Введение
Тип представления в теории представлений. В математической области теории представлений, реальное представление обычно понимается как представление на вещественном векторном пространстве U, но также может означать представление на комплексном векторном пространстве V с инвариантной вещественной структурой, то есть антилинейным эквивариантным отображением, удовлетворяющим условию
In the mathematical field of representation theory a real representation is usually a representation on a real vector space U, but it can also mean a representation on a complex vector space V with an invariant real structure, i. e., an antilinear equivariant map
which satisfies
The two viewpoints are equivalent because if U is a real vector space acted on by a group G (say), then V = U⊗C is a representation on a complex vector space with an antilinear equivariant map given by complex conjugation. Conversely, if V is such a complex representation, then U can be recovered as the fixed point set of j (the eigenspace with eigenvalue 1). In physics, where representations are often viewed concretely in terms of matrices, a real representation is one in which the entries of the matrices representing the group elements are real numbers. These matrices can act either on real or complex column vectors. A real representation on a complex vector space is isomorphic to its complex conjugate representation, but the converse is not true: a representation which is isomorphic to its complex conjugate but which is not real is called a pseudoreal representation. An irreducible pseudoreal representation V is necessarily a quaternionic representation: it admits an invariant quaternionic structure, i. e., an antilinear equivariant map
which satisfies
A direct sum of real and quaternionic representations is neither real nor quaternionic in general. A representation on a complex vector space can also be isomorphic to the dual representation of its complex conjugate. This happens precisely when the representation admits a nondegenerate invariant sesquilinear form, e. g. a hermitian form. Such representations are sometimes said to be complex or (pseudo )hermitian.
Эти две точки зрения эквивалентны, поскольку если U – вещественное векторное пространство, на котором действует группа G (например), то V = U ⊗ C является представлением на комплексном векторном пространстве с антилинейным эквивариантным отображением, заданным комплексным сопряжением. Обратно, если V – такое комплексное представление, то U можно восстановить как множество неподвижных точек отображения j (собственное подпространство с собственным значением 1). В физике, где представления часто рассматриваются конкретно в терминах матриц, реальное представление – это представление, в котором элементы матриц, представляющих элементы группы, являются вещественными числами. Эти матрицы могут действовать либо на вещественные, либо на комплексные векторы-столбцы. Реальное представление на комплексном векторном пространстве изоморфно своему комплексно сопряжённому представлению, но обратное неверно: представление, изоморфное своему комплексно сопряжённому, но не являющееся реальным, называется псевдореальным представлением. Нередуцируемое псевдореальное представление V обязательно является кватернионным представлением: оно допускает инвариантную кватернионную структуру, то есть антилинейное эквивариантное отображение, удовлетворяющее условию
In the mathematical field of representation theory a real representation is usually a representation on a real vector space U, but it can also mean a representation on a complex vector space V with an invariant real structure, i. e., an antilinear equivariant map
which satisfies
The two viewpoints are equivalent because if U is a real vector space acted on by a group G (say), then V = U⊗C is a representation on a complex vector space with an antilinear equivariant map given by complex conjugation. Conversely, if V is such a complex representation, then U can be recovered as the fixed point set of j (the eigenspace with eigenvalue 1). In physics, where representations are often viewed concretely in terms of matrices, a real representation is one in which the entries of the matrices representing the group elements are real numbers. These matrices can act either on real or complex column vectors. A real representation on a complex vector space is isomorphic to its complex conjugate representation, but the converse is not true: a representation which is isomorphic to its complex conjugate but which is not real is called a pseudoreal representation. An irreducible pseudoreal representation V is necessarily a quaternionic representation: it admits an invariant quaternionic structure, i. e., an antilinear equivariant map
which satisfies
A direct sum of real and quaternionic representations is neither real nor quaternionic in general. A representation on a complex vector space can also be isomorphic to the dual representation of its complex conjugate. This happens precisely when the representation admits a nondegenerate invariant sesquilinear form, e. g. a hermitian form. Such representations are sometimes said to be complex or (pseudo )hermitian.
Прямая сумма реального и кватернионного представлений, как правило, не является ни реальной, ни кватернионной. Представление на комплексном векторном пространстве также может быть изоморфно двойственному представлению своего комплексного сопряжения. Это происходит тогда и только тогда, когда представление допускает невырожденную инвариантную сесквилинейную форму, например, эрмитову форму. Такие представления иногда называют комплексными или (псевдо)эрмитовыми.
In the mathematical field of representation theory a real representation is usually a representation on a real vector space U, but it can also mean a representation on a complex vector space V with an invariant real structure, i. e., an antilinear equivariant map
which satisfies
The two viewpoints are equivalent because if U is a real vector space acted on by a group G (say), then V = U⊗C is a representation on a complex vector space with an antilinear equivariant map given by complex conjugation. Conversely, if V is such a complex representation, then U can be recovered as the fixed point set of j (the eigenspace with eigenvalue 1). In physics, where representations are often viewed concretely in terms of matrices, a real representation is one in which the entries of the matrices representing the group elements are real numbers. These matrices can act either on real or complex column vectors. A real representation on a complex vector space is isomorphic to its complex conjugate representation, but the converse is not true: a representation which is isomorphic to its complex conjugate but which is not real is called a pseudoreal representation. An irreducible pseudoreal representation V is necessarily a quaternionic representation: it admits an invariant quaternionic structure, i. e., an antilinear equivariant map
which satisfies
A direct sum of real and quaternionic representations is neither real nor quaternionic in general. A representation on a complex vector space can also be isomorphic to the dual representation of its complex conjugate. This happens precisely when the representation admits a nondegenerate invariant sesquilinear form, e. g. a hermitian form. Such representations are sometimes said to be complex or (pseudo )hermitian.
Примеры
Все представления симметричных групп являются вещественными (и фактически рациональными), поскольку мы можем построить полный набор неприводимых представлений, используя диаграммы Янга. Все представления групп вращения на пространствах нечетной размерности являются вещественными, так как все они возникают как подпредставления тензорных произведений копий фундаментального представления, которое является вещественным. Дальнейшие примеры вещественных представлений – спинорные представления спиновых групп в размерностях 8k−1, 8k и 8k+1 для k = 1, 2, 3. Эта периодичность по модулю 8 известна в математике не только в теории алгебр Клиффорда, но и в алгебраической топологии, в KO-теории; см. спинорное представление и периодичность Ботта.