Кіріспе
Хопф алгебралары теориясындағы соққы көбейтіндісі. Математиканың топология саласында, екі нүктеленген кеңістіктің (яғни, ерекшеленген базалық нүктелері бар топологиялық кеңістіктер) (X, x0) және (Y, y0) соққы көбейтіндісі – X × Y көбейтіндісінің (x, y0) ~ (x0, y) сәйкестендірулері бойынша алынған фактор кеңістігі, барлық x ∈ X және y ∈ Y үшін. Соққы көбейтіндісі өзі де нүктеленген кеңістік болып табылады, оның базалық нүктесі (x0, y0) эквиваленттік класы. Соққы көбейтіндісі әдетте X ∧ Y немесе X ⨳ Y деп белгіленеді. Соққы көбейтіндісі базалық нүктелердің таңдалуына байланысты (егер X және Y біртекті болмаса). X және Y кеңістіктерін X × Y ішінде X × {y0} және {x0} × Y кіші кеңістіктері ретінде қарастыруға болады. Бұл кіші кеңістіктер бір ғана нүктеде қиылысады: (x0, y0), X × Y кеңістігінің базалық нүктесі. Сондықтан, осы кіші кеңістіктердің бірігісін клиндік қосындымен сәйкестендіруге болады. Атап айтқанда, {x0} × Y кеңістігі X × Y-де Y-мен сәйкестендіріледі, сондай-ақ X × {y0} және X үшін де осыған ұқсас. X және Y кіші кеңістіктері бір ғана нүктеде қиылысады. Соққы көбейтіндісі осыдан кейін алынған фактор кеңістік болып табылады. Соққы көбейтіндісі алгебралық топологияның бір саласы – гомотопия теориясында қолданылады. Гомотопия теориясында көбінесе барлық топологиялық кеңістіктер санатынан өзге кеңістіктер санатымен жұмыс жасалады. Осы санаттардың кейбіреулерінде соққы көбейтіндісінің анықтамасын сәл өзгерту қажет. Мысалы, екі CW-кешеннің соққы көбейтіндісі, егер анықтамада өнім топологиясының орнына CW-кешендерінің көбейтіндісі қолданылса, CW-кешені болады. Басқа санаттарда да осындай өзгерістер қажет.
In topology, a branch of mathematics, the smash product of two pointed spaces (i. e. topological spaces with distinguished basepoints) (X, x0) and (Y, y0) is the quotient of the product space X × Y under the identifications (x, y0) ~ (x0, y) for all x in X and y in Y. The smash product is itself a pointed space, with basepoint being the equivalence class of (x0, y0). The smash product is usually denoted X ∧ Y or X ⨳ Y. The smash product depends on the choice of basepoints (unless both X and Y are homogeneous). One can think of X and Y as sitting inside X × Y as the subspaces X × {y0} and {x0} × Y. These subspaces intersect at a single point: (x0, y0), the basepoint of X × Y. So the union of these subspaces can be identified with the wedge sum In particular, {x0} × Y in X × Y is identified with Y in , ditto for X × {y0} and X. In , subspaces X and Y intersect in the single point The smash product is then the quotient
The smash product shows up in homotopy theory, a branch of algebraic topology. In homotopy theory, one often works with a different category of spaces than the category of all topological spaces. In some of these categories the definition of the smash product must be modified slightly. For example, the smash product of two CW complexes is a CW complex if one uses the product of CW complexes in the definition rather than the product topology. Similar modifications are necessary in other categories.
Симметриялық моноиділдік өнім ретінде
Кез келген нүктелік X, Y және Z кеңістіктері үшін тиісті "ыңғайлы" санатта (мысалы, тығыз құрылымдалған кеңістіктер санатында) табиғи (негізгі нүктені сақтайтын) гомеоморфизмдер бар. Алайда, нүктелік кеңістіктердің қарапайым санаты үшін бұл орындалмайды, бұл Дитер Пуппе тапқан қарсы мысалмен көрсетілген. Кэтлин Льюистің дәлелі бойынша, Пуппенің қарсы мысалы шынымен де қарсы мысал екені Иоганн Сигюрдссон мен Дж. Питер Мейдің кітабында келтірілген. Бұл изоморфизмдер нүктелік кеңістіктердің тиісті санатын симметриялық моноидтық санатқа айналдырады, мұнда соққы көбейтіндісі моноидтық көбейтінді болып табылады, ал нүктелік 0-сфера (екі нүктелі дискретті кеңістік) бірлік объектісі болып табылады. Сондықтан, соққы көбейтіндісін нүктелік кеңістіктердің тиісті санатындағы тензор көбейтіндісінің бір түрі деп қарастыруға болады.
However, for the naive category of pointed spaces, this fails, as shown by the counterexample and found by Dieter Puppe. A proof due to Kathleen Lewis that Puppe's counterexample is indeed a counterexample can be found in the book of Johann Sigurdsson and J. Peter May. These isomorphisms make the appropriate category of pointed spaces into a symmetric monoidal category with the smash product as the monoidal product and the pointed 0 sphere (a two point discrete space) as the unit object. One can therefore think of the smash product as a kind of tensor product in an appropriate category of pointed spaces.