Кіріспе

Екі түрлі нысан мен олардың арасындағы қатынастан тұратын абстрактілі математикалық жүйе.

Математикада инциденттік құрылым – екі түрлі нысан мен осы нысандар арасындағы жалғыз қатынастан тұратын абстрактілі жүйе. Барлық нүктелер мен сызықтар үшін қай нүктелер қай сызықтарда жататынына қатысты қатынасты ғана ескере отырып, Евклид жазықтығының нүктелерін және сызықтарын екі түрлі нысан ретінде қарастырыңыз, ал осы геометрияның қалған қасиеттерін ескермеңіз. Нәтижесінде Евклид жазықтығының инциденттік құрылымы қалады. Инциденттік құрылымдар көбінесе олардан абстрактіленген және осылайша жалпыланған геометриялық контекстте қарастырылады (мысалы, аффиндік, проективтік және Мёбиус жазықтықтары), бірақ бұл ұғым өте кең және тек геометриялық жағдайлармен шектелмейді. Геометриялық жағдайларда да инциденттік құрылымдар тек нүктелермен және сызықтармен ғана шектелмейді; жоғары өлшемді нысандар (жазықтықтар, денелер, n-өлшемді кеңістіктер, коникалық қималар және т.б.) қолданылуы мүмкін. Шекті құрылымдарды зерттеу кейде шекті геометрия деп аталады.

Ресми анықтама және терминология

Инциденттік құрылым – (P, L, I) үштігі, мұнда P – элементтері нүктелер деп аталатын жиын, L – элементтері түзулер деп аталатын ерекше жиын және I ⊆ P × L – инциденттік қатынас. I элементтері флагтар деп аталады. Егер (p, l) ∈ I болса, онда p нүктесі l түзуінде жатыр немесе l түзуі p нүктесі арқылы өтеді деуге болады. Бұл қатынастың симметриялық табиғатын көрсететіндей, "p, l-мен инцидентті" немесе "l, p-мен инцидентті" терминологиясы қолданылады, және p I l белгісі (p, l) ∈ I синонимі ретінде пайдаланылады. Кейбір жағдайларда L, P жиынының ішкі жиындары жиыны болуы мүмкін, онда инциденттік I – кіріктірілу (p I l егер және тек қана p, l-дің мүшесі болса) болады. Осы типтегі инциденттік құрылымдар жиындық-теориялық деп аталады. Бұл әрқашан осылай бола бермейді, мысалы, егер P векторлар жиыны болса және L квадраттық матрицалар жиыны болса, онда біз анықтауымыз мүмкін. Бұл мысал сонымен қатар нүктелер мен түзулердің геометриялық терминологиясы қолданылған кезде, объектілердің типтері міндетті түрде осы геометриялық объектілер болуы қажет емес екенін көрсетеді.

Мысалдар

Егер әрбір түзу бірдей сандағы нүктелермен байланысты болса, онда соққы құрылымы біркелкі болады. Екінші мысалдан басқа, осы мысалдардың бәрінде бір түзуде үш нүктеден болады.

Графиктер

Кез келген график (қарапайым болуы міндетті емес; өзіне-өзі жалғасқан қабырғалар мен бірнеше қабырғаларға рұқсат етіледі) – әр сызықта екі нүктесі бар біртекті инциденттік құрылым. Бұл мысалдарда графиктің төбелері нүктелер жиынын, ал графиктің қабырғалары сызықтар жиынын құрайды, ал инциденттік дегеніміз – төбе қабырғаның соңғы нүктесі болып табылады.

Желілер

Бірқатар ерекше мысал – k-желі. Бұл – сызықтардың k параллель кластарға бөлінетін инциденттік құрылым, сондықтан бір параллель кластағы екі сызықтың ортақ нүктелері болмайды, ал әртүрлі кластардағы екі сызықтың дәл бір ортақ нүктесі болады, және әрбір нүкте әрбір параллель кластан дәл бір сызыққа тиесілі болады. k-желіге мысал – аффинді жазықтықтың нүктелер жиынтығы, сонымен қатар k параллель аффинді сызық кластары.

Суретті бейнелеу

Инциденттік фигура (яғни инциденттік құрылымның суреті) нүктелерді жазықтықтағы нүктелермен көрсету арқылы және нүктелерді сызықтарға сәйкес келетіндей етіп қосудың белгілі бір визуалды тәсілі арқылы құрастырылады. Екінші жағынан, жоғарыдағы 2- және 5-мысалдар іске асырыла алады және ондағы инциденттік фигуралар оны көрсетеді. Штайниц (1894) n нүктелі және n сызықты, сызық сайын үш нүктелі және әр нүкте арқылы үш сызық өтетін инциденттік құрылымдардың іске асырылатынын немесе олардың суреттерінде тек бір қисық сызықты қолдану қажеттілігін көрсетті. Фано жазықтығы бірегей (73), ал Мёбиус-Кантор конфигурациясы бірегей (83).

Өртке ұшырау графигі (Леви графигі)

Әрбір C инциденттік құрылымы Леви графигі немесе құрылымның инциденттік графигі деп аталатын екі жақты графқа сәйкес келеді. Кез келген екі жақты граф екі түске боялғандықтан, Леви графигіне қара және ақ түстермен бояу тағайындауға болады, мұнда қара түстер нүктелерге, ал ақ түстер C-ның түзулеріне сәйкес келеді. Бұл графиктің қабырғалары инциденттік құрылымның флагтарына (инцидентті нүкте/түзу жұптары) сәйкес келеді. Алғашқы Леви графигі екінші реттік жалпыланған төртбұрыштың инциденттік графигі болды (жоғарыдағы 3-мысал), бірақ бұл термин Х. С. М. Коксетер тарапынан кез келген инциденттік құрылымның инциденттік графигін көрсету үшін кеңейтілді.

Леви графигінің мысалдары

Фано жазықтығының Леви графигі – Хевуд графигі. Хевуд графигі байланысқан және төбелік транзитивті болғандықтан, қара және ақ түстің орнын ауыстыратын автоморфизм бар (мысалы, Хевуд графигінің суретіндегі тік оське қатысты көрініс арқылы анықталатын). Бұл, өз кезегінде, Фано жазықтығының өзіне-дуаль екенін көрсетеді. Сол жақтағы Мёбиус-Кантор конфигурациясының Леви графигінің нақты бейнесі (жоғарыдағы 4-мысал) диаграмманың ортасынан (сағат тілімен немесе сағат тіліне қарсы) айналдыру көк және қызыл түстің орнын ауыстыратынын және қабырғаларды қабырғаларға бейнелейтінін көрсетеді. Яғни, осы графтың түс ауыстыратын автоморфизмі бар. Осының салдарынан, Мёбиус-Кантор конфигурациясы деп аталатын инциденттік құрылым өзіне-дуаль болып табылады.

Жалпылау

Инциденттік құрылым туралы түсінікті екіден астам нысан түрін қамту үшін жалпылауға болады. К түрлі объектілерден тұратын құрылым k дәрежелі инциденттік құрылым немесе k дәрежелі геометрия деп аталады. Формальды түрде бұл k + 1 түйіннен тұратын S = (P1, P2, ..., Pk, I) ретінде анықталады, мұнда Pi ∩ Pj = ∅ және

Осы құрылымдар үшін Леви графигі – бұл көпбұрышты график, онда әр түрге сәйкес келетін төбелер бір түспен боялған.