Инвариантность относительно геометрических сдвигов

Введение

Инвариантность операций при геометрическом сдвиге

В физике и математике непрерывная трансляционная симметрия – это инвариантность системы уравнений относительно любого сдвига (без вращения). Дискретная трансляционная симметрия инвариантна относительно дискретного сдвига. Аналогично, оператор A, действующий на функции, называется трансляционно инвариантным относительно оператора сдвига, если результат его применения не изменяется при сдвиге аргументирующей функции. Более точно, должно выполняться следующее условие:

Законы физики являются трансляционно инвариантными относительно пространственного сдвига, если они не различают различные точки пространства. Согласно теореме Нётер, пространственная трансляционная симметрия физической системы эквивалентна закону сохранения импульса. Трансляционная симметрия объекта означает, что конкретный сдвиг не изменяет объект. Для данного объекта сдвиги, при которых это выполняется, образуют группу – группу симметрии объекта, или, если объект обладает несколькими видами симметрии, подгруппу группы симметрии.

Геометрия

Трансляционная инвариантность подразумевает, что объект бесконечен, по крайней мере, в одном направлении: для любой заданной точки p множество точек с одинаковыми свойствами, обусловленными трансляционной симметрией, образует бесконечный дискретный набор. Фундаментальные области, например, 'H' + [0, 1] 'a' для любой гиперплоскости H, для которой вектор 'a' имеет независимое направление. В 1D это отрезок прямой, в 2D – бесконечная полоса, а в 3D – слой (плита), так что вектор, начинающийся на одной стороне, заканчивается на другой. Следует отметить, что полоса и слой не обязательно должны быть перпендикулярны вектору, поэтому могут быть уже или тоньше длины вектора. В пространствах размерности выше 1 может существовать несколько трансляционных симметрий. Для каждого набора из k независимых векторов трансляции группа симметрии изоморфна Zk. В частности, кратность может быть равна размерности. Это подразумевает, что объект бесконечен во всех направлениях. В этом случае множество всех трансляций образует решетку. Различные базисы векторов трансляции генерируют одну и ту же решетку тогда и только тогда, когда один базис можно преобразовать в другой матрицей с целочисленными коэффициентами, абсолютная величина детерминанты которой равна 1. Абсолютная величина детерминанта матрицы, образованной набором векторов трансляции, является гиперобъемом n-мерного параллелепипеда, которому соответствует множество (также называемый коволюмом решетки). Этот параллелепипед является фундаментальной областью симметрии: любой узор на нем или внутри него возможен, и это определяет весь объект. См. также решетка (группа). Например, в 2D вместо векторов 'a' и 'b' можно также взять 'a' и 'a' - 'b', и т.д. В общем случае в 2D можно взять p'a' + q'b' и r'a' + s'b' для целых чисел p, q, r и s, таких что ps − qr равно 1 или −1. Это гарантирует, что векторы 'a' и 'b' сами по себе являются целочисленными линейными комбинациями двух других векторов. Если это не так, то не все трансляции возможны с другой парой векторов. Каждая пара векторов 'a' и 'b' определяет параллелограмм, все с одинаковой площадью, равной величине векторного произведения. Один параллелограмм полностью определяет весь объект. При отсутствии дополнительной симметрии этот параллелограмм является фундаментальной областью. Векторы 'a' и 'b' могут быть представлены комплексными числами. Для двух заданных точек решетки эквивалентность выбора третьей точки для генерации формы решетки представляется модульной группой, см. решетка (группа). В качестве альтернативы, например, прямоугольник может определять весь объект, даже если векторы трансляции не перпендикулярны, если он имеет две стороны, параллельные одному вектору трансляции, в то время как другой вектор трансляции, начинающийся на одной стороне прямоугольника, заканчивается на противоположной стороне. Например, рассмотрим мощение равными прямоугольными плитками с асимметричным рисунком на них, все ориентированные одинаково, в рядах, с для каждого ряда смещением на долю, отличную от половины, плитки, всегда одинаковую, тогда у нас есть только трансляционная симметрия, обойная группа p1 (то же самое относится и к случаю без смещения). При наличии ротационной симметрии второго порядка узора на плитке мы имеем p2 (большая симметрия узора на плитке не меняет этого из-за расположения плиток). Прямоугольник является более удобной единицей для рассмотрения в качестве фундаментальной области (или набора из двух таких областей), чем параллелограмм, состоящий из части одной плитки и части другой. В 2D может существовать трансляционная симметрия в одном направлении для векторов любой длины. Одна прямая, не совпадающая по направлению с вектором, полностью определяет весь объект. Аналогично, в 3D может существовать трансляционная симметрия в одном или двух направлениях для векторов любой длины. Одна плоскость (поперечное сечение) или прямая, соответственно, полностью определяет весь объект.

Translational invariance implies that, at least in one direction, the object is infinite: for any given point p, the set of points with the same properties due to the translational symmetry form the infinite discrete set Fundamental domains are e. g. 'H' + [0, 1] 'a' for any hyperplane H for which a has an independent direction. This is in 1D a line segment, in 2D an infinite strip, and in 3D a slab, such that the vector starting at one side ends at the other side. Note that the strip and slab need not be perpendicular to the vector, hence can be narrower or thinner than the length of the vector. In spaces with dimension higher than 1, there may be multiple translational symmetry. For each set of k independent translation vectors, the symmetry group is isomorphic with Zk. In particular, the multiplicity may be equal to the dimension. This implies that the object is infinite in all directions. In this case, the set of all translations forms a lattice. Different bases of translation vectors generate the same lattice if and only if one is transformed into the other by a matrix of integer coefficients of which the absolute value of the determinant is 1. The absolute value of the determinant of the matrix formed by a set of translation vectors is the hypervolume of the n dimensional parallelepiped the set subtends (also called the covolume of the lattice). This parallelepiped is a fundamental region of the symmetry: any pattern on or in it is possible, and this defines the whole object. See also lattice (group). E. g. in 2D, instead of a and b we can also take a and 'a' − 'b', etc. In general in 2D, we can take p'a' + q'b' and r'a' + s'b' for integers p, q, r, and s such that ps − qr is 1 or −1. This ensures that a and b themselves are integer linear combinations of the other two vectors. If not, not all translations are possible with the other pair. Each pair a, b defines a parallelogram, all with the same area, the magnitude of the cross product. One parallelogram fully defines the whole object. Without further symmetry, this parallelogram is a fundamental domain. The vectors a and b can be represented by complex numbers. For two given lattice points, equivalence of choices of a third point to generate a lattice shape is represented by the modular group, see lattice (group). Alternatively, e. g. a rectangle may define the whole object, even if the translation vectors are not perpendicular, if it has two sides parallel to one translation vector, while the other translation vector starting at one side of the rectangle ends at the opposite side. For example, consider a tiling with equal rectangular tiles with an asymmetric pattern on them, all oriented the same, in rows, with for each row a shift of a fraction, not one half, of a tile, always the same, then we have only translational symmetry, wallpaper group p1 (the same applies without shift). With rotational symmetry of order two of the pattern on the tile we have p2 (more symmetry of the pattern on the tile does not change that, because of the arrangement of the tiles). The rectangle is a more convenient unit to consider as fundamental domain (or set of two of them) than a parallelogram consisting of part of a tile and part of another one. In 2D there may be translational symmetry in one direction for vectors of any length. One line, not in the same direction, fully defines the whole object. Similarly, in 3D there may be translational symmetry in one or two directions for vectors of any length. One plane (cross section) or line, respectively, fully defines the whole object.

Примеры

У всех орнаментов в виде фриза есть трансляционная симметрия, а иногда и другие виды симметрий. Преобразование Фурье с последующим вычислением абсолютных значений является оператором, инвариантным относительно сдвигов. Отображение из полиномиальной функции в степень полинома является функционалом, инвариантным относительно сдвигов. Мера Лебега – это полная инвариантная мера относительно сдвигов.