы өрнектеледі, бұл конформдық топ ретінде белгілі. Кеңейтілуге арнайы конформдық түрлендірулер және кеңеюлер кіреді. Үш кеңістік және бір уақыт өлшемдерінде конформдық симметрия 15 еркіндік дәрежесіне ие: Поинкаре тобы үшін он, арнайы конформдық түрлендірулер үшін төрт және кеңею үшін біреу. Гарри Бейтман және Эбенезер Каннингэм алғашқылардың бірі болып Максвелл теңдеулерінің конформдық симметриясын зерттеді. Олар конформдық симметрияның жалпы түрін сфералық толқын түрлендіру деп атады. Екі кеңістік-уақыт өлшемдеріндегі жалпы салыстырмалылық теориясы да конформдық симметрияға ие.

Конформальды өріс теориясы

Релятивистік кванттық өріс теорияларында, физикалық тұрғыдан негізделген болжамдар бойынша Кольман-Мандула теоремасы симметриялар мүмкіндігін қатаң түрде шектейді. Суперсимметриялық емес, өзара әрекеттесетін өріс теориясының ең ірі мүмкін жаһандық симметрия тобы – конформальды топ пен ішкі топтың тікелей көбейтіндісі болып табылады. Мұндай теориялар конформдық өріс теориялары деп аталады.

Екінші реттік кезеңдегі ауысулар

Оның бір ерекше қолданысы – жергілікті өзара әрекеттесуі бар жүйелердегі сыни құбылыстарды зерттеуде. Мұндай жүйелердегі флуктуациялар сыни нүктеде конформды инвариантты болып табылады. Бұл, фазалық өтулердің әмбебаптық кластарын конформды өріс теориялары арқылы жіктеуге мүмкіндік береді.

Конформды инварианттылық жоғары Рейнольдс санындағы екі өлшемді турбуленттілікте де байқалады.

Жоғары энергия физикасы

Жоғары энергиялық физикада зерттелген көптеген теориялар конформдық симметрияға ие, себебі бұл әдетте жергілікті масштабты инварианттылықпен байланысты (мотивация және қарсы мысалдар үшін осы жерге қараңыз). Белгілі бір мысал – d=4, N=4 суперсимметриялық Янг-Милл теориясы, ол AdS/CFT сәйкестігімен байланысты болғандықтан. Сондай-ақ, іс тізбесі теориясындағы әлемдік бет екі өлшемді гравитацияға біріктірілген екі өлшемді конформдық өріс теориясымен сипатталады.

Желілік модельдердегі конформды инварианттылықтың математикалық дәлелдеуі

Физиктер көптеген тор модельдерінің сындық шекте конформды инвариант болатынын тапты. Дегенмен, осы нәтижелердің математикалық дәлелдемелері көп уақыттан кейін ғана, және тек кейбір жағдайларда ғана пайда болды. 2010 жылы математик Станислав Смирнов "статистикалық физикадағы перколяцияның конформды инварианттылығы мен жазық Изинг моделін дәлелдегені үшін" Филдс медалімен марапатталды. 2020 жылы математик Уго Думинил Копин және оның әріптестері көптеген физикалық жүйелерде фазалар арасындағы шекарада бұрылу инварианттылығының бар екенін дәлелдеді.