Кіріспе
Топологиядағы ұғым
In geometric topology and differential topology, an (n + 1) dimensional cobordism W between n dimensional manifolds M and N is an h cobordism (the h stands for homotopy equivalence) if the inclusion maps
are homotopy equivalences. The h'' cobordism theorem gives sufficient conditions for an h cobordism to be trivial, i. e., to be C isomorphic to the cylinder M'' × [0, 1]. Here C refers to any of the categories of smooth, piecewise linear, or topological manifolds. The theorem was first proved by Stephen Smale for which he received the Fields Medal and is a fundamental result in the theory of high dimensional manifolds. For a start, it almost immediately proves the generalized Poincaré conjecture.
Геометриялық топология және дифференциалдық топологияда, егер кіріктіру карталары гомотопиялық эквиваленттер болса, n өлшемді көптүрліліктер M және N арасындағы (n + 1) өлшемді кобордизм W, h-кобордизм (мұндағы h – гомотопиялық эквиваленттілік) деп аталады. h-кобордизм теоремасы h-кобордизмнің тривиалды болуы үшін жеткілікті шарттарды келтіреді, яғни, M × [0, 1] цилиндріне C-изоморфты болуы. Мұнда C – тегіс, кесінділі-сызықтық немесе топологиялық көптүрліліктердің кез келген санаты. Бұл теореманы алғаш Стивен Смейл дәлелдеген, осы еңбегі үшін Филдс медалімен марапатталды және жоғары өлшемді көптүрліліктер теориясының негізгі нәтижесі болып табылады. Алғашқыда, ол жалпыланған Пуанкаре болжамын дерлік бірден дәлелдейді.
In geometric topology and differential topology, an (n + 1) dimensional cobordism W between n dimensional manifolds M and N is an h cobordism (the h stands for homotopy equivalence) if the inclusion maps
are homotopy equivalences. The h'' cobordism theorem gives sufficient conditions for an h cobordism to be trivial, i. e., to be C isomorphic to the cylinder M'' × [0, 1]. Here C refers to any of the categories of smooth, piecewise linear, or topological manifolds. The theorem was first proved by Stephen Smale for which he received the Fields Medal and is a fundamental result in the theory of high dimensional manifolds. For a start, it almost immediately proves the generalized Poincaré conjecture.
Өмірбаян
Смел осы теореманы дәлелдемес бұрын математиктер 3 немесе 4 өлшемді көптүрліліктерді түсінуге тырысқанда қиындыққа тап болды және жоғары өлшемді жағдайлар одан да қиын деп есептеді. h-кобордизм теоремасы 5 немесе одан жоғары өлшемді (жасыраусыз байланысқан) көптүрліліктердің 3 немесе 4 өлшемділерге қарағанда әлдеқайда оңай екенін көрсетті. Теореманың дәлелі Хасслер Уитнидің "Уитнидің тәсіліне" негізделген, ол геометриялық тұрғыдан >4 өлшемді көптүрліліктегі қосымша өлшемді гомологиялық түрде өрілген сфераларды шешіп береді. 3 немесе 4 өлшемді көптүрліліктердің ерекше қиын болуының себебі – бұл тәсіл төмен өлшемдерде жұмыс істемейді, себебі онда өрілуге жеткілікті орын жоқ.
h-кобордизм теоремасының нақты тұжырымдамасы
n кем дегенде 5 болсын және W – M мен N арасындағы C=Diff, PL немесе Top санатындағы (n+1) өлшемді, компактты h-кобордизм болсын, мұнда W, M және N жай байланысқан. Онда W, C бойынша M × [0, 1]-ге изоморфты. Изоморфизмді M × {0} бойынша сәйкестік ретінде таңдауға болады. Бұл M және N арасындағы гомотопиялық теңдестік (немесе M × [0, 1], W және N × [0, 1] арасындағы гомотопиялық теңдестік) C изоморфизміне гомотопиялық екенін білдіреді.
Төмен өлшемді нұсқалар
n = 4 үшін h-кобордизм теоремасы топологиялық тұрғыдан дұрыс (Майкл Фридман 4 өлшемді Уитни амалын қолдана отырып дәлелдеді), бірақ PL және тегіс жағдайда бұрыс (Саймон Дональдсон көрсеткендей). n = 3 үшін тегіс көптүрліліктерге арналған h-кобордизм теоремасы дәлелденбеді және 3 өлшемді Пуанкаре болжамына байланысты, 4 сфераның стандартты емес тегіс құрылымдары бар ма деген қиын мәселеге тең. n = 2 үшін h-кобордизм теоремасы 1904 жылы Пуанкаре ұсынған Пуанкаре болжамымен (Мыңжылдық проблемалардың бірі) эквивалентті және Григорий Перельман 2002 және 2003 жылдары жариялаған үш мақаласында дәлелдеді, онда ол Ричард С. Гамильтонның Риччи ағыны бағдарламасын қолданды. n = 1 үшін h-кобордизм теоремасы мәнсіз түрде дұрыс, себебі жабық, жай ғана байланысқан 1 өлшемді көптүрлілік жоқ. n = 0 үшін h-кобордизм теоремасы тривиальды түрде дұрыс: кесінді – байланысқан 0-өлшемді көптүрліліктер арасындағы жалғыз байланысқан кобордизм.