Введение
Концепция математики/физики
В математике, и в особенности в дифференциальной геометрии, форма связи – это способ организации данных о связи с использованием языка движущихся кадров и дифференциальных форм. Исторически формы связи были введены Эли Картаном в первой половине 20-го века как часть и одна из основных мотиваций его метода движущихся кадров. Форма связи, как правило, зависит от выбора координатного кадра и поэтому не является тензорным объектом. После первоначальной работы Картана были сформулированы различные обобщения и переосмысления формы связи. В частности, на главном расслоении, главное соединение является естественной реинтерпретацией формы связи как тензорного объекта. С другой стороны, форма связи имеет преимущество в том, что это дифференциальная форма, определенная на дифференцируемом многообразии, а не на абстрактном главном расслоении над ним. Таким образом, несмотря на отсутствие тензорности, формы связи продолжают использоваться из-за относительной простоты выполнения вычислений с ними. В физике формы связи также широко используются в контексте теории калибровки через ковариантную производную калибровки. Форма связи сопоставляет каждой базе векторного расслоения матрицу дифференциальных форм. Форма связи не тензорная, потому что при смене базиса форма связи преобразуется таким образом, что включает внешнюю производную переходных функций, примерно так же, как и символы Кристоффеля для соединения Леви-Чивиты. Основным тензорным инвариантом формы связи является её форма кривизны. При наличии формы привязки, идентифицирующей векторное расслоение с касательным расслоением, существует дополнительный инвариант: форма кручения. Во многих случаях формы связи рассматриваются на векторных расслоениях с дополнительной структурой: расслоении с группой структуры.
In mathematics, and specifically differential geometry, a connection form is a manner of organizing the data of a connection using the language of moving frames and differential forms. Historically, connection forms were introduced by Élie Cartan in the first half of the 20th century as part of, and one of the principal motivations for, his method of moving frames. The connection form generally depends on a choice of a coordinate frame, and so is not a tensorial object. Various generalizations and reinterpretations of the connection form were formulated subsequent to Cartan's initial work. In particular, on a principal bundle, a principal connection is a natural reinterpretation of the connection form as a tensorial object. On the other hand, the connection form has the advantage that it is a differential form defined on the differentiable manifold, rather than on an abstract principal bundle over it. Hence, despite their lack of tensoriality, connection forms continue to be used because of the relative ease of performing calculations with them. In physics, connection forms are also used broadly in the context of gauge theory, through the gauge covariant derivative. A connection form associates to each basis of a vector bundle a matrix of differential forms. The connection form is not tensorial because under a change of basis, the connection form transforms in a manner that involves the exterior derivative of the transition functions, in much the same way as the Christoffel symbols for the Levi Civita connection. The main tensorial invariant of a connection form is its curvature form. In the presence of a solder form identifying the vector bundle with the tangent bundle, there is an additional invariant: the torsion form. In many cases, connection forms are considered on vector bundles with additional structure: that of a fiber bundle with a structure group.
Рамы на векторном пучке
Пусть E — векторное расслоение с размерностью волокна k над дифференцируемым многообразием M. Локальный кадр для E — это упорядоченный базис локальных сечений E. Всегда можно построить локальный кадр, поскольку векторные расслоения всегда определяются в терминах локальных тривиализаций, аналогично атласу многообразия. То есть, для любой точки x на базовом многообразии M существует открытое окрестность U ⊂ M точки x, для которой векторное расслоение над U изоморфно пространству U × Rk: это и есть локальная тривиализация. Структура векторного пространства на Rk тем самым может быть расширена на всю локальную тривиализацию, и базис на Rk также может быть расширен; это определяет локальный кадр. (Здесь R подразумевает действительные числа, хотя большая часть изложения может быть распространена на модули над кольцами в общем случае и на векторные пространства над комплексными числами в частности.) Пусть e = (eα)α=1,2,…,k — локальный кадр на E. Этот кадр можно использовать для локального представления любого сечения E. Например, предположим, что ξ — локальное сечение, определенное на том же открытом множестве, что и кадр e. Тогда
где ξα(e) обозначает компоненты ξ в кадре e. В матричном виде это записывается как
В общей теории относительности такие поля кадров называют тетрадами. Тетрада конкретно связывает локальный кадр с явной системой координат на базовом многообразии M (система координат на M задается атласом).
Формы глобального подключения
Если {Up} является открытым покрытием M, и каждый Up снабжен тривиализацией ep поля E, то можно определить глобальную форму связности на основе данных склейки между локальными формами связности на областях пересечения. В частности, форма связности на M представляет собой систему матриц ω(ep) из 1-форм, определенных на каждом Up, которые удовлетворяют следующему условию совместимости. Это условие совместимости гарантирует, в частности, что внешняя связность сечения E, рассматриваемая абстрактно как сечение E ⊗ Ω¹M, не зависит от выбора базисного сечения, используемого для определения связности.
This compatibility condition ensures in particular that the exterior connection of a section of E, when regarded abstractly as a section of E ⊗ Ω1M, does not depend on the choice of basis section used to define the connection.
Структурные группы
Более специфический тип связности может быть построен, когда векторный расслоение E несет структурную группу. Это соответствует предпочтённому классу базисов e на E, связанных группой Ли G. Например, при наличии метрики в E, используются базисы, образующие ортонормальный базис в каждой точке. Структурная группа в этом случае является ортогональной группой, поскольку эта группа сохраняет ортонормальность базисов. Другие примеры:
Обычные базисы, рассмотренные в предыдущем разделе, имеют структурную группу GL(k), где k – размерность волокна E.
Голоморфное касательное расслоение комплексного многообразия (или почти комплексного многообразия). Здесь структурная группа GLn(C) ⊂ GL2n(R). В случае задания эрмитовой метрики структурная группа редуцируется к унитарной группе, действующей на унитарных базисах. В общем случае, пусть E – заданное векторное расслоение размерности волокна k, а G ⊂ GL(k) – заданная подгруппа Ли общей линейной группы Rk. Если (eα) – локальный базис E, то матричнозначная функция (gij): M → G может действовать на eα, порождая новый базис.
The usual frames, considered in the preceding section, have structural group GL(k) where k is the fibre dimension of E.
The holomorphic tangent bundle of a complex manifold (or almost complex manifold). Here the structure group is GLn(C) ⊂ GL2n(R). In case a hermitian metric is given, then the structure group reduces to the unitary group acting on unitary frames. In general, let E be a given vector bundle of fibre dimension k and G ⊂ GL(k) a given Lie subgroup of the general linear group of Rk. If (eα) is a local frame of E, then a matrix valued function (gij): M → G may act on the eα to produce a new frame
Два таких базиса G-связаны. Неформально, векторное расслоение E имеет структуру G-расслоения, если задан предпочтённый класс базисов, все из которых локально G-связаны друг с другом. Формально, E – это волокнистое расслоение со структурной группой G, типичным волокном которого является Rk с естественным действием G как подгруппы GL(k).
Основные пакеты
Форма связности, как она была введена до настоящего момента, зависит от конкретного выбора рамы. В первом определении рама – это просто локальный базис сечений. Каждой раме сопоставляется форма связности с законом преобразования для перехода от одной рамы к другой. Во втором определении сами рамы несут некоторую дополнительную структуру, задаваемую группой Ли, и изменения рамы ограничены теми, значения которых лежат в этой группе. Язык главных расслоений, разработанный Шарлем Эресманом в 1940-х годах, предоставляет способ организации этих множества форм связности и законов преобразования, связывающих их, в единую внутреннюю форму с единым правилом преобразования. Недостатком этого подхода является то, что формы больше не определены непосредственно на многообразии, а скорее на большем главном расслоении.