Компактность в математическом пространстве

Введение

Тип математического пространства

В математике, в частности в общей топологии, компактность — это свойство, которое стремится обобщить понятие замкнутого и ограниченного подмножества евклидова пространства. Идея заключается в том, что компактное пространство не имеет "дыр" или "отсутствующих конечных точек", то есть включает все предельные значения точек. Например, открытый интервал (0,1) не будет компактным, поскольку он исключает предельные значения 0 и 1, в то время как замкнутый интервал [0,1] будет компактным. Аналогично, пространство рациональных чисел не является компактным, потому что оно имеет бесконечно много "дыр", соответствующих иррациональным числам, и пространство действительных чисел также не является компактным, поскольку оно исключает два предельных значения −∞ и +∞. Однако, расширенная числовая прямая была бы компактной, поскольку она содержит обе бесконечности. Существует много способов сделать это эвристическое понятие точным. Эти способы обычно согласуются в метрическом пространстве, но могут не быть эквивалентными в других топологических пространствах. Одно из таких обобщений заключается в том, что топологическое пространство является последовательно компактным, если каждая бесконечная последовательность точек, выбранных из пространства, имеет бесконечную подпоследовательность, которая сходится к некоторой точке пространства. Теорема Болцано — Вейерштрасса утверждает, что подмножество евклидова пространства компактно в этом последовательном смысле тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Таким образом, если выбрать бесконечное число точек в замкнутом единичном интервале [0, 1], некоторые из этих точек будут произвольно близко подходить к некоторому действительному числу в этом пространстве. Например, некоторые числа в последовательности стремятся к 0 (в то время как другие стремятся к 1). Поскольку ни 0, ни 1 не являются элементами открытого единичного интервала (0, 1), эти же наборы точек не будут стремиться ни к одной из его точек, поэтому открытый единичный интервал не является компактным. Хотя подмножества (подпространства) евклидова пространства могут быть компактными, само пространство не является компактным, поскольку оно не ограничено. Например, рассматривая (действительную числовую прямую), последовательность точек 0, 1, 2, 3… не имеет подпоследовательности, которая сходится к любому действительному числу. Компактность была формально введена Морисом Фреше в 1906 году для обобщения теоремы Болцано — Вейерштрасса из пространств геометрических точек в пространства функций. Теорема Арцела — Асколи и теорема существования Пеано иллюстрируют применение этого понятия компактности в классическом анализе. После его первоначального введения в общем метрическом пространстве были разработаны различные эквивалентные понятия компактности, включая последовательную компактность и компактность по предельным точкам. Однако в общих топологических пространствах эти понятия компактности не обязательно эквивалентны. Наиболее полезное понятие — и стандартное определение термина "компактность" без дополнительных уточнений — сформулировано с точки зрения существования конечных семейств открытых множеств, которые "покрывают" пространство в том смысле, что каждая точка пространства лежит в некотором множестве, содержащемся в этом семействе. Это более тонкое понятие, введенное Павлом Александровым и Павлом Урысоном в 1929 году, представляет компактные пространства как обобщения конечных множеств. В пространствах, которые компактны в этом смысле, часто возможно объединить информацию, которая верна локально — то есть в окрестности каждой точки — в соответствующие утверждения, которые верны во всем пространстве, и многие теоремы имеют такой характер. Термин "компактное множество" иногда используется как синоним "компактного пространства", но также часто относится к компактному подпространству топологического пространства.

In mathematics, specifically general topology, compactness is a property that seeks to generalize the notion of a closed and bounded subset of Euclidean space. The idea is that a compact space has no "punctures" or "missing endpoints", i. e., it includes all limiting values of points. For example, the open interval (0,1) would not be compact because it excludes the limiting values of 0 and 1, whereas the closed interval [0,1] would be compact. Similarly, the space of rational numbers is not compact, because it has infinitely many "punctures" corresponding to the irrational numbers, and the space of real numbers is not compact either, because it excludes the two limiting values and However, the extended real number line would be compact, since it contains both infinities. There are many ways to make this heuristic notion precise. These ways usually agree in a metric space, but may not be equivalent in other topological spaces. One such generalization is that a topological space is sequentially compact if every infinite sequence of points sampled from the space has an infinite subsequence that converges to some point of the space. The Bolzano–Weierstrass theorem states that a subset of Euclidean space is compact in this sequential sense if and only if it is closed and bounded. Thus, if one chooses an infinite number of points in the closed unit interval [0, 1], some of those points will get arbitrarily close to some real number in that space. For instance, some of the numbers in the sequence accumulate to 0 (while others accumulate to 1). Since neither 0 nor 1 are members of the open unit interval (0, 1), those same sets of points would not accumulate to any point of it, so the open unit interval is not compact. Although subsets (subspaces) of Euclidean space can be compact, the entire space itself is not compact, since it is not bounded. For example, considering (the real number line), the sequence of points 0, 1, 2, 3, has no subsequence that converges to any real number. Compactness was formally introduced by Maurice Fréchet in 1906 to generalize the Bolzano–Weierstrass theorem from spaces of geometrical points to spaces of functions. The Arzelà–Ascoli theorem and the Peano existence theorem exemplify applications of this notion of compactness to classical analysis. Following its initial introduction, various equivalent notions of compactness, including sequential compactness and limit point compactness, were developed in general metric spaces. In general topological spaces, however, these notions of compactness are not necessarily equivalent. The most useful notion — and the standard definition of the unqualified term compactness — is phrased in terms of the existence of finite families of open sets that "cover" the space in the sense that each point of the space lies in some set contained in the family. This more subtle notion, introduced by Pavel Alexandrov and Pavel Urysohn in 1929, exhibits compact spaces as generalizations of finite sets. In spaces that are compact in this sense, it is often possible to patch together information that holds locally – that is, in a neighborhood of each point – into corresponding statements that hold throughout the space, and many theorems are of this character. The term compact set is sometimes used as a synonym for compact space, but also often refers to a compact subspace of a topological space.

Историческое развитие

В 19 веке было осознано несколько различных математических свойств, которые впоследствии стали рассматриваться как следствия компактности. С одной стороны, Бернард Болцано (1817) заметил, что любая ограниченная последовательность точек (например, на прямой или плоскости) содержит подпоследовательность, которая в конечном итоге произвольно близка к некоторой другой точке, называемой предельной точкой. Доказательство Болцано опиралось на метод деления пополам: последовательность помещалась в интервал, который затем делился на две равные части, и выбиралась часть, содержащая бесконечно много членов последовательности. Затем процесс повторялся, деля полученный меньший интервал на все более мелкие части, пока он не сужался до желаемой предельной точки. Полное значение теоремы Болцано и ее метода доказательства проявилось лишь спустя почти 50 лет, когда она была заново открыта Карлом Вейерштрассом. В 1880-х годах стало ясно, что результаты, подобные теореме Болцано — Вейерштрасса, можно сформулировать для пространств функций, а не только для чисел или геометрических точек. Идея рассматривать функции как точки обобщенного пространства восходит к исследованиям Джулио Асколи и Чезаре Арзела. Кульминацией их исследований стала теорема Арзела — Асколи, которая является обобщением теоремы Болцано — Вейерштрасса для семейств непрерывных функций, заключающимся в том, что из подходящего семейства функций можно извлечь равномерно сходящуюся последовательность функций. Предел этой последовательности играл точно такую же роль, как и «предельная точка» Болцано. К началу двадцатого века в области интегральных уравнений накапливались результаты, подобные результатам Арзела и Асколи, исследованные Давидом Гильбертом и Эрхардом Шмидтом. Для определенного класса функций Грина, возникающих из решений интегральных уравнений, Шмидт показал, что свойство, аналогичное теореме Арзела — Асколи, выполняется в смысле среднеквадратичной сходимости, или сходимости в том, что позже было названо гильбертовым пространством. Это в конечном итоге привело к понятию компактного оператора как ответвления общего понятия компактного пространства. Морис Фреше в 1906 году выделил суть свойства Болцано — Вейерштрасса и ввел термин «компактность» для обозначения этого общего явления (он использовал этот термин уже в своей работе 1904 года, которая привела к знаменитому тезису 1906 года). Однако в конце XIX века из изучения континуума также медленно возникло иное понятие компактности, которое считалось фундаментальным для строгого построения анализа. В 1870 году Эдуард Хайне показал, что непрерывная функция, определенная на замкнутом и ограниченном интервале, на самом деле является равномерно непрерывной. В ходе доказательства он использовал лемму, согласно которой из любого счетного покрытия интервала меньшими открытыми интервалами можно выбрать конечное число интервалов, которые также покрывают его. Значение этой леммы было признано Эмилем Борелем (1895), и она была обобщена на произвольные семейства интервалов Пьером Кузином (1895) и Анри Лебегом (1904). Теорема Хайне — Бореля, как теперь известен этот результат, является еще одним особым свойством, которым обладают замкнутые и ограниченные множества действительных чисел. Это свойство было значимым, поскольку позволяло переходить от локальной информации о множестве (например, непрерывности функции) к глобальной информации о множестве (например, равномерной непрерывности функции). Эта идея была выражена , который также использовал ее при разработке интеграла, названного в его честь. В конечном итоге русская школа топологии множеств под руководством Павла Александрова и Павла Урысона сформулировала компактность Хайне — Бореля таким образом, что ее можно было применить к современному понятию топологического пространства. показал, что более ранняя версия компактности, предложенная Фреше, теперь называемая (относительной) последовательной компактностью, при определенных условиях вытекает из версии компактности, сформулированной в терминах существования конечных подпокрытий. Именно это понятие компактности стало доминирующим, поскольку оно не только было более сильным свойством, но и могло быть сформулировано в более общем контексте с минимальным количеством дополнительных технических средств, поскольку оно опиралось только на структуру открытых множеств в пространстве.

In the 19th century, several disparate mathematical properties were understood that would later be seen as consequences of compactness. On the one hand, Bernard Bolzano (1817) had been aware that any bounded sequence of points (in the line or plane, for instance) has a subsequence that must eventually get arbitrarily close to some other point, called a limit point. Bolzano's proof relied on the method of bisection: the sequence was placed into an interval that was then divided into two equal parts, and a part containing infinitely many terms of the sequence was selected. The process could then be repeated by dividing the resulting smaller interval into smaller and smaller parts – until it closes down on the desired limit point. The full significance of Bolzano's theorem, and its method of proof, would not emerge until almost 50 years later when it was rediscovered by Karl Weierstrass. In the 1880s, it became clear that results similar to the Bolzano–Weierstrass theorem could be formulated for spaces of functions rather than just numbers or geometrical points. The idea of regarding functions as themselves points of a generalized space dates back to the investigations of Giulio Ascoli and Cesare Arzelà. The culmination of their investigations, the Arzelà–Ascoli theorem, was a generalization of the Bolzano–Weierstrass theorem to families of continuous functions, the precise conclusion of which was that it was possible to extract a uniformly convergent sequence of functions from a suitable family of functions. The uniform limit of this sequence then played precisely the same role as Bolzano's "limit point". Towards the beginning of the twentieth century, results similar to that of Arzelà and Ascoli began to accumulate in the area of integral equations, as investigated by David Hilbert and Erhard Schmidt. For a certain class of Green's functions coming from solutions of integral equations, Schmidt had shown that a property analogous to the Arzelà–Ascoli theorem held in the sense of mean convergence – or convergence in what would later be dubbed a Hilbert space. This ultimately led to the notion of a compact operator as an offshoot of the general notion of a compact space. It was Maurice Fréchet who, in 1906, had distilled the essence of the Bolzano–Weierstrass property and coined the term compactness to refer to this general phenomenon (he used the term already in his 1904 paper which led to the famous 1906 thesis). However, a different notion of compactness altogether had also slowly emerged at the end of the 19th century from the study of the continuum, which was seen as fundamental for the rigorous formulation of analysis. In 1870, Eduard Heine showed that a continuous function defined on a closed and bounded interval was in fact uniformly continuous. In the course of the proof, he made use of a lemma that from any countable cover of the interval by smaller open intervals, it was possible to select a finite number of these that also covered it. The significance of this lemma was recognized by Émile Borel (1895), and it was generalized to arbitrary collections of intervals by Pierre Cousin (1895) and Henri Lebesgue (1904). The Heine–Borel theorem, as the result is now known, is another special property possessed by closed and bounded sets of real numbers. This property was significant because it allowed for the passage from local information about a set (such as the continuity of a function) to global information about the set (such as the uniform continuity of a function). This sentiment was expressed by , who also exploited it in the development of the integral now bearing his name. Ultimately, the Russian school of point set topology, under the direction of Pavel Alexandrov and Pavel Urysohn, formulated Heine–Borel compactness in a way that could be applied to the modern notion of a topological space. showed that the earlier version of compactness due to Fréchet, now called (relative) sequential compactness, under appropriate conditions followed from the version of compactness that was formulated in terms of the existence of finite subcovers. It was this notion of compactness that became the dominant one, because it was not only a stronger property, but it could be formulated in a more general setting with a minimum of additional technical machinery, as it relied only on the structure of the open sets in a space.

Основные примеры

Любое конечное пространство компактно; конечное подкрытие может быть получено путем выбора для каждой точки открытого множества, содержащего эту точку. Нетривиальным примером компактного пространства является (замкнутый) единичный интервал действительных чисел. Если выбрать бесконечное число различных точек в единичном интервале, то среди этих точек должна существовать точка накопления в этом интервале. Например, члены с нечетными номерами последовательности сколь угодно близко приближаются к 0, а члены с четными номерами – к 1. Приведенный пример последовательности показывает важность включения граничных точек интервала, поскольку предельные точки должны находиться в самом пространстве — открытый (или полуоткрытый) интервал действительных чисел не является компактным. Также необходимо, чтобы интервал был ограничен, поскольку в интервале можно выбрать последовательность точек 0, 1, 2, 3, …, из которой ни одна подпоследовательность в конечном итоге не приближается сколь угодно близко к любому заданному действительному числу. В двух измерениях замкнутые диски компактны, поскольку для любого бесконечного числа точек, выбранных из диска, некоторое подмножество этих точек должно сколь угодно близко приближаться либо к точке внутри диска, либо к точке на границе. Однако открытый диск не является компактным, потому что последовательность точек может стремиться к границе, не приближаясь сколь угодно близко к какой-либо точке внутри. Аналогично, сферы компактны, но сфера, из которой удалена точка, не является компактной, поскольку последовательность точек все еще может стремиться к удаленной точке, тем самым не приближаясь сколь угодно близко к какой-либо точке в пространстве. Линии и плоскости не компактны, поскольку можно взять набор равноотстоящих точек в любом направлении, не приближаясь к какой-либо точке.

Евклидово пространство

Для любого подмножества A евклидова пространства, A является компактным тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено; это теорема Хайне — Бореля. Поскольку евклидово пространство является метрическим пространством, условия из следующего подраздела также применимы ко всем его подмножествам. Из всех эквивалентных условий на практике легче всего проверить, что подмножество замкнуто и ограничено, например, для замкнутого интервала или замкнутого n-шара.

Порядочные пространства

Для упорядоченного пространства (X, <) (т. е. полностью упорядоченного множества, снабженного топологией порядка), следующие утверждения эквивалентны: (X, <) компактно. Каждое подмножество X имеет супремум (т.е. наименьшую верхнюю грань) в X. Каждое подмножество X имеет инфимум (т.е. наибольшую нижнюю грань) в X. Каждое непустое замкнутое подмножество X имеет максимальный и минимальный элементы. Упорядоченное пространство, удовлетворяющее (любому из) этих условий, называется полной решеткой. Кроме того, следующие утверждения эквивалентны для всех упорядоченных пространств (X, <), и (при условии аксиомы счетного выбора) верны, когда (X, <) компактно. (Обратное в общем случае неверно, если (X, <) не является также метризуемым.): Каждая последовательность в (X, <) имеет подпоследовательность, сходящуюся в (X, <). Каждая монотонно возрастающая последовательность в X сходится к единственному пределу в X. Каждая монотонно убывающая последовательность в X сходится к единственному пределу в X. Каждая убывающая цепочка непустых замкнутых подмножеств S1 ⊇ S2 ⊇ … в (X, <) имеет непустое пересечение. Каждая возрастающая цепочка собственных открытых подмножеств S1 ⊆ S2 ⊆ … в (X, <) не покрывает X.

Гиперреальное определение

Пространство X является компактным, если его гиперреальное расширение X (построенное, например, с помощью ультрастепенной конструкции) обладает свойством, что каждая точка X бесконечно близка к некоторой точке X, содержащейся в *X. Например, открытый вещественный интервал не является компактным, поскольку его гиперреальное расширение (0,1) содержит бесконечно малые величины, которые бесконечно близки к 0, а 0 не является точкой X.

Свойства компактных пространств

Компактное подмножество пространства Хаусдорфа X замкнуто. Если X не является хаусдорфовым, то компактное подмножество X может не быть замкнутым подмножеством X (см. примечание, например). Если X не является хаусдорфовым, то замыкание компактного множества может не быть компактным (см. примечание, например). В любом топологическом векторном пространстве (TVS) компактное подмножество является полным. Однако, каждое нехаусдорфово TVS содержит компактные (и, следовательно, полные) подмножества, которые не являются замкнутыми. Если A и B – непересекающиеся компактные подмножества пространства Хаусдорфа X, то существуют непересекающиеся открытые множества U и V в X, такие что A ⊆ U и B ⊆ V. Непрерывная биекция из компактного пространства в пространство Хаусдорфа является гомеоморфизмом. Компактное хаусдорфово пространство нормально и регулярно. Если пространство X компактно и хаусдорфово, то никакая более тонкая топология на X не является компактной, и никакая более грубая топология на X не является хаусдорфовой. Если подмножество метрического пространства (X, d) компактно, то оно d-ограничено.

Функции и компактные пространства

Поскольку непрерывное отображение компактного пространства является компактным, теорема о наибольшем и наименьшем значениях справедлива для таких пространств: непрерывная вещественнозначная функция на непустом компактном пространстве ограничена сверху и достигает своей супремума. (В несколько более общем случае, это верно и для верхней полунепрерывной функции.) Как бы в обратную к вышесказанному, прообраз компактного пространства при корректном отображении является компактным.

Компактификации

Каждое топологическое пространство X является открытым плотным подпространством компактного пространства, содержащего не более чем на одну точку больше, чем X, посредством компактификации Александрова одной точкой. Аналогичным построением, каждое локально компактное хаусдорфово пространство X является открытым плотным подпространством компактного хаусдорфова пространства, содержащего не более чем на одну точку больше, чем X.

Порядочные компактные пространства

Непустое компактное подмножество действительных чисел имеет наибольший и наименьший элементы. Пусть X — линейно упорядоченное множество, наделённое топологией порядка. Тогда X компактно тогда и только тогда, когда X является полной решёткой (то есть все подмножества имеют супремум и инфимум).

Примеры

Любое конечное топологическое пространство, включая пустое множество, компактно. Более общим образом, любое пространство с конечной топологией (только конечное число открытых множеств) является компактным; это включает в себя, в частности, тривиальную топологию. Любое пространство, наделенное кофинитной топологией, компактно. Любое локально компактное пространство Хаусдорфа может быть превращено в компактное пространство путем добавления к нему одной точки посредством компактификации Александрова одной точкой. Одноточечная компактификация плоскости гомеоморфна окружности S¹; одноточечная компактификация гомеоморфна сфере S². Используя компактификацию одной точкой, можно также легко построить компактные пространства, которые не являются хаусдорфовыми, начиная с нехаусдорфова пространства. Топология правого порядка или топология левого порядка на любом ограниченном вполне упорядоченном множестве компактна. В частности, пространство Серпинского компактно. Ни одно дискретное пространство с бесконечным числом точек не является компактным. Коллекция всех одноэлементных множеств пространства является открытым покрытием, не допускающим конечного подпокрытия. Конечные дискретные пространства компактны. В пространстве с топологией нижнего предела никакое несчетное множество не является компактным. В сосчетной топологии на несчетном множестве никакое бесконечное множество не является компактным. Как и в предыдущем примере, пространство в целом не локально компактно, но все еще является Линделёфом. Закрытый интервал [a, b] компактен. Это следует из теоремы Хайне-Бореля. Открытый интервал (a, b) не компактен: открытое покрытие не имеет конечного подпокрытия. Аналогично, множество рациональных чисел в замкнутом интервале [a, b] не является компактным: множества рациональных чисел в интервалах (q - ε/n, q + ε/n) покрывают все рациональные числа в [a, b] для n > 0, но это покрытие не имеет конечного подпокрытия. Здесь множества открыты в топологии подпространства, хотя они не открыты как подмножества множества всех действительных чисел не компактно, поскольку существует покрытие открытыми интервалами, которое не имеет конечного подпокрытия. Например, интервалы (n, n+1), где n принимает все целые значения из Z, покрывают R, но не существует конечного подпокрытия. С другой стороны, расширенная числовая прямая, наделенная аналогичной топологией, компактна; обратите внимание, что описанное выше покрытие никогда не достигнет точек на бесконечности и, следовательно, не покроет расширенную числовую прямую. Фактически, множество имеет гомеоморфизм в [−1, 1], отображающий каждую бесконечность в соответствующую единицу и каждое действительное число в его знак, умноженный на единственное число в положительной части интервала, которое приводит к его абсолютной величине при делении на один минус себя, и поскольку гомеоморфизмы сохраняют покрытия, можно сделать вывод о свойстве Хайне-Бореля. Для каждого натурального числа n, n-сфера компактна. Опять же, из теоремы Хайне-Бореля, замкнутый единичный шар любого конечномерного нормированного векторного пространства компактен. Это неверно для бесконечных размерностей; на самом деле, нормированное векторное пространство конечномерно тогда и только тогда, когда его замкнутый единичный шар компактен. С другой стороны, замкнутый единичный шар дуального пространства нормированного пространства компактен в слабой-* топологии (теорема Алаоглу). Множество Кантора компактно. Фактически, каждое компактное метрическое пространство является непрерывным образом множества Кантора. Рассмотрим множество K всех функций f: R → [0, 1] из прямой действительных чисел в замкнутый интервал единиц и определим топологию на K так, что последовательность в K сходится к f ∈ K тогда и только тогда, когда fₙ(x) сходится к f(x) для всех действительных чисел x. Существует только одна такая топология; она называется топологией поточечной сходимости или топологией произведения. Тогда K является компактным топологическим пространством; это следует из теоремы Тихонова. Подмножество пространства Банаха вещественнозначных непрерывных функций на компактном пространстве Хаусдорфа относительно компактно тогда и только тогда, когда оно равнонепрерывно и ограничено точечно (теорема Арцела-Асколи). Рассмотрим множество K всех функций, удовлетворяющих условию Липшица |f(x) - f(y)| ≤ L|x - y| для всех x, y. Рассмотрим на K метрику, индуцированную равномерным расстоянием. Тогда, по теореме Арцела-Асколи, пространство K компактно. Спектр любого ограниченного линейного оператора в пространстве Банаха является непустым компактным подмножеством комплексных чисел. Обратно, любое компактное подмножество C возникает таким образом, как спектр некоторого ограниченного линейного оператора. Например, диагональный оператор в гильбертовом пространстве l² может иметь в качестве спектра любое компактное непустое подмножество C. Пространство борелевских вероятностных мер на компактном пространстве Хаусдорфа компактно в слабой топологии, по теореме Алаоглу. Коллекция вероятностных мер на борелевских множествах евклидова пространства называется слабой, если для любого положительного ε существует компактное подмножество, содержащее все, кроме не более ε массы каждой из мер. Теорема Хелли тогда утверждает, что коллекция вероятностных мер относительно компактна в слабой топологии тогда и только тогда, когда она слабая.

Any finite topological space, including the empty set, is compact. More generally, any space with a finite topology (only finitely many open sets) is compact; this includes in particular the trivial topology. Any space carrying the cofinite topology is compact. Any locally compact Hausdorff space can be turned into a compact space by adding a single point to it, by means of Alexandroff one point compactification. The one point compactification of is homeomorphic to the circle 'S'^(1); the one point compactification of is homeomorphic to the sphere 'S'^(2). Using the one point compactification, one can also easily construct compact spaces which are not Hausdorff, by starting with a non Hausdorff space. The right order topology or left order topology on any bounded totally ordered set is compact. In particular, Sierpiński space is compact. No discrete space with an infinite number of points is compact. The collection of all singletons of the space is an open cover which admits no finite subcover. Finite discrete spaces are compact. In carrying the lower limit topology, no uncountable set is compact. In the cocountable topology on an uncountable set, no infinite set is compact. Like the previous example, the space as a whole is not locally compact but is still Lindelöf. The closed unit interval is compact. This follows from the Heine–Borel theorem. The open interval is not compact: the open cover for does not have a finite subcover. Similarly, the set of rational numbers in the closed interval is not compact: the sets of rational numbers in the intervals cover all the rationals in [0, 1] for but this cover does not have a finite subcover. Here, the sets are open in the subspace topology even though they are not open as subsets of The set of all real numbers is not compact as there is a cover of open intervals that does not have a finite subcover. For example, intervals , where n takes all integer values in 'Z', cover but there is no finite subcover. On the other hand, the extended real number line carrying the analogous topology is compact; note that the cover described above would never reach the points at infinity and thus would not cover the extended real line. In fact, the set has the homeomorphism to [−1, 1] of mapping each infinity to its corresponding unit and every real number to its sign multiplied by the unique number in the positive part of interval that results in its absolute value when divided by one minus itself, and since homeomorphisms preserve covers, the Heine Borel property can be inferred. For every natural number n, the n sphere is compact. Again from the Heine–Borel theorem, the closed unit ball of any finite dimensional normed vector space is compact. This is not true for infinite dimensions; in fact, a normed vector space is finite dimensional if and only if its closed unit ball is compact. On the other hand, the closed unit ball of the dual of a normed space is compact for the weak * topology. (Alaoglu's theorem)
The Cantor set is compact. In fact, every compact metric space is a continuous image of the Cantor set. Consider the set K of all functions f : → [0, 1] from the real number line to the closed unit interval, and define a topology on K so that a sequence in K converges towards f ∈ K if and only if converges towards f(x) for all real numbers x. There is only one such topology; it is called the topology of pointwise convergence or the product topology. Then K is a compact topological space; this follows from the Tychonoff theorem. A subset of the Banach space of real valued continuous functions on a compact Hausdorff space is relatively compact if and only if it is equicontinuous and pointwise bounded (Arzelà–Ascoli theorem). Consider the set K of all functions satisfying the Lipschitz condition for all Consider on K the metric induced by the uniform distance Then by the Arzelà–Ascoli theorem the space K is compact. The spectrum of any bounded linear operator on a Banach space is a nonempty compact subset of the complex numbers Conversely, any compact subset of arises in this manner, as the spectrum of some bounded linear operator. For instance, a diagonal operator on the Hilbert space may have any compact nonempty subset of as spectrum. The space of Borel probability measures on a compact Hausdorff space is compact for the vague topology, by the Alaoglu theorem. A collection of probability measures on the Borel sets of Euclidean space is called tight if, for any positive epsilon, there exists a compact subset containing all but at most epsilon of the mass of each of the measures. Helly's theorem then asserts that a collection of probability measures is relatively compact for the vague topology if and only if it is tight.

Алгебраические примеры

Топологические группы, такие как ортогональная группа, компактны, а группы, такие как общая линейная группа, – нет. Поскольку p-адические целые числа гомеоморфны множеству Кантора, они образуют компактное множество. Любое глобальное поле K является дискретной аддитивной подгруппой в его кольце аделей, а фактор-пространство компактно. Это было использовано в диссертации Джона Тейта, чтобы позволить применять гармонический анализ в теории чисел. Спектр любого коммутативного кольца с топологией Зариски (то есть множество всех простых идеалов) компактен, но никогда не является хаусдорфовым (за исключением тривиальных случаев). В алгебраической геометрии такие топологические пространства являются примерами квазикомпактных схем, где "квази" указывает на нехаусдорфовость топологии. Спектр булевой алгебры компактен, что является частью теоремы о представлении Стоуна. Каменные пространства, компактные, полные и хаусдорфовы пространства, образуют абстрактную основу для изучения этих спектров. Такие пространства также полезны при изучении проконечных групп. Пространство структур коммутативной унитальной банаховой алгебры является компактным хаусдорфовым пространством. Куб Гильберта компактен, что опять же является следствием теоремы Тихонова. Проконечная группа (например, группа Галуа) компактна.