Кіріспе
Өкілдік теориясындағы бейнелеу түрі
Өкілдік теориясының математикалық саласында нақты бейнелеу әдетте U нақты векторлық кеңістігіндегі бейнелеу болып табылады, бірақ ол V күрделі векторлық кеңістігінде инвариантты нақты құрылымы бар бейнелеуді де білдіре алады, яғни, сызықтық емес эквивариантты түрлендіру.
In the mathematical field of representation theory a real representation is usually a representation on a real vector space U, but it can also mean a representation on a complex vector space V with an invariant real structure, i. e., an antilinear equivariant map
which satisfies
The two viewpoints are equivalent because if U is a real vector space acted on by a group G (say), then V = U⊗C is a representation on a complex vector space with an antilinear equivariant map given by complex conjugation. Conversely, if V is such a complex representation, then U can be recovered as the fixed point set of j (the eigenspace with eigenvalue 1). In physics, where representations are often viewed concretely in terms of matrices, a real representation is one in which the entries of the matrices representing the group elements are real numbers. These matrices can act either on real or complex column vectors. A real representation on a complex vector space is isomorphic to its complex conjugate representation, but the converse is not true: a representation which is isomorphic to its complex conjugate but which is not real is called a pseudoreal representation. An irreducible pseudoreal representation V is necessarily a quaternionic representation: it admits an invariant quaternionic structure, i. e., an antilinear equivariant map
which satisfies
A direct sum of real and quaternionic representations is neither real nor quaternionic in general. A representation on a complex vector space can also be isomorphic to the dual representation of its complex conjugate. This happens precisely when the representation admits a nondegenerate invariant sesquilinear form, e. g. a hermitian form. Such representations are sometimes said to be complex or (pseudo )hermitian.
Бұл түрлендіру келесіні қанағаттандырады:
In the mathematical field of representation theory a real representation is usually a representation on a real vector space U, but it can also mean a representation on a complex vector space V with an invariant real structure, i. e., an antilinear equivariant map
which satisfies
The two viewpoints are equivalent because if U is a real vector space acted on by a group G (say), then V = U⊗C is a representation on a complex vector space with an antilinear equivariant map given by complex conjugation. Conversely, if V is such a complex representation, then U can be recovered as the fixed point set of j (the eigenspace with eigenvalue 1). In physics, where representations are often viewed concretely in terms of matrices, a real representation is one in which the entries of the matrices representing the group elements are real numbers. These matrices can act either on real or complex column vectors. A real representation on a complex vector space is isomorphic to its complex conjugate representation, but the converse is not true: a representation which is isomorphic to its complex conjugate but which is not real is called a pseudoreal representation. An irreducible pseudoreal representation V is necessarily a quaternionic representation: it admits an invariant quaternionic structure, i. e., an antilinear equivariant map
which satisfies
A direct sum of real and quaternionic representations is neither real nor quaternionic in general. A representation on a complex vector space can also be isomorphic to the dual representation of its complex conjugate. This happens precisely when the representation admits a nondegenerate invariant sesquilinear form, e. g. a hermitian form. Such representations are sometimes said to be complex or (pseudo )hermitian.
Екі көзқарас эквивалентті, себебі егер U G тобының әрекетіне ұшырасатын нақты векторлық кеңістік болса, онда V = U ⊗ C күрделі конъюгация арқылы берілген антилинейлік эквивариантты түрлендіруі бар күрделі векторлық кеңістігіндегі бейнелеу болады. Керісінше, егер V осындай күрделі бейнелеу болса, онда U j-нің инвариантты нүктелер жиыны ретінде (1 өзіндік мәні бар өзіндік кеңістік) қалпына келтіріледі. Физикада, онда бейнелеулер көбінесе матрицалар арқылы нақты түрде қарастырылады, нақты бейнелеу – бұл топ элементтерін бейнелейтін матрицалардың жазбалары нақты сандардан тұрады. Бұл матрицалар нақты немесе күрделі бағана векторларында әрекет ете алады. Күрделі векторлық кеңістіктегі нақты бейнелеу оның күрделі конъюгацияланған бейнелеуіне изоморфты, бірақ керісінше дұрыс емес: күрделі конъюгацияланған бейнелеуге изоморфты, бірақ нақты емес бейнелеу псевдо-нақты бейнелеу деп аталады. V азайтылмайтын псевдо-нақты бейнелеу міндетті түрде кватерниондық бейнелеу болып табылады: ол инвариантты кватерниондық құрылымды, яғни сызықтық емес эквивариантты түрлендіруді қабылдайды.
In the mathematical field of representation theory a real representation is usually a representation on a real vector space U, but it can also mean a representation on a complex vector space V with an invariant real structure, i. e., an antilinear equivariant map
which satisfies
The two viewpoints are equivalent because if U is a real vector space acted on by a group G (say), then V = U⊗C is a representation on a complex vector space with an antilinear equivariant map given by complex conjugation. Conversely, if V is such a complex representation, then U can be recovered as the fixed point set of j (the eigenspace with eigenvalue 1). In physics, where representations are often viewed concretely in terms of matrices, a real representation is one in which the entries of the matrices representing the group elements are real numbers. These matrices can act either on real or complex column vectors. A real representation on a complex vector space is isomorphic to its complex conjugate representation, but the converse is not true: a representation which is isomorphic to its complex conjugate but which is not real is called a pseudoreal representation. An irreducible pseudoreal representation V is necessarily a quaternionic representation: it admits an invariant quaternionic structure, i. e., an antilinear equivariant map
which satisfies
A direct sum of real and quaternionic representations is neither real nor quaternionic in general. A representation on a complex vector space can also be isomorphic to the dual representation of its complex conjugate. This happens precisely when the representation admits a nondegenerate invariant sesquilinear form, e. g. a hermitian form. Such representations are sometimes said to be complex or (pseudo )hermitian.
Нақты және кватерниондық бейнелеулердің тікелей қосындысы, әдетте, нақты да, кватерниондық та емес. Күрделі векторлық кеңістігіндегі бейнелеу оның күрделі конъюгатының дуалды бейнелеуіне изоморфты болуы мүмкін. Бұл дәл сол бейнелеуде дегенерацияланбаған инвариантты сесквилинейлік форманы, мысалы, гермиттік форманы қабылдағанда болады. Мұндай бейнелеулер кейде күрделі немесе (псевдо) гермитиандық деп аталады.
In the mathematical field of representation theory a real representation is usually a representation on a real vector space U, but it can also mean a representation on a complex vector space V with an invariant real structure, i. e., an antilinear equivariant map
which satisfies
The two viewpoints are equivalent because if U is a real vector space acted on by a group G (say), then V = U⊗C is a representation on a complex vector space with an antilinear equivariant map given by complex conjugation. Conversely, if V is such a complex representation, then U can be recovered as the fixed point set of j (the eigenspace with eigenvalue 1). In physics, where representations are often viewed concretely in terms of matrices, a real representation is one in which the entries of the matrices representing the group elements are real numbers. These matrices can act either on real or complex column vectors. A real representation on a complex vector space is isomorphic to its complex conjugate representation, but the converse is not true: a representation which is isomorphic to its complex conjugate but which is not real is called a pseudoreal representation. An irreducible pseudoreal representation V is necessarily a quaternionic representation: it admits an invariant quaternionic structure, i. e., an antilinear equivariant map
which satisfies
A direct sum of real and quaternionic representations is neither real nor quaternionic in general. A representation on a complex vector space can also be isomorphic to the dual representation of its complex conjugate. This happens precisely when the representation admits a nondegenerate invariant sesquilinear form, e. g. a hermitian form. Such representations are sometimes said to be complex or (pseudo )hermitian.
Мысалдар
Симметриялық топтардың барлық өрнектері нақты (және іс жүзінде рационалды), себебі біз Янг кестелерін пайдаланып, ирредукцияланатын өрнектердің толық жиынтығын құра аламыз. Жіпті өлшемді кеңістіктердегі айналу топтарының барлық өрнектері нақты, себебі олардың барлығы негізгі өрнектің көшірмелерінің тензорлық көбейтінділерінің ішкі өрнектері ретінде келеді, ал ол нақты. Нақты өрнектердің басқа мысалдары – k = 1, 2, 3 үшін 8k−1, 8k және 8k+1 өлшемдеріндегі спин топтарының спинорлық өрнектері. Бұл 8-ге қарайғы кезеңділік математикада Клиффорд алгебраларының теориясында ғана емес, сондай-ақ алгебралық топологияда, KO теориясында да белгілі; спинорлық өрнектерді және Ботт кезеңділігін қараңыз.