Геометриялық ауысулар бойынша инварианттық

Кіріспе

Геометриялық ауысудағы операциялардың инварианттылығы. Физика мен математикада, үздіксіз ауысу симметриясы – кез келген ауысуда (бұрылмаса) теңдеулер жүйесінің инварианттығы. Дискретті ауысу симметриясы дискретті ауысу кезінде инвариантты болады. Сәйкесінше, функцияларға әрекет ететін А операторы, ауысу операторына қатысты ауысу инвариантты деп аталады, егер А операторы қолданғаннан кейін нәтиже, аргумент функциясы ауысқанда өзгермесе. Нақтырақ айтқанда, мына теңдік орындалуы тиіс:

Физика заңдары кеңістіктегі әртүрлі нүктелерді ажыратпаса, кеңістіктегі ауысу бойынша ауысу инвариантты болып табылады. Ноэтер теоремасына сәйкес, физикалық жүйенің кеңістіктегі ауысу симметриясы импульстің сақталу заңымен эквивалентті. Объектінің ауысу симметриясы дегеніміз, белгілі бір ауысу объектіні өзгертетін болса, онда ол симметриялы емес. Ал, берілген объект үшін, бұл шартты орындайтын ауысулар тобын құрайды, бұл объектінің симметрия тобы немесе, егер объект симметрияның бірнеше түріне ие болса, симметрия тобының кіші тобы болып табылады.

Геометрия

Трансляциялық инварианттылық объектінің кем дегенде бір бағытта шексіз екенін білдіреді: кез келген берілген нүкте p үшін, трансляциялық симметрияға байланысты бірдей қасиеттері бар нүктелер жиыны шексіз дискретті жиын құрайды. Негізгі домендер, мысалы, 'H' + [0, 1] 'a', кез келген гипержазықтық H үшін, онда a тәуелсіз бағытқа ие. Бұл 1D-де сызық сегменті, 2D-де шексіз жолақ, ал 3D-де плита болып табылады, яғни бір жағында басталатын вектор екінші жағында аяқталады. Таспа мен плита векторға перпендикуляр болуы міндетті емес, сондықтан вектор ұзындығынан тар немесе жұқарақ болуы мүмкін. 1-ден жоғары өлшемді кеңістіктерде бірнеше трансляциялық симметрия болуы мүмкін. k тәуелсіз трансляциялық векторлардың әрбір жиыны үшін симметрия тобы Zk-мен изоморфты. Әсіресе, көбейту өлшемге тең болуы мүмкін. Бұл объектінің барлық бағытта шексіз екенін білдіреді. Бұл жағдайда барлық аудармалардың жиынтығы тор құрайды. Трансляциялық векторлардың әр түрлі негіздері бір торды анықтайды, егер де бірін детерминантының абсолютті мәні 1 болатын бүтін сандар коэффициенттерінің матрицасымен екіншісіне түрлендіруге болатын болса ғана. Трансляциялық векторлар жиынынан құралған матрицаның детерминантының абсолютті мәні – жиынның анықтайтын n өлшемді параллелепипедтің гиперкөлемі (сонымен қатар тордың коволюмі деп те аталады). Бұл параллелепипед симметрияның негізгі аймағы болып табылады: оның үстінде немесе ішінде кез келген үлгі болуы мүмкін, және бұл бүкіл объектіні анықтайды. Сондай-ақ, тор (топ) қараңыз. Мысалы, 2D-де a және b орнына a және 'a' - 'b' және т.б. қолдануға болады. Жалпы, 2D-де p'a' + q'b' және r'a' + s'b' сандарын p, q, r және s бүтін сандары ретінде қарастыруға болады, мұнда ps - qr 1 немесе -1 тең. Бұл a және b векторларының қалған екі вектордың бүтін сандық сызықтық комбинациялары екенін қамтамасыз етеді. Әйтпесе, басқа жұп векторлармен барлық аудармаларды жүзеге асыру мүмкін емес. Әр жұп a, b параллелограммды анықтайды, олардың барлығы бірдей ауданына ие, оның шамасы қима көбейтіндісіне тең. Бір параллелограмм бүкіл объектіні толық анықтайды. Қосымша симметрия болмаған жағдайда, бұл параллелограмм – негізгі домен. a және b векторларын комплекс сандармен көрсетуге болады. Екі берілген тор нүктесі үшін тор пішінін құру үшін үшінші нүкте таңдауларының эквиваленттілігі модульдік топпен бейнеленеді, торды (топты) қараңыз. Сонымен қатар, егер тіктөртбұрыштың екі жағы бір аударма векторына параллель болса, ал екінші аударма векторы тіктөртбұрыштың бір жағынан басталып, қарама-қарсы жағында аяқталса, онда аударма векторлары перпендикуляр болмаса да, тіктөртбұрыш бүкіл объектіні анықтай алады. Мысалы, тең тікбұрышты плиткалармен, асимметриялық үлгісі бар плиткаларды қарастырайық, барлығы бірдей бағытта орналасқан, қатарларда, әр қатар үшін плитканың жартысы емес, жартысынан аз ығысқан, әрқашан бірдей, онда тек трансляциялық симметрия, обой тобы p1 болады (осы ығыссыз да қолданылады). Плиткадағы үлгінің екінші реттік айналу симметриясы болғанда p2 болады (плиткадағы үлгінің көбірек симметриясы бұны өзгертпейді, себебі плиткалардың орналасуы). Тіктөртбұрыш негізгі домен ретінде қарастыруға ыңғайлырақ бірлік (немесе олардың екеуінің жиынтығы), бір плитканың бөлігінен және екіншісінің бөлігінен тұратын параллелограммнан гөрі. 2D-де кез келген ұзындықтағы векторлар үшін бір бағытта трансляциялық симметрия болуы мүмкін. Бір сызық, бір бағытта емес, бүкіл нысанды толық анықтайды. Сол сияқты, 3D-де кез келген ұзындықтағы векторлар үшін бір немесе екі бағытта трансляциялық симметрия болуы мүмкін. Бір жазықтық (қима) немесе сызық, тиісінше, бүкіл объектіні толық анықтайды.

Translational invariance implies that, at least in one direction, the object is infinite: for any given point p, the set of points with the same properties due to the translational symmetry form the infinite discrete set Fundamental domains are e. g. 'H' + [0, 1] 'a' for any hyperplane H for which a has an independent direction. This is in 1D a line segment, in 2D an infinite strip, and in 3D a slab, such that the vector starting at one side ends at the other side. Note that the strip and slab need not be perpendicular to the vector, hence can be narrower or thinner than the length of the vector. In spaces with dimension higher than 1, there may be multiple translational symmetry. For each set of k independent translation vectors, the symmetry group is isomorphic with Zk. In particular, the multiplicity may be equal to the dimension. This implies that the object is infinite in all directions. In this case, the set of all translations forms a lattice. Different bases of translation vectors generate the same lattice if and only if one is transformed into the other by a matrix of integer coefficients of which the absolute value of the determinant is 1. The absolute value of the determinant of the matrix formed by a set of translation vectors is the hypervolume of the n dimensional parallelepiped the set subtends (also called the covolume of the lattice). This parallelepiped is a fundamental region of the symmetry: any pattern on or in it is possible, and this defines the whole object. See also lattice (group). E. g. in 2D, instead of a and b we can also take a and 'a' − 'b', etc. In general in 2D, we can take p'a' + q'b' and r'a' + s'b' for integers p, q, r, and s such that ps − qr is 1 or −1. This ensures that a and b themselves are integer linear combinations of the other two vectors. If not, not all translations are possible with the other pair. Each pair a, b defines a parallelogram, all with the same area, the magnitude of the cross product. One parallelogram fully defines the whole object. Without further symmetry, this parallelogram is a fundamental domain. The vectors a and b can be represented by complex numbers. For two given lattice points, equivalence of choices of a third point to generate a lattice shape is represented by the modular group, see lattice (group). Alternatively, e. g. a rectangle may define the whole object, even if the translation vectors are not perpendicular, if it has two sides parallel to one translation vector, while the other translation vector starting at one side of the rectangle ends at the opposite side. For example, consider a tiling with equal rectangular tiles with an asymmetric pattern on them, all oriented the same, in rows, with for each row a shift of a fraction, not one half, of a tile, always the same, then we have only translational symmetry, wallpaper group p1 (the same applies without shift). With rotational symmetry of order two of the pattern on the tile we have p2 (more symmetry of the pattern on the tile does not change that, because of the arrangement of the tiles). The rectangle is a more convenient unit to consider as fundamental domain (or set of two of them) than a parallelogram consisting of part of a tile and part of another one. In 2D there may be translational symmetry in one direction for vectors of any length. One line, not in the same direction, fully defines the whole object. Similarly, in 3D there may be translational symmetry in one or two directions for vectors of any length. One plane (cross section) or line, respectively, fully defines the whole object.

Мысалдар

Фриз үлгілерінің бәрі ауыстыру симметриясына ие, және кейде басқа да түрлері болуы мүмкін. Абсолют шамаларын есептеумен бірге Фурье түрлендіруі – ауыстыруға қатысты өзгермейтін оператор. Полиномдық функциядан полиномдық дәрежеге бейнелеу – ауыстыруға қатысты өзгермейтін функционал. Лебег өлшемі – толық ауыстыруға қатысты өзгермейтін өлшем.