Кіріспе
Математика / физика ұғымы
Математикада, әсіресе дифференциалдық геометрияда, байланыс формасы – жылжымалы кадрлар мен дифференциалдық формалар тілін қолдана отырып, байланыс деректерін ұйымдастыру тәсілі. Тарихи тұрғыдан алғанда, байланыс формаларын 20-шы ғасырдың бірінші жартысында Эли Картан өзінің жылжымалы кадрлар әдісінің бір бөлігі ретінде және оның басты қозғаушы күштерінің бірі ретінде енгізді. Байланыс формасы көбінесе координаттық кадрды таңдауға байланысты, сондықтан ол тензорлық объект емес. Картанның бастапқы жұмысынан кейін байланыс формасының әртүрлі жалпыламалары мен қайта түсіндірулері жасалды. Атап айтқанда, негізгі шоғырлымда (principal bundle) негізгі байланыс – байланыс формасының тензорлық нысан ретіндегі табиғи қайта түсіндіруі. Екінші жағынан, байланыс формасының артықшылығы бар: ол дифференциалдық көпқырлыда (differentiable manifold) анықталған дифференциалдық форма, оның үстіндегі абстрактілі негізгі шоғырлым емес. Сондықтан, тензорлық қасиетінің болмауына қарамастан, байланыс формалары олармен есептеулерді орындаудың салыстырмалы жеңілдігіне байланысты қолданыла береді. Физикада байланыс формалары, сондай-ақ, өлшеу теориясы (gauge theory) аясында, өлшеу ковариантты туындысы арқылы кеңінен қолданылады. Байланыс формасы векторлық шоғырлымның (vector bundle) әрбір негізіне дифференциалдық формалардың матрицасын сәйкестендіреді. Байланыс формасы тензорлық емес, себебі негізді өзгерту кезінде байланыс формасы Леви-Чивита байланысы үшін Кристоффель символдары сияқты, өтпелі функциялардың сыртқы туындысын қамтитын түрде өзгереді. Байланыс формасының негізгі тензорлық инварианты – оның қисықтық формасы (curvature form). Векторлық шоғырлымды жанама шоғырлыммен (tangent bundle) сәйкестендіретін дәнекерлеу формасы (solder form) болған жағдайда, қосымша инвариант бар: бұралу формасы (torsion form). Көп жағдайда байланыс формалары қосымша құрылымы бар векторлық шоғырлымдарда қарастырылады: құрылымдық тобы бар талшықты шоғырлым (fiber bundle).
In mathematics, and specifically differential geometry, a connection form is a manner of organizing the data of a connection using the language of moving frames and differential forms. Historically, connection forms were introduced by Élie Cartan in the first half of the 20th century as part of, and one of the principal motivations for, his method of moving frames. The connection form generally depends on a choice of a coordinate frame, and so is not a tensorial object. Various generalizations and reinterpretations of the connection form were formulated subsequent to Cartan's initial work. In particular, on a principal bundle, a principal connection is a natural reinterpretation of the connection form as a tensorial object. On the other hand, the connection form has the advantage that it is a differential form defined on the differentiable manifold, rather than on an abstract principal bundle over it. Hence, despite their lack of tensoriality, connection forms continue to be used because of the relative ease of performing calculations with them. In physics, connection forms are also used broadly in the context of gauge theory, through the gauge covariant derivative. A connection form associates to each basis of a vector bundle a matrix of differential forms. The connection form is not tensorial because under a change of basis, the connection form transforms in a manner that involves the exterior derivative of the transition functions, in much the same way as the Christoffel symbols for the Levi Civita connection. The main tensorial invariant of a connection form is its curvature form. In the presence of a solder form identifying the vector bundle with the tangent bundle, there is an additional invariant: the torsion form. In many cases, connection forms are considered on vector bundles with additional structure: that of a fiber bundle with a structure group.
Векторлық бунделдегі фреймдер
E – дифференциалданған көптік M бойынша k өлшемді талшықты векторлық буып-түйін болсын. E-нің жергілікті фреймі – E-нің жергілікті қималарының реттелген негізі. Векторлық буып-түйіндер әрқашан жергілікті тривиализациялар тұрғысынан анықталатындықтан, жергілікті фреймді құру әрқашан мүмкін, бұл көптік атласына ұқсас. Яғни, негізгі көптік M-дегі кез келген x нүктесі үшін, x-тің ашық көршілігі U ⊂ M бар, онда U үстіндегі векторлық буып-түйін U × Rk кеңістігіне изоморфты: бұл жергілікті тривиализация. Осылайша, Rk-дегі векторлық кеңістік құрылымын бүкіл жергілікті тривиализацияға дейін кеңейтуге болады, сондай-ақ Rk-дегі негізді де кеңейтуге болады; бұл жергілікті фреймді анықтайды. (Мұнда R – нақты сандарды білдіреді, бірақ мұндағы дамудың көп бөлігі жалпы сақиналардағы модульдерге, әсіресе, кешенді сандардағы векторлық кеңістіктерге де қолданылуы мүмкін.) E-нің кез келген қимасын жергілікті түрде осы фрейм арқылы өрнектеуге болады. Мысалы, егер ξ – фрейммен бірдей ашық жиынтықта анықталған жергілікті қима болса, онда
мұнда ξα(e) – e фрейміндегі ξ-тың компоненттерін білдіреді. Матрицалық теңдеу түрінде бұл былай жазылады:
Жалпы салыстырмалылық теориясында мұндай фрейм өрістері тетрадалар деп аталады. Тетрада нақтылы түрде жергілікті фреймді негізгі көптік M-дегі координаттар жүйесімен байланыстырады (M-дегі координаттар жүйесі атлас арқылы белгіленеді).
Жалпы байланыс нысандары
Егер {Up} M-нің ашық жабыны болса және әрбір Up-да E-нің тривиализациясы ep берілген болса, онда жапсарлас аймақтардағы жергілікті байланыс формалары арасындағы жапсыру деректері арқылы жаһандық байланыс формасын анықтауға болады. Атап айтқанда, M-дегі байланыс формасы – әрбір Up-да анықталған 1-формалардың ω(ep) матрицаларының жүйесі болып табылады, бұл жүйе келесі үйлесімділік шартын қанағаттандырады. Бұл үйлесімділік шарты, әсіресе, E-нің қимасының сыртқы байланысы, E ⊗ Ω1M қимасы ретінде абстрактілі түрде қарастырылғанда, байланысты анықтау үшін қолданылатын негіздік қиманың таңдалуына тәуелді емес екенін қамтамасыз етеді.
This compatibility condition ensures in particular that the exterior connection of a section of E, when regarded abstractly as a section of E ⊗ Ω1M, does not depend on the choice of basis section used to define the connection.
Құрылымдық топтар
Егер E векторлық бундель құрылымдық топты алып жүрсе, байланыс нысанының нақты түрін құруға болады. Бұл E-де e кадрларының басым класына тең, олар Lie тобы G арқылы байланысты. Мысалы, E-де метрика болған жағдайда, әрбір нүктеде ортонормальды база құрайтын кадрлармен жұмыс жасалады. Құрылымдық топ – ортогоналдық топ, себебі бұл топ кадрлардың ортонормальдылығын сақтайды. Басқа мысалдар: алдыңғы бөлімде қарастырылған стандартты кадрлардың құрылымдық тобы GL(k) болып табылады, мұнда k – E талшығының өлшемі. Кешенді манифольдтың (немесе дерлік кешенді манифольдтың) голоморфты жанама бундельінде құрылымдық топ GLn(C) ⊂ GL2n(R) болады. Егер гермиттік метрика берілген болса, құрылымдық топ унитарлық топқа дейін қысқарады, ол унитарлық кадрларға әрекет етеді. Жалпы, E – k өлшемді талшықты векторлық бундель болсын, ал G – Rk жалпы сызықтық тобының берілген Lie кіші тобы болсын. Егер (eα) E-нің жергілікті кадры болса, онда матрицалық функция (gij): M → G жаңа кадр жасау үшін eα-ға әсер ете алады.
The usual frames, considered in the preceding section, have structural group GL(k) where k is the fibre dimension of E.
The holomorphic tangent bundle of a complex manifold (or almost complex manifold). Here the structure group is GLn(C) ⊂ GL2n(R). In case a hermitian metric is given, then the structure group reduces to the unitary group acting on unitary frames. In general, let E be a given vector bundle of fibre dimension k and G ⊂ GL(k) a given Lie subgroup of the general linear group of Rk. If (eα) is a local frame of E, then a matrix valued function (gij): M → G may act on the eα to produce a new frame
Мұндай екі кадр G-мен байланысты. Формальды емес тұрғыдан алғанда, E векторлық бундельі G-бундель құрылымына ие, егер кадрлардың басым класы көрсетілген болса, олардың барлығы жергілікті түрде G-мен байланысты болады. Формальды түрде, E – G құрылымдық тобы бар талшықтық бума, оның типтік талшығы Rk, G-нің GL(k) кіші тобы ретінде табиғи әрекетімен.
Негізгі топтамалар
Осы уақытқа дейін енгізілген байланыс формасы нақты кадр таңдауына тәуелді. Бірінші анықтама бойынша, кадр – тек қималардың жергілікті базасы. Әрбір кадрға, бір кадрдан екіншісіне өту үшін трансформация заңымен бірге байланыс формасы беріледі. Екінші анықтама бойынша, кадрлардың өзінде Ли тобымен ұсынылған қосымша құрылым болады, ал кадрдың өзгеруі осы топқа жататын мәндермен шектеледі. 1940 жылдары Чарльз Эресманн ұсынған негізгі шоғырлар тілі, осы көптеген байланыс формаларын және оларды байланыстыратын трансформация заңдарын, трансформацияның жалғыз ережесі бар біртұтас ішкі формаға ұйымдастырудың бір жолын ұсынады. Бұл тәсілдің кемшілігі – формалар енді көпқырлылықтың өзінде емес, үлкен негізгі шоғырда анықталады.