Еркін ықтималдық теориясы және оператор алгебралары
Free probability
Еркін ықтималдық теориясы — коммутативті емес кездейсоқ шамаларды зерттейді. "Еркіндік" ұғымы оператор алгебраларындағы изоморфизм мәселесін шешуге көмектеседі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Еркін ықтималдық – коммутативті емес кездейсоқ айнымалыларды зерттейтін математикалық теория. "Еркіндік" немесе еркін тәуелсіздік қасиеті тәуелсіздіктің классикалық түсінігінің аналогы болып табылады және ол еркін өнімдермен байланысты. Бұл теорияны 1986 жыл шамасында Дэн Войкулеску операторлық алгебралар теориясындағы маңызды, әлі шешілмеген проблема – еркін топ факторларының изоморфизмі мәселесін зерттеу үшін бастады. Бірнеше генератордан тұратын еркін топты қарастыра отырып, топ алгебрасы арқылы құрылған фон Нейман алгебрасын қарастыруға болады, ол II1 типіндегі фактор болып табылады. Изоморфизм мәселесі әртүрлі генераторлар саны үшін олардың изоморфты екенін сұрайды. Тіпті екі еркін топ факторының изоморфты екені белгісіз. Бұл Тарскидің еркін топтар мәселесіне ұқсас, ол екі әртүрлі абельдік емес, шекті түрде құрылған еркін топтардың бірдей элементарлық теориясы бар ма деп сұрайды. Кейіннен бұл теория кездейсоқ матрицалар теориясымен, комбинаторикамен, симметриялық топтардың бейнелеуімен, үлкен ауытқулармен, кванттық ақпарат теориясымен және басқа да теориялармен байланыс орнатты. Қазіргі уақытта еркін ықтималдық бойынша белсенді зерттеулер жүргізілуде. Әдетте, кездейсоқ айнымалылар А бірлік алгебрасында жатады, мысалы, C* алгебрасында немесе фон Нейман алгебрасында. Алгебраға коммутативті емес күту, φ: A → C сызықтық функционалымен, мұнда φ(1) = 1, қоса байланысқан. А1, …, Am бірлік субалгебралары еркін тәуелсіз деп есептеледі, егер a1…an көбейтіндісінің күтімі нөлге тең болса, әрбір aj-дің күтімі нөлге тең болса, ол Ak субалгебрасында жатса, жақын тұрған aj субалгебралары бірдей болмаса және n нөлден өзгеше болса. Кездейсоқ айнымалылар еркін тәуелсіз субалгебраларды тудырса, олар еркін тәуелсіз болады. Еркін ықтималдықтың мақсаттарының бірі (әлі толыққан жоқ) – фон Нейман алгебраларының жаңа инварианттарын құру, ал еркін өлшем мұндай инвариант ретінде қарастырылады. Еркін өлшемді құру үшін қолданылатын негізгі құрал – еркін энтропия. Еркін ықтималдықтың кездейсоқ матрицалармен байланысы оны басқа салаларда кеңінен қолданудың басты себебі болып табылады. Войкулеску 1983 жыл шамасында операторлық алгебралық контексте еркіндік ұғымын енгізді; бастапқыда кездейсоқ матрицалармен ешқандай байланыс болған жоқ. Бұл байланыс 1991 жылы ғана Войкулеску арқылы ашылды; оның ынтасы – өзінің еркін орталық шектеу теоремасында тапқан шекті таралудың кездейсоқ матрицалар контекстінде Вигнердің жартылай шеңбер заңында кездескені болды. Терияда еркін кумулятивті функционал (Роланд Шпайхер енгізген) маңызды рөл атқарады. Ол {1, …, n} жиынының қиылыспайтын бөлшектерінің торымен, классикалық кумулятивті функционалдың сол жиынның барлық бөлшектерінің торымен байланысты.
Free probability is a mathematical theory that studies non commutative random variables. The "freeness" or free independence property is the analogue of the classical notion of independence, and it is connected with free products. This theory was initiated by Dan Voiculescu around 1986 in order to attack the free group factors isomorphism problem, an important unsolved problem in the theory of operator algebras. Given a free group on some number of generators, we can consider the von Neumann algebra generated by the group algebra, which is a type II1 factor. The isomorphism problem asks whether these are isomorphic for different numbers of generators. It is not even known if any two free group factors are isomorphic. This is similar to Tarski's free group problem, which asks whether two different non abelian finitely generated free groups have the same elementary theory. Later connections to random matrix theory, combinatorics, representations of symmetric groups, large deviations, quantum information theory and other theories were established. Free probability is currently undergoing active research. Typically the random variables lie in a unital algebra A such as a C* algebra or a von Neumann algebra. The algebra comes equipped with a noncommutative expectation, a linear functional φ: A → C such that φ(1) = 1. Unital subalgebras A1, , Am are then said to be freely independent if the expectation of the product a1 an is zero whenever each aj has zero expectation, lies in an Ak, no adjacent aj's come from the same subalgebra Ak, and n is nonzero. Random variables are freely independent if they generate freely independent unital subalgebras. One of the goals of free probability (still unaccomplished) was to construct new invariants of von Neumann algebras and free dimension is regarded as a reasonable candidate for such an invariant. The main tool used for the construction of free dimension is free entropy. The relation of free probability with random matrices is a key reason for the wide use of free probability in other subjects. Voiculescu introduced the concept of freeness around 1983 in an operator algebraic context; at the beginning there was no relation at all with random matrices. This connection was only revealed later in 1991 by Voiculescu; he was motivated by the fact that the limit distribution which he found in his free central limit theorem had appeared before in Wigner's semi circle law in the random matrix context. The free cumulant functional (introduced by Roland Speicher) plays a major role in the theory. It is related to the lattice of noncrossing partitions of the set { 1, , n } in the same way in which the classic cumulant functional is related to the lattice of all partitions of that set.