Кіріспе
Уақыт тізбектерін талдауда қолданылатын статистикалық модель. Уақыт тізбектерін статистикалық талдауда авторегрессиялық-қозғалмалы орташа (ARMA) модельдері (әлсіз) стационарлық стохастикалық процесті екі полином арқылы сипаттайды – біреуі авторегрессияға (AR), екіншісі қозғалмалы орташаға (MA). ARMA моделінің жалпы түрі 1951 жылы Питер Уиттлдің «Уақыт тізбектерін талдауда гипотезаны тексеру» диссертациясында сипатталған және 1970 жылы Джордж Э. П. Бокс пен Гвилим Дженкинстің кітабында кеңінен танымал болды. Деректердің уақыт тізбегін ескере отырып, ARMA моделі осы тізбектегі болашақ мәндерді түсіну және болжау құралы болып табылады. AR бөлігінде айнымалының өзінің кешіктірілген (яғни, өткен) мәндеріне регрессия жасалады. MA бөлігінде қателік мүшесі бір уақытта және өткендегі әртүрлі уақыттарда туындаған қателік мүшелерінің сызықтық комбинациясы ретінде модельденеді. Модель әдетте ARMA(p,q) моделі деп аталады, мұнда p – AR бөлігінің реті, ал q – MA бөлігінің реті (төменде көрсетілгендей). ARMA модельдерін Box-Jenkins әдісін қолдану арқылы бағалауға болады.
In the statistical analysis of time series, autoregressive–moving average (ARMA) models provide a parsimonious description of a (weakly) stationary stochastic process in terms of two polynomials, one for the autoregression (AR) and the second for the moving average (MA). The general ARMA model was described in the 1951 thesis of Peter Whittle, Hypothesis testing in time series analysis, and it was popularized in the 1970 book by George E. P. Box and Gwilym Jenkins. Given a time series of data , the ARMA model is a tool for understanding and, perhaps, predicting future values in this series. The AR part involves regressing the variable on its own lagged (i. e., past) values. The MA part involves modeling the error term as a linear combination of error terms occurring contemporaneously and at various times in the past. The model is usually referred to as the ARMA(p,q) model where p is the order of the AR part and q is the order of the MA part (as defined below). ARMA models can be estimated by using the Box–Jenkins method.
Авторегрессивті модель
AR(p) белгісі p реттік авторегрессиялық модельді білдіреді. AR(p) моделі былай жазылады:
мұнда – параметрлер, ал – кездейсоқ айнымалы, әдетте тәуелсіз және бірдей таралымды (i.i.d.) қалыпты кездейсоқ айнымалылар болып табылады. Модельдің тұрақты болуы үшін оның сипаттамалық полиномының түбірлері бірлік шеңберінің сыртында жатуы керек. Мысалы, AR(1) моделіндегі процестер стационарлық емес, себебі түбірі бірлік шеңберінің ішінде жатыр. ADF IMF және тренд компоненттерінің тұрақтылығын бағалайды. Тұрақты уақыт қатарлары үшін авторегрессиялық жылжымалы орташа (ARMA) моделі қолданылады, ал тұрақсыз қатарлар үшін абстрактілі ерекшеліктерді алу үшін LSTM модельдері қолданылады. Соңғы мән әрбір уақыт қатарының болжамдалған нәтижелерін қайта құру арқылы алынады.
ARMA үлгісі
ARMA (p, q) белгісі p авторегрессиялық және q жылжымалы орташа мүшелері бар модельді білдіреді. Бұл модель AR(p) және MA(q) модельдерін қамтиды. Жалпы ARMA моделі алғаш рет Питер Уиттлдің 1951 жылғы диссертациясында математикалық талдау (Лоран қатарлары және Фурье талдауы) мен статистикалық қорытындылар арқылы сипатталған. ARMA модельдері Джордж Е. П. Бокс және Дженкинстің 1970 жылғы кітабы арқасында кеңінен танымал болды, олар оларды таңдау және бағалау үшін итеративтік (Box–Jenkins) әдісті ұсынды. Бұл әдіс төмен дәрежелі көпмүшелер (үшінші дәрежеден төмен) үшін тиімді болды. ARMA моделі – бұл ақ шуға қолданылатын шексіз импульстік жауап сүзгісі, оған қосымша түсіндірулер берілген.
The general ARMA model was described in the 1951 thesis of Peter Whittle, who used mathematical analysis (Laurent series and Fourier analysis) and statistical inference. ARMA models were popularized by a 1970 book by George E. P. Box and Jenkins, who expounded an iterative (Box–Jenkins) method for choosing and estimating them. This method was useful for low order polynomials (of degree three or less). The ARMA model is essentially an infinite impulse response filter applied to white noise, with some additional interpretation placed on it.
Альтернативті түсіндірме
Цифрлық сигналдарды өңдеуде ARMA моделі кірісінде ақ шуы бар және шығысында ARMA процесі болатын цифрлық сүзгі ретінде көрсетіледі.
p және q таңдау
ARMA (p,q) моделінде p және q-ның қолайлы мәндерін табуға ішінара автокорреляция функцияларын p-ның бағалауы үшін графиктік түрде көрсету, ал q-ның бағалауы үшін автокорреляция функцияларын пайдалану көмектеседі. Кеңейтілген автокорреляциялық функциялар (EACF) p және q-ны бірдей анықтау үшін қолданылуы мүмкін. Модельге бастапқы p және q таңдалымдарымен сәйкес келтірілген қалдықтардың сол функцияларын қарастыру арқылы қосымша ақпарат алуға болады. Броквелл мен Дэвис p және q-ны анықтау үшін Акайке ақпараттық критерийін (AIC) қолдануды ұсынады. Ретті анықтау үшін BIC критерийі де қолданылуы мүмкін.
Brockwell & Davis recommend using Akaike information criterion (AIC) for finding p and q. Another possible choice for order determining is the BIC criterion.
Есептеу коэффициенттері
Жалпы ARMA модельдері p және q таңдалғаннан кейін, қателік мүшесін ең төмендету үшін параметрлердің мәндерін табуға ең кіші квадраттар регрессиясы қолданылуы мүмкін. Әдетте, деректерге қанағаттанарлық сәйкес келетін p және q-ның ең кіші мәндерін табу дұрыс саналады. Таза AR моделі үшін Yule-Walker теңдеулерін қолдануға болады. Эконометриялық талдауда жиі қолданылатын басқа регрессия әдістерінен (мысалы, OLS, 2SLS және т.б.) өзгеше, ARMA модельдерінің нәтижелері негізінен уақыт қатарлы деректерді болжау үшін пайдаланылады. Олардың коэффициенттері тек болжам жасау үшін ғана қолданылады. Эконометрияның басқа салалары себеп-салдарлық байланысты зертейді, ал ARMA қолданып уақыт қатарларын болжау – мұндай мақсатты көздемейді. Коэффициенттерді болжамдық модельдеу үшін ғана пайдалы деп қарастыру керек.
Статистикалық пакеттердегі іске асырулар
R-де arima функциясы (стандартты stats пакетінде) «Уақыт сериясын модельдеуде ARIMA» құжаттамасында сипатталған. astsa пакетінде ARMA модельдеріне (маусымдық және маусымсыз) және осы модельдерден деректерді модельдеуге арналған sarima деп аталатын жетілдірілген сценарий бар, сондай-ақ sarima.sim деректерді симуляциялау үшін. Кеңейтім пакеттері байланысты және кеңейтілген функционалдықты қамтиды, мысалы, tseries пакеті «Уақыт сериясына ARMA модельдерін сәйкестендіру» деп аталған arma функциясын қамтиды; fracdiff пакеті фракциялық интеграцияланған ARMA процестері үшін fracdiff қамтиды; ал forecast пакеті p, q-ның үнемді жиынтығын таңдау үшін auto.arima қамтиды. CRAN тапсырмаларының шолуында осылардың көпшілігіне сілтемелер бар. Mathematica ARMA-ны қоса алғанда, уақыт сериясы функцияларының толық кітапханасын ұсынады. MATLAB құрамына AR, ARX (авторегрессиялық экзогенді) және ARMAX модельдерін бағалау үшін arma, ar және arx сияқты функциялар кіреді. Қосымша ақпарат алу үшін «Жүйелік идентификация құралдары» және «Эконометрика құралдары» бөлімдерін қараңыз. Julia-да ARMA моделіне сәйкес келетін бірнеше қоғамдық пакеттер бар, мысалы arma.jl. Statsmodels Python модулі ARMA-ны қоса алғанда, уақыт сериясын талдау үшін көптеген модельдер мен функцияларды қамтиды. Бұрын scikit-learn кітапханасының бөлігі болған, қазір ол жеке жұмыс істейді және Pandas-пен жақсы үйлеседі. Толығырақ ақпарат алу үшін мұнда қараңыз. PyFlux ARIMAX модельдерінің Python негізіндегі нұсқасын ұсынады, соның ішінде Bayesian ARIMAX модельдерін. IMSL сандық кітапханалары C, Java, C# NET және Fortran сияқты стандартты бағдарламалау тілдерінде іске асырылған ARMA және ARIMA процедураларын қоса алғанда, сандық талдау функционалдығының кітапханалары болып табылады. gretl ARMA модельдерін бағалай алады, оны мұнда қараңыз. GNU Octave қосымша пакет Octave Forge функцияларын пайдаланып AR модельдерін бағалай алады. Stata құрамына ARMA және ARIMA модельдерін бағалауға мүмкіндік беретін arima функциясы кіреді. Толығырақ ақпарат алу үшін мұнда қараңыз. SuanShu – сандық әдістердің Java кітапханасы, соның ішінде толыққанды статистикалық пакеттер, онда ARMA, ARIMA, ARMAX және т.б. модельдер объектіге бағытталған тәсілмен іске асырылған. Бұл іске асырулар «SuanShu, Java сандық және статистикалық кітапханасы» құжаттамасында сипатталған. SAS эконометрикалық пакеті ETS-ті ұсынады, ол ARIMA модельдерін бағалайды. Толығырақ ақпарат алу үшін мұнда қараңыз.
Спектр
ARMA процесінің спектрлік тығыздығы – ақ шудың дисперсиясы , ARMA моделінің қозғалмалы орташа бөлігінің сипаттамалық полиномы және ARMA моделінің авторегрессиялық бөлігінің сипаттамалық полиномы болып табылады.
Қолданбалар
ARMA жүйесі, егер ол байқалмаған шоктар қатарының (MA немесе жылжымалы орташа бөлігінің) және өзінің бұрынғы мінез-құлқының нәтижесі болса, қолданылады. Мысалы, акция бағаларына фундаменталды ақпараттың әсерінен шок түсуі мүмкін, сонымен қатар нарық қатысушыларының әрекеттерінен туындаған техникалық трендтер мен орташаға оралу эффектілері де болуы мүмкін.
Жалпылау
Егер басқаша көрсетілмесе, өткен мәндер мен қателік мүшелері εt-ге тәуелділік сызықты деп есептеледі. Егер тәуелділік сызықтық болмаса, модельге сызықтық емес жылжымалы орташа (СЖЖ), сызықтық емес авторегрессиялық (СЖА) немесе сызықтық емес авторегрессиялық-жылжымалы орташа (СЖАЖО) моделі деп аталады. Авторегрессиялық-жылжымалы орташа модельдерді басқа тәсілдермен де жалпылауға болады. Сондай-ақ, авторегрессиялық шартты гетероскедастикалық (ARCH) модельдері мен авторегрессиялық интегралды жылжымалы орташа (ARIMA) модельдерін қараңыз. Егер бірнеше уақыт қатарларын модельдеу қажет болса, векторлық ARIMA (немесе VARIMA) моделі қолданылуы мүмкін. Егер зерттеліп отырған уақыт қатары ұзақ есте сақтау қабілетін көрсетсе, фракциялық ARIMA (FARIMA, кейде ARFIMA деп аталады) модельдеуге болады: Авторегрессиялық фракциялық интегралды жылжымалы орташа қараңыз. Деректерде маусымдық әсерлер бар деп саналса, оларды SARIMA (маусымдық ARIMA) немесе периодты ARMA моделімен модельдеуге болады. Тағы бір жалпылау – көп масштабты авторегрессиялық (MAR) модель. MAR моделі ағаш түйіндерімен индексирленеді, ал стандартты (дискретті уақыт) авторегрессиялық модель бүтін сандармен индексирленеді. ARMA моделі бірөлшемді модель екенін ескеріңіз. Көпөлшемді жағдайға арналған кеңейтімдер векторлық авторегрессия (VAR) және векторлық авторегрессиялық-жылжымалы орташа (VARMA) болып табылады.