Свободная вероятность: математическая теория некоммутативных случайных величин и свободной независимости. Решение проблемы изоморфизма свободных групп.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Свободная вероятность — это математическая теория, изучающая некоммутативные случайные величины. Свойство «свободы» или свободная независимость является аналогом классического понятия независимости и связано со свободными произведениями. Эта теория была инициирована Дэном Войкулеску около 1986 года для решения проблемы изоморфизма факторов свободных групп — важной нерешенной задачи в теории операторных алгебр. Для свободной группы с некоторым числом образующих можно рассмотреть алгебру фон Неймана, порожденную групповой алгеброй, которая является фактором типа II1. Проблема изоморфизма заключается в вопросе, изоморфны ли эти факторы для разных чисел образующих. Даже не известно, изоморфны ли два фактора свободных групп. Это аналогично проблеме Тарского о свободных группах, которая спрашивает, имеют ли две различные неабелевы конечно порожденные свободные группы одну и ту же элементарную теорию. Позднее были установлены связи с теорией случайных матриц, комбинаторикой, представлениями симметрических групп, большими отклонениями, теорией квантовой информации и другими теориями. В настоящее время свободная вероятность активно развивается. Обычно случайные величины лежат в унитальной алгебре A, такой как C*-алгебра или алгебра фон Неймана. Алгебра снабжена некомутативным математическим ожиданием — линейным функционалом φ: A → C, удовлетворяющим условию φ(1) = 1. Унитальные подалгебры A1, …, Am называются свободно независимыми, если математическое ожидание произведения a1…an равно нулю, когда каждое aj имеет нулевое математическое ожидание, лежит в Ak, никакие соседние aj не принадлежат одной и той же подалгебре Ak, и n отлично от нуля. Случайные величины свободно независимы, если они порождают свободно независимые унитальные подалгебры. Одной из целей свободной вероятности (которая пока не достигнута) является построение новых инвариантов алгебр фон Неймана, а свободное измерение рассматривается как разумный кандидат на роль такого инварианта. Основным инструментом для построения свободного измерения является свободная энтропия. Связь свободной вероятности со случайными матрицами является ключевой причиной широкого применения свободной вероятности в других областях. Войкулеску ввел понятие свободы около 1983 года в контексте операторных алгебр; изначально никакой связи со случайными матрицами не было. Эта связь была установлена позднее, в 1991 году, самим Войкулеску, который был мотивирован тем, что предельное распределение, найденное им в теореме о свободном центральном пределе, ранее встречалось в законе полукруга Вигнера в контексте теории случайных матриц. Свободная кумулятивная функциональная (введенная Роландом Шпайхером) играет важную роль в теории. Она связана с решеткой непересекающихся разбиений множества {1, …, n} так же, как классическая кумулятивная функциональная связана с решеткой всех разбиений этого множества.
Free probability is a mathematical theory that studies non commutative random variables. The "freeness" or free independence property is the analogue of the classical notion of independence, and it is connected with free products. This theory was initiated by Dan Voiculescu around 1986 in order to attack the free group factors isomorphism problem, an important unsolved problem in the theory of operator algebras. Given a free group on some number of generators, we can consider the von Neumann algebra generated by the group algebra, which is a type II1 factor. The isomorphism problem asks whether these are isomorphic for different numbers of generators. It is not even known if any two free group factors are isomorphic. This is similar to Tarski's free group problem, which asks whether two different non abelian finitely generated free groups have the same elementary theory. Later connections to random matrix theory, combinatorics, representations of symmetric groups, large deviations, quantum information theory and other theories were established. Free probability is currently undergoing active research. Typically the random variables lie in a unital algebra A such as a C* algebra or a von Neumann algebra. The algebra comes equipped with a noncommutative expectation, a linear functional φ: A → C such that φ(1) = 1. Unital subalgebras A1, , Am are then said to be freely independent if the expectation of the product a1 an is zero whenever each aj has zero expectation, lies in an Ak, no adjacent aj's come from the same subalgebra Ak, and n is nonzero. Random variables are freely independent if they generate freely independent unital subalgebras. One of the goals of free probability (still unaccomplished) was to construct new invariants of von Neumann algebras and free dimension is regarded as a reasonable candidate for such an invariant. The main tool used for the construction of free dimension is free entropy. The relation of free probability with random matrices is a key reason for the wide use of free probability in other subjects. Voiculescu introduced the concept of freeness around 1983 in an operator algebraic context; at the beginning there was no relation at all with random matrices. This connection was only revealed later in 1991 by Voiculescu; he was motivated by the fact that the limit distribution which he found in his free central limit theorem had appeared before in Wigner's semi circle law in the random matrix context. The free cumulant functional (introduced by Roland Speicher) plays a major role in the theory. It is related to the lattice of noncrossing partitions of the set { 1, , n } in the same way in which the classic cumulant functional is related to the lattice of all partitions of that set.