Введение

Ротационная группа в 8-мерном евклидовом пространстве

В математике SO(8) — специальная ортогональная группа, действующая в восьмимерном евклидовом пространстве. Она может быть как вещественной, так и комплексной простой группой Ли ранга 4 и размерности 28.

Спин ((8)

Как и все специальные ортогональные группы, SO(8) не является односвязным, имея фундаментальную группу, изоморфную Z2. Универсальным накрытием SO(8) является спиновая группа Spin(8).

Центр

Центр SO(8) — Z2, диагональные матрицы {±I} (как и для всех SO(2n) при 2n ≥ 4), а центр Spin(8) — Z2×Z2 (как и для всех Spin(4n) при 4n ≥ 4).

Триалитет

SO(8) уникальна среди простых групп Ли тем, что её диаграмма Динкина (D4 в классификации Динкина) обладает трехкратной симметрией. Это порождает специфическую особенность Spin(8), известную как триальность. Связано с этим то, что два спинорных представления, а также фундаментальное векторное представление Spin(8), все являются восьмимерными (для всех остальных спиновых групп спинорное представление либо меньше, либо больше векторного представления). Автоморфизм триальности Spin(8) действует во внешней группе автоморфизмов Spin(8), которая изоморфна симметрической группе S3, переставляющей эти три представления. Группа автоморфизмов действует на центр Z2 × Z2 (который также имеет группу автоморфизмов, изоморфную S3, которую также можно рассматривать как общую линейную группу над конечным полем из двух элементов, S3 ≅ GL(2,2)). Когда Spin(8) факторизуют по одному центральному Z2, нарушая эту симметрию и получая SO(8), оставшаяся внешняя группа автоморфизмов состоит только из Z2. Симметрия триальности снова действует на дальнейшую факторизацию SO(8)/Z2. Иногда Spin(8) возникает естественным образом в "расширенной" форме, как группа автоморфизмов Spin(8), которая распадается на полупрямое произведение: Aut(Spin(8)) ≅ PSO(8) ⋊ S3.

Единица октонионов

Элементы SO(8) могут быть описаны с помощью октонионов единичной нормы, аналогично тому, как элементы SO(2) могут быть описаны с помощью комплексных чисел единичной нормы, а элементы SO(4) – с помощью кватернионов единичной нормы. Однако эта связь более сложна, отчасти из-за неассоциативности октонионов. Общий элемент в SO(8) может быть представлен как произведение семи левых умножений, семи правых умножений и семи бимультипликаций на октонионы единичной нормы (бимультипликация – это композиция левого и правого умножения на один и тот же октонион, однозначно определенная благодаря выполнению октонионами тождеств Муфанга). Можно показать, что элемент SO(8) может быть сконструирован с помощью бимультипликаций, предварительно доказав, что пары отражений относительно начала координат в восьмимерном пространстве соответствуют парам бимультипликаций на октонионы единичной нормы. Автоморфизм триальности Spin(8), описанный ниже, предоставляет аналогичные конструкции с использованием левых и правых умножений.

Октонионы и триальность

Если и , то можно показать, что это эквивалентно , то есть однозначно. Тройка отображений , сохраняющих это тождество, так что , называется изотопией. Если три отображения изотопии принадлежат , то изотопия называется ортогональной изотопией. Если , то, следуя вышесказанному, можно описать как произведение бимультипликаций единичных октонионов, например, Пусть будет соответствующим произведением левого и правого умножения на сопряженные (то есть мультипликативные обратные) те же единичные октонионы, так что , простой расчет показывает, что это изотопия. В результате неассоциативности октонионов, единственная другая ортогональная изотопия для является . Поскольку множество ортогональных изотопий образует двукратное накрытие , они на самом деле должны быть . Мультипликативные обратные октонионов двусторонние, что означает, что эквивалентно . Это означает, что данная изотопия может быть циклически переставлена, чтобы получить еще две изотопии и . Это порождает внешний автоморфизм порядка 3. Этот "триальный" автоморфизм является исключительным среди спиновых групп. Автоморфизма триальности для не существует, поскольку для заданного соответствующие отображения однозначно определены только с точностью до знака.

Группа Вейла

Его группа Вейля/Коксетера содержит 4! × 8 = 192 элемента.