Кіріспе

8 өлшемді Евклид кеңістігіндегі айналу тобы

Математикада SO(8) – сегіз өлшемді Евклид кеңістігінде әрекет ететін арнайы ортогоналды топ. Ол 4-ші рангі және 28 өлшемді нақты немесе кешенді қарапайым Ли тобы болуы мүмкін.

Оралу (8

Барлық арнайы ортогональды топтар сияқты, SO(8) жай ғана байланысты емес, оның негізгі тобы Z2-ге изоморфты. SO(8) үшін әмбебап жабын – спин тобы Spin(8) болып табылады.

Орталығы

SO(8) центрі Z2, диагональдық матрицалар {±I} (барлық SO(2n үшін, 2n ≥ 4), ал Spin(8) центрі Z2×Z2 (барлық Spin(4n үшін, 4n ≥ 4).

Үштік

SO(8) қарапайым Лай топтарының арасында бірегей болып табылады, өйткені оның Динкин диаграммасы (Динкин классификациясы бойынша D4) үш еселі симметрияға ие. Бұл Spin(8)-нің ерекше қасиеті – триалдылыққа әкеледі. Осыған байланысты Spin(8)-нің екі спинорлық өкілдігі, сондай-ақ негізгі векторлық өкілдігі де сегіз өлшемді (барлық басқа спин топтары үшін спинорлық өкілдік векторлық өкілдіктен кіші немесе үлкен). Spin(8)-нің триалдылық автоморфизмі, Spin(8)-нің сыртқы автоморфизмдер тобында орналасады, бұл топ осы үш өкілдікті ауыстыратын S3 симметриялық тобына изоморфты. Автоморфизм тобы Z2 x Z2 центрінде әрекет етеді (оның S3-ке изоморфты автоморфизм тобы бар, оны екі элементі бар шекті өрістегі жалпы сызықтық топ ретінде де қарастыруға болады, S3 ≅ GL(2,2)). Егер Spin(8)-ді бір орталық Z2-ге бөлгенде, осы симметрияны бұзып, SO(8) алса, қалған сыртқы автоморфизм тобы тек Z2 ғана болады. Триалдылық симметриясы SO(8)/Z2 қосымша бөлшегіне қайтадан әсер етеді. Кейде Spin(8) Spin(8) автоморфизм тобы ретінде "кеңейтілген" нысанда кездеседі, ол жартылай тікелей көбейту ретінде жіктеледі: Aut(Spin(8)) ≅ PSO(8) ⋊ S3.

Октонион бірлігі

SO(8) элементтері, SO(2) элементтері бірлік кешенді сандармен және SO(4) элементтері бірлік кватерниондармен сипатталғандай, октонион бірліктерімен сипатталуы мүмкін. Дегенмен, бұл қатынас октониондардың ассоциативті еместігіне байланысты күрделірек. SO(8) кез келген элементін 7 сол жақ көбейту, 7 оң жақ көбейту және 7 бірлік октониондармен бімультипликацияның көбейтіндісі ретінде сипаттауға болады (бімультипликация – бір октонионмен сол жақ және оң жақ көбейтудің композициясы, және Мофанг теңдеулеріне бағынатындықтан бірегей түрде анықталады). 8 өлшемді кеңістіктегі бастапқы нүктеге қатысты көрістің жұптары бірлік октониондармен бімультипликация жұптарына сәйкес екенін көрсету арқылы SO(8) элементін бімультипликация арқылы құруға болатынын көрсетуге болады. Төменде сипатталған Spin(8) триалды автоморфизмі сол жақ және оң жақ көбейтулермен ұқсас құрылымдарды ұсынады.

Октониондар мен триалдық

Егер және , онда бұл эквивалентті екенін көрсетуге болады , яғни бұл түсініксіздіксіз. Осы тепе-теңдікті сақтайтын карталардың үштігі изотопия деп аталады, сондықтан . Егер изотопияның үш картасы болса, онда бұл изотопия ортогональды изотопия деп аталады. Егер , онда жоғарыда айтылғандай, бұл бірлік октонийлердің екі еселенген көбейтіндісінің көбейтіндісі ретінде сипатталуы мүмкін, мысалы, . Осы бірлік октонийлердің конъюгаттарының (яғни көбейтуге кері шамаларының) сол және оң көбейтінділеріне сәйкес келетін көбейтінділер болсын, сондықтан , қарапайым есептеулер бұл изотопия екенін көрсетеді. Октониондардың ассоциативтілігі болмағандықтан, үшін ғана екінші ортогональды изотопия болады. Ортогональды изотопиялар жиыны 2:1 жамылғы құрайды, сондықтан олар болып табылуы керек. Октониондардың көбейтуге кері шамалары екі жақты, яғни эквивалентті. Бұл дегеніміз, берілген изотопияны циклдық түрде ауыстыру арқылы екі қосымша изотопия және алуға болады. Бұл 3-ретті сыртқы автоморфизмді тудырады. Бұл "триалдық" автоморфизм спин тобында ерекше. , үшін триалдық автоморфизм жоқ, себебі берілген карталар тек белгіге дейін ғана бірегей анықталады.

Вейл тобы

Оның Вейл/Коксетер тобы 4! × 8 = 192 элементтен тұрады.