Введение
Расширение группы Понкаре
В математической физике конформная симметрия пространства-времени выражается расширением группы Понкаре, известным как конформная группа. Расширение включает специальные конформные преобразования и растяжения. В трех пространственных и одном временном измерениях конформная симметрия имеет 15 степеней свободы: десять для группы Понкаре, четыре для специальных конформных преобразований и одну для растяжения. Гарри Бейтман и Эбенезер Каннингем первыми изучили конформную симметрию уравнений Максвелла. Они назвали общее выражение конформной симметрии сферическим волновым преобразованием. Общая теория относительности в двух пространственно-временных измерениях также обладает конформной симметрией.
In mathematical physics, the conformal symmetry of spacetime is expressed by an extension of the Poincaré group, known as the conformal group. The extension includes special conformal transformations and dilations. In three spatial plus one time dimensions, conformal symmetry has 15 degrees of freedom: ten for the Poincaré group, four for special conformal transformations, and one for a dilation. Harry Bateman and Ebenezer Cunningham were the first to study the conformal symmetry of Maxwell's equations. They called a generic expression of conformal symmetry a spherical wave transformation. General relativity in two spacetime dimensions also enjoys conformal symmetry.
Конформная теория поля
В релятивистских квантовых теориях поля возможность существования симметрий строго ограничена теоремой Коулмана — Мандулы при физически обоснованных предположениях. Наибольшая возможная глобальная группа симметрии не суперсимметричной взаимодействующей теории поля является прямым произведением конформной группы и внутренней группы. Такие теории известны как конформные теории поля.
Переходы фазы второго порядка
Одно из конкретных применений – изучение критических явлений в системах с локальными взаимодействиями. Флуктуации в таких системах конформно инвариантны в критической точке, что позволяет классифицировать классы универсальности фазовых переходов в терминах конформных теорий поля. Конформная инвариантность также наблюдается в двухмерной турбулентности при высоких числах Рейнольдса.
Conformal invariance is also present in two dimensional turbulence at high Reynolds number.
Физика высоких энергий
Многие теории, изучаемые в физике высоких энергий, обладают конформной симметрией, поскольку она обычно вытекает из локальной инвариантности масштаба (см. здесь мотивацию и контрпримеры). Ярким примером является d=4, N=4 суперсимметричная теория Янга-Миллса благодаря её значимости для соответствия AdS/CFT. Кроме того, мировая поверхность в теории струн описывается двумерной конформной теорией поля, взаимодействующей с двумерной гравитацией.
Математические доказательства конформной инвариантности в решетчатых моделях
Физики обнаружили, что многие решетчатые модели становятся конформно инвариантными в критическом пределе. Однако математические доказательства этих результатов появились значительно позже и лишь в некоторых случаях. В 2010 году математик Станислав Смирнов был удостоен медали Филдса «за доказательство конформной инвариантности перколяции и планарной модели Изинга в статистической физике». В 2020 году математик Уго Думинил Копин и его коллеги доказали существование вращательной инвариантности на границе между фазами во многих физических системах.