Топологиялық кеңістіктердегі нүктелер тізбегінің жалпылама түрі – неттер (Moore–Smith тізбегі). Анализ және топологияда маңызды қасиеттерді сипаттауға қолданылады.
A generalization of a sequence of points
nets in topological spaces
Математикада, әсіресе жалпы топология және оған байланысты салаларда, тор немесе Мур-Смит тізбегі – домені бағытталған жиын болатын функция. Бұл функцияның кодоменасы әдетте бір топологиялық кеңістік болады. Торлар метрикалық кеңістіктегі тізбек ұғымын тікелей жалпылайды. Торлар негізінен анализ және топология салаларында қолданылады, онда олар көптеген маңызды топологиялық қасиеттерді сипаттау үшін пайдаланылады (көбінесе тізбектер сипаттауға шамасы келмейді, тізбектердің осы кемшілігі тізбектік кеңістіктер мен Фрешет-Урисон кеңістіктерін зерттеуге түрткіс болды). Торлар сүзгілермен бір-бірге сәйкес келеді.
In mathematics, more specifically in general topology and related branches, a net or Moore–Smith sequence is a function whose domain is a directed set. The codomain of this function is usually some topological space. Nets directly generalize the concept of a sequence in a metric space. Nets are primarily used in the fields of Analysis and Topology, where they are used to characterize many important topological properties that (in general), sequences are unable to characterize (this shortcoming of sequences motivated the study of sequential spaces and Fréchet–Urysohn spaces). Nets are in one to one correspondence with filters.
Тарих
Желі түсінігі алғаш рет 1922 жылы Э. Х. Мур және Герман Л. Смит енгізді. "Желі" терминін Джон Л. Келли ойлап тапты. Фильтрге қатысты түсінік 1937 жылы Анри Картанмен әзірленді.
The concept of a net was first introduced by E. H. Moore and Herman L. Smith in 1922. The term "net" was coined by John L. Kelley. The related concept of a filter was developed in 1937 by Henri Cartan.
Торлардың шоғырланған нүктелері
Тор, егер әрбір үшін, мұндай болатын нәрсе табылатын болса, онда немесе деп аталады және . Нүкте, егер кез келген маңайында тор жиі/қосылып кездесетін болса, тордың немесе жинақы нүктесі деп аталады. Шындығында, нүкте жинақы нүкте болып табылады, егер және тек егер оның нүктеге жиналатын ішкі жиыны болса. -тағы барлық жинақы нүктелердің жиыны, әрбір үшін тең болады, мұндағы .
A net is said to be or if for every there exists some such that and A point is said to be an or cluster point of a net if for every neighborhood of the net is frequently/cofinally in In fact, is a cluster point if and only if it has a subset that converges to The set of all cluster points of in is equal to for each , where .
Коуш торлары
Коши желісі Коши тізбегінің ұғымын біркелкі кеңістіктерде анықталған желілерге жалпылайды. Желі, егер әрбір маң үшін, осы маңға кіретін элементтері бар болатын, Коши желісі болып табылады. Әдетте, Коши кеңістігінде, желі Коши желісі болып табылады, егер желі тудырған сүзгі Коши сүзгісі болса. Топологиялық векторлық кеңістік (ТВК) егер әрбір Коши желісі қандай да бір нүктеге жақын түсетін болса, толық деп аталады. Нормаланған кеңістік, топологиялық векторлық кеңістіктің ерекше түрі, егер және тек егер әрбір Коши тізбегі қандай да бір нүктеге жақын түсетін болса (бұл қасиет тізбектік толықтылық деп аталады), толық ТВК (эквивалентті, Банах кеңістігі) болып табылады. Нормаланған кеңістіктердің толықтығын сипаттау үшін Коши желілері қажет болмаса да, олар көбірек жалпы (мүмкін нормаланбайтын) топологиялық векторлық кеңістіктердің толықтығын сипаттау үшін қажет.
A Cauchy net generalizes the notion of Cauchy sequence to nets defined on uniform spaces. A net is a if for every entourage there exists such that for all is a member of More generally, in a Cauchy space, a net is Cauchy if the filter generated by the net is a Cauchy filter. A topological vector space (TVS) is called complete if every Cauchy net converges to some point. A normed space, which is a special type of topological vector space, is a complete TVS (equivalently, a Banach space) if and only if every Cauchy sequence converges to some point (a property that is called sequential completeness). Although Cauchy nets are not needed to describe completeness of normed spaces, they are needed to describe completeness of more general (possibly non normable) topological vector spaces.
Топологиялық қасиеттерді сипаттау
Топологияның дерлік барлық ұғымдарын желілер мен лимиттер тілінде қайта формулиреуге болады. Бұл интуицияны дамытуға көмектеседі, себебі желінің лимиті ұғымы тізбек лимитіне өте ұқсас. Келесі теоремалар мен леммалар осы ұқсастықты бекітуге көмектеседі:
Virtually all concepts of topology can be rephrased in the language of nets and limits. This may be useful to guide the intuition since the notion of limit of a net is very similar to that of limit of a sequence. The following set of theorems and lemmas help cement that similarity:
Басқа қасиеттері
Жалпы алғанда, кеңістіктегі тордың бірнеше шегі болуы мүмкін, бірақ егер кеңістік Хаусдорф кеңістігі болса, онда тордың шегі, егер ол бар болса, бірегей болады. Керісінше, егер кеңістік Хаусдорф болмаса, онда екі түрлі шегі бар тор табылады. Осылайша, шектің бірегейлігі кеңістіктің Хаусдорф шартына эквивалентті, және оны анықтама ретінде де қарастыруға болады. Бұл нәтиже бағытталғандық шартына байланысты; егер жиын жалпы алдын ала реттеу немесе ішінара реттеу арқылы индекстелген болса, тіпті Хаусдорф кеңістігінде де әртүрлі шекті нүктелері болуы мүмкін.
In general, a net in a space can have more than one limit, but if is a Hausdorff space, the limit of a net, if it exists, is unique. Conversely, if is not Hausdorff, then there exists a net on with two distinct limits. Thus the uniqueness of the limit is equivalent to the Hausdorff condition on the space, and indeed this may be taken as the definition. This result depends on the directedness condition; a set indexed by a general preorder or partial order may have distinct limit points even in a Hausdorff space.
Риман интегралы
Риман интегралының мәнін анықтау интегралдау аралығының барлық бөліністері жиынынан құралған Риман сомалары желісінің лиміті ретінде қарастырылуы мүмкін, мұнда жиын ішінара кірігу арқылы реттелген.
The definition of the value of a Riemann integral can be interpreted as a limit of a net of Riemann sums where the net's directed set is the set of all partitions of the interval of integration, partially ordered by inclusion.