Кіріспе

Ковариация және корреляция

Сигналды өңдеуде, кросс-корреляция – екі қатардың бір-біріне қатысты ығысу функциясы ретіндегі ұқсастығының өлшемі. Бұл жылжымалы скалярлық көбейту немесе жылжымалы ішкі көбейту деп те аталады. Ол әдетте ұзын сигналда қысқа, белгілі ерекшеліктерді іздеу үшін қолданылады. Оның қолданылу салалары – үлгілерді тану, жеке бөлшекті талдау, электрондық томография, орташалау, криптоанализ және нейрофизиология. Кросс-корреляция екі функцияның конволюциясына ұқсас. Автокорреляция – сигналдың өзімен кросс-корреляциясы. Онда әрқашан нөлдік кешігуде максимум болады, ал оның шамасы сигнал энергиясына тең болады. Ықтималдық және статистикада, «кросс-корреляциялар» термині екі кездейсоқ вектордың элементтері арасындағы корреляцияларды білдіреді және , ал кездейсоқ вектордың корреляциялары – оның өзінің элементтері арасындағы корреляциялар, егер олардың әрқайсысы уақыт қатарында қайталап іске асырылатын скалярлық кездейсоқ айнымалы болса, онда уақыттың әртүрлі сәттеріндегі корреляциялар белгілі, ал уақыт бойынша кездейсоқ вектордың кросс-корреляциялары – уақыт аралық кросс-корреляциялар. Ықтималдық және статистикада корреляцияның анықтамасы әрқашан нормалаушы факторды қамтиды, сондықтан корреляциялардың мәні -1 мен +1 аралығында болады. Егер және екі тәуелсіз кездейсоқ айнымалы болса, олардың ықтималдық тығыздық функциялары және тиісінше, айырманың ықтималдық тығыздығы формальды түрде (сигналды өңдеу мағынасында) кросс-корреляция арқылы беріледі; алайда, бұл терминология ықтималдық және статистикада қолданылмайды. Керісінше, конволюция (және кросс-корреляциясына тең) қосындының ықтималдық тығыздық функциясын береді.

Детерминистік сигналдардың қиылыспалы байланысы

Үздіксіз функциялар және үшін қима корреляциясы былай анықталады: бұл келесіге тең: мұнда – функцияның кешенді түйіндесі, ал – ығысу немесе кешігу деп аталады. Егер және функциялары жоғары корреляцияланған болса және ең жоғары қима корреляциясы белгілі бір мәнде болса, функциядағы ерекшелік функциясында да кешігіп пайда болады, сондықтан оны –қа ығысқан деп сипаттауға болады. Егер және екеуі де кезеңдік үздіксіз функциялар болса, интегралдан бастап кез келген ұзындықтағы интервал бойынша интегралдаумен ауыстырылады: бұл келесіге тең: ұқсас түрде, дискретті функциялар үшін қима корреляциясы былай анықталады: бұл келесіге тең: шекті дискретті функциялар үшін (циклдық) қима корреляциясы былай анықталады: бұл келесіге тең: шекті дискретті функциялар және үшін ядролық қима корреляциясы былай анықталады: мұнда – ядролық функциялар векторы, ал – аффиндік түрлендіру. Атап айтқанда, бұл циклдық аударма түрлендіруі, айналу түрлендіруі немесе масштабтау түрлендіруі және т.б. болуы мүмкін. Ядролық қима корреляциясы қима корреляциясын сызықтық кеңістіктен ядролық кеңістікке дейін кеңейтеді. Кроссты корреляция аудармаға қатысты инвариантты; ядролық кросс-корреляция кез келген аффиндік түрлендірулерге қатысты инвариантты, соның ішінде аударма, айналу және масштабтау және т.б.

Түсіндірме

Мысалы, екі нақты мәнді функцияны қарастырайық, олар тек x осьі бойымен белгісіз ығысумен ғана ерекшеленеді. Біреуінің x осьі бойымен қаншаға ығыстырылу керектігін анықтау үшін қиылыс корреляциясын қолдануға болады, осылайша ол функцияға сәйкес келеді. Формула, негізінен, функцияны x осьі бойымен жылжытады, әрбір позицияда олардың көбейтіндісінің интегралын есептейді. Функциялар сәйкес келгенде, ығысу мөлшерінің мәні максималды болады. Бұл осылай болмаса, шыңдар (оң мәнді аймақтар) бір-бірімен сәйкес келгенде интегралға үлкен үлес қосады. Сол сияқты, егер төмендіктер (теріс мәнді аймақтар) сәйкес келсе, олар да интегралға оң үлес қосады, себебі екі теріс санның көбейтіндісі оң болады. Кешенді мәнді функциялар үшін және , функцияның конъюгатын алу, қиялдағы компоненттері бар шыңдардың (немесе төмендіктердің) сәйкес келгенде интегралға оң үлес қосатынын қамтамасыз етеді. Эконометрияда, кідіріссіз қиылыс корреляциясы кейде қиылыс автокорреляциясы деп аталады.

Анықтама

Кездейсоқ векторлар және , олардың әрқайсысы күтілетін мәні мен дисперсиясы бар кездейсоқ элементтерді қамтиды, үшін қиылысқан корреляциялық матрицасы былай анықталады және өлшемдерге ие. Компонент бойынша жазылғанда: Кездейсоқ векторлар мен бірдей өлшемде болуы міндетті емес, және олардың әрқайсысы скалярлық шама болуы мүмкін. Мұнда – күтілетін мән.

Мысал

Мысалы, егер және кездейсоқ векторлар болса, онда – бұл матрица, оның th-элементі .

Күрделі кездейсоқ векторлардың анықтамасы

Егер және күрделі кездейсоқ векторлар болса, олардың әрқайсысы күтілетін мәні мен дисперсиясы бар кездейсоқ айнымалыларды қамтитын болса, онда және арасындағы қиылысқан корреляциялық матрица былай анықталады, мұндағы – гермиттік транспонированиены білдіреді.

Стохастикалық процестердің қиылысқан байланысы

Уақыт тізбектерін талдау және статистикада, кездейсоқ процестер жұбының кросс-корреляциясы – екі уақыттың функциясы ретінде, әртүрлі уақыттардағы процестердің мәндері арасындағы байланыс. Екі кездейсоқ процесс болсын, және – кез келген уақыт нүктесі (дискретті уақыт процесі үшін бүтін сан, ал үздіксіз уақыт процесі үшін нақты сан болуы мүмкін). Онда – процесс жүргізілімінің берілген уақыттағы мәні (немесе іске асырылуы).

Крос-корреляциялық функция

Егер процесс уақыттың кез келген нүктесінде орташа мәндері мен дисперсияларына ие болса, онда уақыттар арасындағы кросс-корреляцияның анықтамасы былай болады: Бірлескен WSS процестері үшін сәйкесінше:

Уақытша кідіріс талдау

Кроссты корреляциялар екі сигналдың арасындағы уақыт айырмасын анықтау үшін пайдалы, мысалы, микрофон массиві арқылы акустикалық сигналдардың таралу уақытын анықтау үшін. Екі сигнал арасындағы кросс-корреляцияны есептегеннен кейін, кросс-корреляция функциясының максимумы (немесе сигналдар теріс корреляцияланған болса, минимумы) сигналдардың ең жақсы сәйкес келетін уақыт нүктесін көрсетеді; яғни, екі сигнал арасындағы уақыт кешіктірімі кросс-корреляцияның максимумының аргументімен, немесе arg max арқылы анықталады, мысалы, бейне өңдеу терминологиясында.

Сызықтық емес жүйелер

Сызықтық емес жүйелерді талдағанда қиылыс корреляциясын қолдануда сақтылық қажет. Кіріс сигналының қасиеттеріне байланысты, сызықтық емес динамикаға ие жүйенің кірісі мен шығысы арасындағы қиылыс корреляциясы кейбір сызықтық емес эффектілерді анықтай алмайды. Бұл мәселе кейбір екінші дәрежелі моменттердің мәні нөлге тең болуынан туындайды, бұл екі сигналдың арасында аз "корреляция" (статистикалық тәуелділік мағынасында) бар деген жаңылыс пікірге әкелуі мүмкін, ал шындығында олар сызықтық емес динамика арқылы күшті байланысты.