Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Понятие в топологии
Concept in topology
В геометрической топологии и дифференциальной топологии (n + 1)-мерный кобордизм W между n-мерными многообразиями M и N является h-кобордизмом (где h означает гомотопическую эквивалентность), если карты включения
In geometric topology and differential topology, an (n + 1) dimensional cobordism W between n dimensional manifolds M and N is an h cobordism (the h stands for homotopy equivalence) if the inclusion maps
являются гомотопическими эквивалентностями. Теорема об h-кобордизмах дает достаточные условия для того, чтобы h-кобордизм был тривиальным, то есть C-изоморфным цилиндру M × [0, 1]. Здесь C относится к любой из категорий гладких, кусочно-линейных или топологических многообразий. Теорема была впервые доказана Стивеном Смалем, за что он получил Филдсовскую премию, и является фундаментальным результатом в теории многообразий высоких размерностей. В частности, она почти сразу доказывает обобщенную гипотезу Пуанкаре.
are homotopy equivalences. The h'' cobordism theorem gives sufficient conditions for an h cobordism to be trivial, i. e., to be C isomorphic to the cylinder M'' × [0, 1]. Here C refers to any of the categories of smooth, piecewise linear, or topological manifolds. The theorem was first proved by Stephen Smale for which he received the Fields Medal and is a fundamental result in the theory of high dimensional manifolds. For a start, it almost immediately proves the generalized Poincaré conjecture.
Предыстория
До того, как Смел доказал эту теорему, математики столкнулись с трудностями, пытаясь понять многообразия размерности 3 или 4, и полагали, что случаи более высоких размерностей еще сложнее. Теорема h-кобордизма показала, что (просто связные) многообразия размерности не менее 5 значительно проще, чем многообразия размерности 3 или 4. Доказательство теоремы опирается на "трюк Уитни" Хасслера Уитни, который геометрически разделяет гомологически переплетенные сферы дополнительной размерности в многообразии размерности > 4. Неформальное объяснение необычной сложности многообразий размерности 3 или 4 заключается в том, что этот трюк не работает в меньших размерностях, где нет места для переплетения.
Before Smale proved this theorem, mathematicians became stuck while trying to understand manifolds of dimension 3 or 4, and assumed that the higher dimensional cases were even harder. The h cobordism theorem showed that (simply connected) manifolds of dimension at least 5 are much easier than those of dimension 3 or 4. The proof of the theorem depends on the "Whitney trick" of Hassler Whitney, which geometrically untangles homologically tangled spheres of complementary dimension in a manifold of dimension >4. An informal reason why manifolds of dimension 3 or 4 are unusually hard is that the trick fails to work in lower dimensions, which have no room for entanglement.
Точное утверждение теоремы h-кобордизма
Пусть n не меньше 5 и пусть W — компактный (n + 1)-мерный h-кобордизм между M и N в категории C = Diff, PL или Top, при этом W, M и N простосвязны. Тогда W C-изоморфен M × [0, 1]. Изоморфизм можно выбрать тождественным на M × {0}. Это означает, что гомотопическая эквивалентность между M и N (или между M × [0, 1], W и N × [0, 1]) гомотопична C-изоморфизму.
Let n be at least 5 and let W be a compact (n + 1) dimensional h cobordism between M and N in the category C=Diff, PL, or Top such that W, M and N are simply connected. Then W is C isomorphic to M × [0, 1]. The isomorphism can be chosen to be the identity on M × {0}. This means that the homotopy equivalence between M and N (or, between M × [0, 1], W and N × [0, 1]) is homotopic to a C isomorphism.
Версии с более низкими размерами
Для n = 4 теорема о кобордизмах h верна в топологическом смысле (доказана Майклом Фридманом с использованием 4-мерного трюка Уитни), но не верна в PL и дифференцируемой категориях (как показал Саймон Дональдсон). Для n = 3 теорема о кобордизмах h для гладких многообразий не доказана и, в силу трехмерной гипотезы Пуанкаре, эквивалентна сложному открытому вопросу о том, существуют ли нестандартные дифференцируемые структуры на 4-сфере. Для n = 2 теорема о кобордизмах h эквивалентна гипотезе Пуанкаре, сформулированной Пуанкаре в 1904 году (одной из задач тысячелетия), и была доказана Григорием Перельманом в серии из трех статей в 2002 и 2003 годах, в которых он развивает программу Ричарда С. Гамильтона, используя поток Риччи. Для n = 1 теорема о кобордизмах h тривиально выполняется, поскольку не существует замкнутого односвязного 1-мерного многообразия. Для n = 0 теорема о кобордизмах h очевидна: интервал — единственный связный кобордизм между связными 0-мерными многообразиями.
For n = 4, the h cobordism theorem is true topologically (proved by Michael Freedman using a 4 dimensional Whitney trick) but is false PL and smoothly (as shown by Simon Donaldson). For n = 3, the h cobordism theorem for smooth manifolds has not been proved and, due to the 3 dimensional Poincaré conjecture, is equivalent to the hard open question of whether the 4 sphere has non standard smooth structures. For n = 2, the h cobordism theorem is equivalent to the Poincaré conjecture stated by Poincaré in 1904 (one of the Millennium Problems) and was proved by Grigori Perelman in a series of three papers in 2002 and 2003, where he follows Richard S. Hamilton's program using Ricci flow. For n = 1, the h cobordism theorem is vacuously true, since there is no closed simply connected 1 dimensional manifold. For n = 0, the h cobordism theorem is trivially true: the interval is the only connected cobordism between connected 0 manifolds.