Введение
Смаш-произведение в теории алгебр Хопфа. В топологии, ветви математики, смаш-произведение двух указанных пространств (то есть топологических пространств с выделенными базовыми точками) (X, x₀) и (Y, y₀) является фактор-пространством произведения X × Y по отношению к отождествлениям (x, y₀) ~ (x₀, y) для всех x из X и y из Y. Само смаш-произведение является указанным пространством, с базовой точкой, являющейся классом эквивалентности (x₀, y₀). Смаш-произведение обычно обозначается X ∧ Y или X ⨳ Y. Смаш-произведение зависит от выбора базовых точек (если X и Y не однородны). Можно представить X и Y как лежащие внутри X × Y в виде подпространств X × {y₀} и {x₀} × Y. Эти подпространства пересекаются в единственной точке: (x₀, y₀), базовой точке X × Y. Таким образом, объединение этих подпространств можно отождествить с клиновой суммой. В частности, {x₀} × Y в X × Y отождествляется с Y, аналогично X × {y₀} отождествляется с X. Подпространства X и Y пересекаются в единственной точке. Тогда смаш-произведение является фактор-пространством.
In topology, a branch of mathematics, the smash product of two pointed spaces (i. e. topological spaces with distinguished basepoints) (X, x0) and (Y, y0) is the quotient of the product space X × Y under the identifications (x, y0) ~ (x0, y) for all x in X and y in Y. The smash product is itself a pointed space, with basepoint being the equivalence class of (x0, y0). The smash product is usually denoted X ∧ Y or X ⨳ Y. The smash product depends on the choice of basepoints (unless both X and Y are homogeneous). One can think of X and Y as sitting inside X × Y as the subspaces X × {y0} and {x0} × Y. These subspaces intersect at a single point: (x0, y0), the basepoint of X × Y. So the union of these subspaces can be identified with the wedge sum In particular, {x0} × Y in X × Y is identified with Y in , ditto for X × {y0} and X. In , subspaces X and Y intersect in the single point The smash product is then the quotient
The smash product shows up in homotopy theory, a branch of algebraic topology. In homotopy theory, one often works with a different category of spaces than the category of all topological spaces. In some of these categories the definition of the smash product must be modified slightly. For example, the smash product of two CW complexes is a CW complex if one uses the product of CW complexes in the definition rather than the product topology. Similar modifications are necessary in other categories.
Смаш-произведение появляется в теории гомотопий, ветви алгебраической топологии. В теории гомотопий часто работают с другой категорией пространств, чем с категорией всех топологических пространств. В некоторых из этих категорий определение смаш-произведения должно быть слегка модифицировано. Например, смаш-произведение двух CW-комплексов является CW-комплексом, если в определении используется произведение CW-комплексов, а не топология произведения. Аналогичные модификации необходимы и в других категориях.
In topology, a branch of mathematics, the smash product of two pointed spaces (i. e. topological spaces with distinguished basepoints) (X, x0) and (Y, y0) is the quotient of the product space X × Y under the identifications (x, y0) ~ (x0, y) for all x in X and y in Y. The smash product is itself a pointed space, with basepoint being the equivalence class of (x0, y0). The smash product is usually denoted X ∧ Y or X ⨳ Y. The smash product depends on the choice of basepoints (unless both X and Y are homogeneous). One can think of X and Y as sitting inside X × Y as the subspaces X × {y0} and {x0} × Y. These subspaces intersect at a single point: (x0, y0), the basepoint of X × Y. So the union of these subspaces can be identified with the wedge sum In particular, {x0} × Y in X × Y is identified with Y in , ditto for X × {y0} and X. In , subspaces X and Y intersect in the single point The smash product is then the quotient
The smash product shows up in homotopy theory, a branch of algebraic topology. In homotopy theory, one often works with a different category of spaces than the category of all topological spaces. In some of these categories the definition of the smash product must be modified slightly. For example, the smash product of two CW complexes is a CW complex if one uses the product of CW complexes in the definition rather than the product topology. Similar modifications are necessary in other categories.
В качестве симметричного моноидального продукта
Для любых заострённых пространств X, Y и Z в подходящей "удобной" категории (например, категории компактно порожденных пространств) существуют естественные (сохраняющие базовую точку) гомеоморфизмы. Однако для наивной категории заострённых пространств это не выполняется, что показано контрпримером, найденным Дитером Пуппе. Доказательство Кэтлин Льюис того, что контрпример Пуппе действительно является контрпримером, можно найти в книге Иоганна Сигюрдсона и Дж. Питера Мэя. Эти изоморфизмы превращают подходящую категорию заострённых пространств в симметричную моноидальную категорию, где моноидальным произведением является smash-произведение, а заострённой 0-сферой (дискретным пространством из двух точек) – единичный объект. Таким образом, smash-произведение можно рассматривать как своего рода тензорное произведение в подходящей категории заострённых пространств.
However, for the naive category of pointed spaces, this fails, as shown by the counterexample and found by Dieter Puppe. A proof due to Kathleen Lewis that Puppe's counterexample is indeed a counterexample can be found in the book of Johann Sigurdsson and J. Peter May. These isomorphisms make the appropriate category of pointed spaces into a symmetric monoidal category with the smash product as the monoidal product and the pointed 0 sphere (a two point discrete space) as the unit object. One can therefore think of the smash product as a kind of tensor product in an appropriate category of pointed spaces.